Giải Toán 10 - Tập 2 trang 82

🔍 Kiến thức cần nhớ

1. Xác suất của biến cố

• Nếu phép thử có không gian mẫu Ω gồm n phần tử đồng khả năng, biến cố E gồm m phần tử thì:
• P(E) = n(E)/n(Ω) = m/n

2. Nguyên lí xác suất bé

• Nếu một biến cố có xác suất rất bé thì trong một phép thử biến cố đó sẽ không xảy ra.

3. Ý nghĩa thực tế của xác suất

• Nếu biến cố A có xác suất P(A), khi thực hiện phép thử n lần (n ≥ 30) thì số lần xuất hiện biến cố A sẽ xấp xỉ bằng n × P(A).

---

⚙️ Bài tập

---

Luyện tập 3

Đề bài: Gieo đồng thời hai con xúc xắc cân đối. Tính xác suất để tổng số chấm xuất hiện trên hai con xúc xắc bằng 4 hoặc bằng 6.

Cách 1 — Phương pháp liệt kê (cơ bản)

Bước 1: Xác định không gian mẫu

Khi gieo đồng thời 2 con xúc xắc, mỗi con có 6 mặt (1, 2, 3, 4, 5, 6).

Không gian mẫu Ω gồm tất cả các cặp (a, b) với a, b ∈ {1, 2, 3, 4, 5, 6}.

n(Ω) = 6 × 6 = 36

Bước 2: Xác định biến cố E

Gọi E là biến cố "Tổng số chấm bằng 4 hoặc bằng 6".

Tổng bằng 4:

• (1, 3), (2, 2), (3, 1) → 3 kết quả

Tổng bằng 6:

• (1, 5), (2, 4), (3, 3), (4, 2), (5, 1) → 5 kết quả

Vậy E = {(1, 3), (2, 2), (3, 1), (1, 5), (2, 4), (3, 3), (4, 2), (5, 1)}

n(E) = 3 + 5 = 8

Bước 3: Tính xác suất

P(E) = n(E)/n(Ω) = 8/36 = 2/9

Cách 2 — Dùng quy tắc cộng xác suất

Gọi A là biến cố "Tổng bằng 4", B là biến cố "Tổng bằng 6".

• n(A) = 3 → P(A) = 3/36 = 1/12
• n(B) = 5 → P(B) = 5/36

Vì A và B xung khắc (không thể đồng thời xảy ra):

P(E) = P(A ∪ B) = P(A) + P(B) = 3/36 + 5/36 = 8/36 = 2/9

💡 Mẹo nhớ: Số cách để tổng 2 xúc xắc bằng k (với 2 ≤ k ≤ 12) là: - k ≤ 7: số cách = k - 1 - k > 7: số cách = 13 - k

⚠️ Lưu ý thi: Khi tính tổng trên 2 xúc xắc, dễ nhầm (1,3) và (3,1) là một trường hợp. Thực tế đây là 2 trường hợp khác nhau!

---

Bài 9.1

Đề bài: Chọn ngẫu nhiên một số nguyên dương không lớn hơn 30.

a) Mô tả không gian mẫu.

b) Gọi A là biến cố: "Số được chọn là số nguyên tố". Các biến cố A và Ā là tập con nào của không gian mẫu?

Cách 1 — Phương pháp liệt kê

Câu a:

Không gian mẫu Ω gồm các số nguyên dương từ 1 đến 30:

Ω = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 18, 19, 20, 21, 22, 23, 24, 25, 26, 27, 28, 29, 30}

Hay viết gọn: *Ω = {n ∈ ℕ | n ≤ 30}**

n(Ω) = 30

Câu b:

Biến cố A: "Số được chọn là số nguyên tố"

Các số nguyên tố không lớn hơn 30 là: 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29

A = {2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29}

n(A) = 10

Biến cố Ā (phần bù của A): "Số được chọn không là số nguyên tố"

Ā = {1, 4, 6, 8, 9, 10, 12, 14, 15, 16, 18, 20, 21, 22, 24, 25, 26, 27, 28, 30}

n(Ā) = 30 - 10 = 20

Cách 2 — Phương pháp mô tả tập hợp

Câu a: Ω = {x ∈ ℤ⁺ | 1 ≤ x ≤ 30}

Câu b:

• A = {x ∈ Ω | x là số nguyên tố}
• Ā = Ω \ A = {x ∈ Ω | x không là số nguyên tố}

💡 Mẹo nhớ: Các số nguyên tố ≤ 30: 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29 (10 số)

---

Bài 9.2

Đề bài: Chọn ngẫu nhiên một số nguyên dương không lớn hơn 22.

a) Mô tả không gian mẫu.

b) Gọi B là biến cố: "Số được chọn chia hết cho 3". Các biến cố B và B̄ là các tập con nào của không gian mẫu?

Cách 1 — Phương pháp liệt kê

Câu a:

Ω = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 18, 19, 20, 21, 22}

Hay: *Ω = {n ∈ ℕ | n ≤ 22}**

n(Ω) = 22

Câu b:

Biến cố B: "Số được chọn chia hết cho 3"

Các số chia hết cho 3 trong khoảng từ 1 đến 22: 3, 6, 9, 12, 15, 18, 21

B = {3, 6, 9, 12, 15, 18, 21}

n(B) = 7

Biến cố B̄ (phần bù của B): "Số được chọn không chia hết cho 3"

B̄ = {1, 2, 4, 5, 7, 8, 10, 11, 13, 14, 16, 17, 19, 20, 22}

n(B̄) = 22 - 7 = 15

Cách 2 — Phương pháp tính nhanh

Câu b:

Số các số chia hết cho 3 từ 1 đến 22:

Số lớn nhất chia hết cho 3 và ≤ 22 là 21 = 3 × 7

Vậy n(B) = 7 (các bội của 3 từ 3×1 đến 3×7)

n(B̄) = 22 - 7 = 15

💡 Mẹo bấm máy: Để đếm số bội của k trong đoạn [1, n]: lấy phần nguyên của n/k, tức là [n/k]

---

Bài 9.3

Đề bài: Gieo đồng thời một con xúc xắc và một đồng xu.

a) Mô tả không gian mẫu.

b) Xét các biến cố sau:

• C: "Đồng xu xuất hiện mặt sấp"
• D: "Đồng xu xuất hiện mặt ngửa hoặc số chấm xuất hiện trên con xúc xắc là 5"

Các biến cố C, C̄, D và D̄ là các tập con nào của không gian mẫu?

Cách 1 — Phương pháp liệt kê đầy đủ

Câu a:

Đồng xu có 2 mặt: S (sấp), N (ngửa)
Con xúc xắc có 6 mặt: 1, 2, 3, 4, 5, 6

Không gian mẫu Ω gồm các cặp (kết quả đồng xu, kết quả xúc xắc):

Ω = {(S, 1), (S, 2), (S, 3), (S, 4), (S, 5), (S, 6), (N, 1), (N, 2), (N, 3), (N, 4), (N, 5), (N, 6)}

n(Ω) = 2 × 6 = 12

Câu b:

Biến cố C: "Đồng xu xuất hiện mặt sấp"

C = {(S, 1), (S, 2), (S, 3), (S, 4), (S, 5), (S, 6)}

n(C) = 6

Biến cố C̄: "Đồng xu xuất hiện mặt ngửa"

C̄ = {(N, 1), (N, 2), (N, 3), (N, 4), (N, 5), (N, 6)}

n(C̄) = 6

Biến cố D: "Đồng xu xuất hiện mặt ngửa hoặc số chấm trên xúc xắc là 5"

• Đồng xu ngửa: (N, 1), (N, 2), (N, 3), (N, 4), (N, 5), (N, 6)
• Xúc xắc là 5: (S, 5), (N, 5)

Hợp lại (loại trùng): D = {(N, 1), (N, 2), (N, 3), (N, 4), (N, 5), (N, 6), (S, 5)}

n(D) = 7

Biến cố D̄: "Đồng xu xuất hiện mặt sấp và số chấm trên xúc xắc khác 5"

D̄ = {(S, 1), (S, 2), (S, 3), (S, 4), (S, 6)}

n(D̄) = 5

Cách 2 — Phương pháp sơ đồ cây

        Đồng xu
        /     \
       S       N
      /|\     /|\
     1 2 3   1 2 3
     4 5 6   4 5 6

Từ sơ đồ cây, dễ dàng liệt kê các phần tử của mỗi biến cố.

⚠️ Lưu ý thi: Biến cố D là "hoặc" nên phải lấy HỢP, chú ý loại bỏ phần tử trùng (N, 5).

---

Bài 9.4

Đề bài: Một túi có chứa một số bi xanh, bi đỏ, bi đen và bi trắng. Lấy ngẫu nhiên một viên bi từ trong túi.

a) Gọi H là biến cố: "Bi lấy ra có màu đỏ". Biến cố: "Bi lấy ra có màu xanh hoặc màu đen hoặc trắng" có phải là biến cố H̄ hay không?

b) Gọi K là biến cố: "Bi lấy ra có màu xanh hoặc màu trắng". Biến cố: "Bi lấy ra có màu đen" có phải là biến cố K̄ hay không?

Giải chi tiết

Câu a:

Không gian mẫu Ω = {xanh, đỏ, đen, trắng}

Biến cố H: "Bi lấy ra có màu đỏ" → H = {đỏ}

Biến cố H̄ (phần bù của H): "Bi lấy ra KHÔNG có màu đỏ"

H̄ = Ω \ H = {xanh, đen, trắng}

Biến cố "Bi lấy ra có màu xanh hoặc màu đen hoặc trắng" = {xanh, đen, trắng}

Kết luận: CÓ, đây chính là biến cố H̄.

Câu b:

Biến cố K: "Bi lấy ra có màu xanh hoặc màu trắng" → K = {xanh, trắng}

Biến cố K̄ (phần bù của K): "Bi lấy ra KHÔNG có màu xanh và KHÔNG có màu trắng"

K̄ = Ω \ K = {đỏ, đen}

Biến cố "Bi lấy ra có màu đen" = {đen}

Nhưng K̄ = {đỏ, đen} ≠ {đen}

Kết luận: KHÔNG, biến cố "Bi lấy ra có màu đen" KHÔNG phải là biến cố K̄.

💡 Mẹo nhớ: Biến cố đối (phần bù) Ā của biến cố A phải chứa TẤT CẢ các phần tử không thuộc A.

---

Bài 9.5

Đề bài: Hai bạn An và Bình mỗi người gieo một con xúc xắc cân đối. Tính xác suất để:

a) Số chấm xuất hiện trên hai con xúc xắc bé hơn 3;

b) Số chấm xuất hiện trên con xúc xắc mà An gieo lớn hơn hoặc bằng 5;

c) Tích hai số chấm xuất hiện trên hai con xúc xắc bé hơn 6;

d) Tổng hai số chấm xuất hiện trên hai con xúc xắc là một số nguyên tố.

Xác định không gian mẫu

Gọi a là số chấm xúc xắc của An, b là số chấm xúc xắc của Bình.

Không gian mẫu Ω gồm các cặp (a, b) với a, b ∈ {1, 2, 3, 4, 5, 6}

n(Ω) = 6 × 6 = 36

---

Câu a: Số chấm xuất hiện trên hai con xúc xắc bé hơn 3

Cách 1 — Liệt kê

Cần: a < 3 VÀ b < 3, tức là a ∈ {1, 2} và b ∈ {1, 2}

Biến cố A = {(1, 1), (1, 2), (2, 1), (2, 2)}

n(A) = 4

P(A) = 4/36 = 1/9

Cách 2 — Quy tắc nhân

• Số cách chọn a < 3: 2 cách (1 hoặc 2)
• Số cách chọn b < 3: 2 cách (1 hoặc 2)

n(A) = 2 × 2 = 4

P(A) = 4/36 = 1/9

---

Câu b: Số chấm xuất hiện trên con xúc xắc mà An gieo lớn hơn hoặc bằng 5

Cách 1 — Liệt kê

Cần: a ≥ 5, tức là a ∈ {5, 6}, còn b tùy ý.

Biến cố B: a ∈ {5, 6}, b ∈ {1, 2, 3, 4, 5, 6}

n(B) = 2 × 6 = 12

P(B) = 12/36 = 1/3

Cách 2 — Tính trực tiếp

Xác suất An gieo được số ≥ 5: P = 2/6 = 1/3

Kết quả của Bình không ảnh hưởng.

P(B) = 1/3

---

Câu c: Tích hai số chấm xuất hiện trên hai con xúc xắc bé hơn 6

Cách 1 — Liệt kê đầy đủ

Cần: a × b < 6, tức là a × b ∈ {1, 2, 3, 4, 5}

Liệt kê các cặp (a, b):

• a × b = 1: (1, 1) → 1 cặp
• a × b = 2: (1, 2), (2, 1) → 2 cặp
• a × b = 3: (1, 3), (3, 1) → 2 cặp
• a × b = 4: (1, 4), (2, 2), (4, 1) → 3 cặp
• a × b = 5: (1, 5), (5, 1) → 2 cặp

Biến cố C = {(1, 1), (1, 2), (2, 1), (1, 3), (3, 1), (1, 4), (2, 2), (4, 1), (1, 5), (5, 1)}

n(C) = 1 + 2 + 2 + 3 + 2 = 10

P(C) = 10/36 = 5/18

Cách 2 — Xét theo giá trị của a

n(C) = 5 + 2 + 1 + 1 + 1 + 0 = 10

P(C) = 10/36 = 5/18

---

Câu d: Tổng hai số chấm xuất hiện trên hai con xúc xắc là một số nguyên tố

Cách 1 — Liệt kê theo tổng

Tổng S = a + b có thể nhận giá trị từ 2 đến 12.

Các số nguyên tố trong khoảng [2, 12]: 2, 3, 5, 7, 11

S = 2: (1, 1) → 1 cặp

S = 3: (1, 2), (2, 1) → 2 cặp

S = 5: (1, 4), (2, 3), (3, 2), (4, 1) → 4 cặp

S = 7: (1, 6), (2, 5), (3, 4), (4, 3), (5, 2), (6, 1) → 6 cặp

S = 11: (5, 6), (6, 5) → 2 cặp

n(D) = 1 + 2 + 4 + 6 + 2 = 15

P(D) = 15/36 = 5/12

Cách 2 — Dùng công thức đếm số cách

Số cách để tổng = k khi gieo 2 xúc xắc:

• k ≤ 7: số cách = k - 1
• k > 7: số cách = 13 - k

n(D) = 1 + 2 + 4 + 6 + 2 = 15

P(D) = 15/36 = 5/12

💡 Mẹo nhớ: Các số nguyên tố từ 2 đến 12: 2, 3, 5, 7, 11 (không có 4, 6, 8, 9, 10, 12)

⚠️ Lưu ý thi: Dễ quên tổng = 2 (chỉ có 1 cách) hoặc nhầm 9 là số nguyên tố!

---

🎯 Ghi nhớ

1. Không gian mẫu Ω là tập hợp tất cả các kết quả có thể xảy ra của phép thử.

1. Xác suất P(E) = n(E)/n(Ω) khi các kết quả đồng khả năng.

1. Biến cố đối Ā của A chứa tất cả phần tử thuộc Ω nhưng không thuộc A, và P(Ā) = 1 - P(A).

1. Khi gieo 2 xúc xắc: n(Ω) = 36, số cách có tổng = k là (k-1) nếu k ≤ 7, là (13-k) nếu k > 7.

1. Nguyên lí xác suất bé: Biến cố có xác suất rất nhỏ được coi là không xảy ra trong một phép thử.