Giải Toán 10 - Tập 2 trang 12

Hai trang này thuộc Bài 16 – Hàm số bậc hai (sách Toán 10, Kết nối tri thức). Mình sẽ tóm tắt lý thuyết rồi giải lần lượt từng hoạt động và bài tập có trên hai trang nhé.

Tóm tắt lý thuyết

Định nghĩa hàm số bậc hai:

$$y = ax^2 + bx + c \quad (a \neq 0)$$

• $x$ là biến số; $a, b, c$ là hằng số.
• Tập xác định: $\mathbb{R}$.
• Hàm $y = ax^2$ học ở lớp 9 là trường hợp đặc biệt khi $b = c = 0$.
• Đồ thị của hàm số bậc hai là một đường parabol.

---

HĐ1: Bài toán rào vườn

Đề: Bác Việt có tấm lưới dài 20 m, rào ba mặt áp vào bờ tường tạo mảnh đất hình chữ nhật. Gọi $x$ mét $(0 < x < 10)$ là khoảng cách từ điểm cắm cọc đến bờ tường. Tính theo $x$:

a) Độ dài cạnh $PQ$.

Hai cạnh bên (vuông góc với tường) mỗi cạnh dài $x$, nên cạnh $PQ$ (song song với tường) là phần lưới còn lại:

$$PQ = 20 - 2x \ (\text{m})$$

b) Diện tích $S(x)$.

$$S(x) = x \cdot PQ = x(20 - 2x) = 20x - 2x^2 = -2x^2 + 20x$$

Đây chính là một hàm số bậc hai với $a = -2,\ b = 20,\ c = 0$.

---

Câu hỏi: Hàm số nào là hàm số bậc hai?

Đề:

• A. $y = x^4 + 3x^2 + 2$
• B. $y = \dfrac{1}{x^2}$
• C. $y = -3x^2 + 1$
• D. $y = 3\left(\dfrac{1}{x}\right)^2 + 3\dfrac{1}{x} - 1$

Đáp án: C.

Giải thích:

• A: bậc cao nhất là $x^4$ → không phải bậc hai.
• B: $\dfrac{1}{x^2}$ không phải đa thức, không có dạng $ax^2+bx+c$.
• C: có dạng $ax^2 + bx + c$ với $a = -3 \neq 0,\ b = 0,\ c = 1$ → đúng là hàm bậc hai.
• D: chứa $\dfrac{1}{x}$ nên không phải đa thức bậc hai.

---

Ví dụ 1: Hoàn thành bảng giá trị

Đề: Xét hàm $y = -2x^2 + 20x$, điền giá trị $y$.

Thay từng giá trị $x$ vào công thức:

Cách tính minh họa:

• $x=2:\ -2(4)+20(2) = -8+40 = 32$
• $x=5:\ -2(25)+20(5) = -50+100 = 50$
• $x=10:\ -2(100)+20(10) = -200+200 = 0$

Lưu ý: giá trị lớn nhất là $50$ tại $x = 5$ — đây cũng là lời giải cho bài toán mở đầu (cột cắm cách tường 5 m).

---

Luyện tập 1

Đề: Cho hàm số $y = (x-1)(2-3x)$.

a) Hàm số có phải hàm bậc hai không? Xác định $a, b, c$.

Khai triển:

$$y = (x-1)(2-3x) = 2x - 3x^2 - 2 + 3x = -3x^2 + 5x - 2$$

Đây là hàm số bậc hai với:
$$a = -3,\quad b = 5,\quad c = -2$$

b) Hoàn thành bảng giá trị.

Cách tính:

• $x=-2:\ -3(4)+5(-2)-2 = -12-10-2 = -24$
• $x=-1:\ -3(1)+5(-1)-2 = -3-5-2 = -10$
• $x=0:\ -2$
• $x=1:\ -3+5-2 = 0$

---

Vận dụng 1: Viên bi rơi tự do

Đề: Viên bi rơi từ độ cao 19,6 m, độ cao $h$ (m) theo thời gian $t$ (giây): $h = 19{,}6 - 4{,}9t^2$, với $h, t \geq 0$.

a) Sau bao nhiêu giây viên bi chạm đất?

Chạm đất khi $h = 0$:

$$19{,}6 - 4{,}9t^2 = 0 \Rightarrow t^2 = \frac{19{,}6}{4{,}9} = 4 \Rightarrow t = 2 \ (\text{vì } t \geq 0)$$

Vậy sau 2 giây viên bi chạm đất.

b) Tập xác định và tập giá trị của $h$.

• Vì $t \geq 0$ và viên bi chạm đất ở $t = 2$ nên thời gian rơi nằm trong $[0; 2]$.

$$\text{Tập xác định: } D = [0; 2]$$

• Khi $t$ chạy từ $0$ đến $2$, độ cao $h$ giảm từ $19{,}6$ xuống $0$.

$$\text{Tập giá trị: } [0; 19{,}6]$$

---

HĐ2: Đồ thị hàm số bậc hai

Đề: Xét hàm $y = S(x) = -2x^2 + 20x \ (0 < x < 10)$.

a) Biểu diễn các điểm trong bảng giá trị (Ví dụ 1) lên mặt phẳng $Oxy$, nối lại được đồ thị trên khoảng $(0; 10)$ (Hình 6.10). Dạng đồ thị này có giống đồ thị $y = -2x^2$ không?

Trả lời: Có giống nhau về dạng. Cả hai đều là đường parabol có bề lõm quay xuống dưới (vì hệ số $a = -2 < 0$). Điểm khác là parabol $y = -2x^2+20x$ được "dịch chuyển" so với $y = -2x^2$: đỉnh của nó nằm ở $(5; 50)$ thay vì ở gốc tọa độ $O$, và trục đối xứng là đường $x = 5$ thay vì trục $Oy$.

Đây là nội dung mở đầu dẫn vào việc khảo sát đồ thị tổng quát $y = ax^2 + bx + c$ ở các trang tiếp theo nhé.