Giải Toán 10 - Tập 2 trang 84
Lời giải chi tiết SGK Lớp 10 · Môn ToĂ¡n · Trang 84–85
🔍 Kiến thức cần nhớ
Bài 27: Thực hành tính xác suất theo định nghĩa cổ điển
1. Công thức xác suất cổ điển
- Xác suất của biến cố A: P(A) = n(A) / n(Ω)
- n(A): số phần tử của biến cố A (số kết quả thuận lợi)
- n(Ω): số phần tử của không gian mẫu (tổng số kết quả có thể)
2. Công thức tổ hợp
- Số tổ hợp chập k của n phần tử: C(n,k) = n! / [k! × (n-k)!]
- Ý nghĩa: Số cách chọn k phần tử từ n phần tử (không quan tâm thứ tự)
3. Quy tắc nhân
- Nếu công việc gồm nhiều công đoạn độc lập, số cách thực hiện = tích số cách của từng công đoạn
⚙️ Bài tập
HĐ1 (Hoạt động 1)
Đề bài: Theo định nghĩa cổ điển của xác suất, để tính xác suất của biến cố F: "Bạn An trúng giải độc đắc" và biến cố G: "Bạn An trúng giải nhất" ta cần xác định n(Ω), n(F) và n(G). Liệu có thể tính n(Ω), n(F) và n(G) bằng cách liệt kê ra hết các phần tử của Ω, F và G rồi kiểm đếm được không?
(Tình huống mở đầu: Bạn An chọn bộ số {5; 13; 20; 31; 32; 35})
Cách 1 — Phân tích trực tiếp
Lời giải:
Trong trò chơi xổ số, không gian mẫu Ω là tập tất cả các bộ 6 số được chọn từ một tập số nhất định (thường là từ 1 đến 45 hoặc tương tự).
Phân tích:
- Số phần tử của không gian mẫu: n(Ω) = C(45,6) = 8.145.060 (nếu chọn 6 số từ 45 số)
- Đây là con số rất lớn, không thể liệt kê thủ công
Kết luận:
- KHÔNG THỂ liệt kê ra hết các phần tử của Ω, F và G rồi kiểm đếm được
- Cần sử dụng phương pháp tổ hợp để tính số phần tử
Cách 2 — Giải thích bằng ví dụ cụ thể
Giả sử xổ số chọn 6 số từ 45 số (1 đến 45):
- n(Ω) = C(45,6) = 8.145.060 cách chọn
- n(F) = 1 (chỉ có đúng 1 bộ số trùng khớp hoàn toàn)
- n(G) phụ thuộc vào quy định giải nhất (thường là trùng 5/6 số)
Với hàng triệu phần tử, việc liệt kê là bất khả thi → Phải dùng công thức tổ hợp.
💡 Mẹo nhớ: Khi n(Ω) quá lớn, không liệt kê được → Dùng công thức tổ hợp C(n,k)
Luyện tập 1
Đề bài: Một tổ trong lớp 10B có 12 học sinh, trong đó có 7 học sinh nam và 5 học sinh nữ. Giáo viên chọn ngẫu nhiên 6 học sinh trong tổ để kiểm tra vở bài tập Toán. Tính xác suất để trong 6 học sinh được chọn số học sinh nữ bằng số học sinh nam.
Cách 1 — Phương pháp tổ hợp cơ bản
Lời giải:
Bước 1: Xác định không gian mẫu
Chọn 6 học sinh từ 12 học sinh, số cách chọn:
- n(Ω) = C(12,6) = 12! / (6! × 6!) = 924
Bước 2: Xác định biến cố A
Gọi A là biến cố "số học sinh nữ bằng số học sinh nam"
- Trong 6 học sinh được chọn: 3 nam và 3 nữ
Bước 3: Tính n(A)
Áp dụng quy tắc nhân:
- Công đoạn 1: Chọn 3 học sinh nam từ 7 học sinh nam: C(7,3) = 35 cách
- Công đoạn 2: Chọn 3 học sinh nữ từ 5 học sinh nữ: C(5,3) = 10 cách
Theo quy tắc nhân: n(A) = 35 × 10 = 350
Bước 4: Tính xác suất
P(A) = n(A) / n(Ω) = 350 / 924 = 25/66
Cách 2 — Tính nhanh với máy tính
Lời giải:
P(A) = [C(7,3) × C(5,3)] / C(12,6)
P(A) = (35 × 10) / 924 = 350/924 = 25/66
💡 Mẹo bấm máy (Casio fx-580VN X): - Bấm C(n,k): nhập n → SHIFT → × (nCr) → nhập k - C(12,6): 12 SHIFT × 6 = → Kết quả: 924 - C(7,3): 7 SHIFT × 3 = → Kết quả: 35 - C(5,3): 5 SHIFT × 3 = → Kết quả: 10
Đáp số: P(A) = 25/66 ≈ 0,379
⚠️ Lưu ý thi: Đây là dạng bài "chọn đồng thời từ hai nhóm" - rất hay gặp trong đề thi. Nhớ dùng quy tắc nhân khi các công đoạn độc lập.
HĐ2 (Hoạt động 2)
Đề bài: Trong trò chơi "Vòng quay may mắn", người chơi sẽ quay hai bánh xe. Mũi tên ở bánh xe thứ nhất có thể dừng ở một trong hai vị trí: Loại xe 50 cc và Loại xe 110 cc. Mũi tên ở bánh xe thứ hai có thể dừng ở một trong bốn vị trí: màu đen, màu trắng, màu đỏ và màu xanh. Vị trí của mũi tên trên hai bánh xe sẽ xác định người chơi nhận được loại xe nào, màu gì.
Phép thử T là quay hai bánh xe. Hãy vẽ sơ đồ hình cây mô tả các phần tử của không gian mẫu.
Cách 1 — Vẽ sơ đồ hình cây
Lời giải:
Sơ đồ hình cây:
┌── Đen → (50cc, Đen)
├── Trắng → (50cc, Trắng)
┌── 50cc ──┼── Đỏ → (50cc, Đỏ)
│ └── Xanh → (50cc, Xanh)
Bắt đầu─┤
│ ┌── Đen → (110cc, Đen)
│ ├── Trắng → (110cc, Trắng)
└── 110cc ──┼── Đỏ → (110cc, Đỏ)
└── Xanh → (110cc, Xanh)Không gian mẫu:
Ω = {(50cc, Đen); (50cc, Trắng); (50cc, Đỏ); (50cc, Xanh); (110cc, Đen); (110cc, Trắng); (110cc, Đỏ); (110cc, Xanh)}
n(Ω) = 8
Cách 2 — Dùng quy tắc nhân
- Bánh xe 1: 2 vị trí
- Bánh xe 2: 4 vị trí
- Theo quy tắc nhân: n(Ω) = 2 × 4 = 8 phần tử
💡 Mẹo nhớ: Sơ đồ hình cây phù hợp khi phép thử gồm nhiều giai đoạn liên tiếp, giúp liệt kê đầy đủ và trực quan các kết quả.
🎯 Ghi nhớ: - Phương pháp tổ hợp: Dùng khi không gian mẫu lớn, không thể liệt kê - Sơ đồ hình cây: Dùng khi phép thử gồm nhiều bước liên tiếp, số kết quả vừa phải - Công thức xác suất: P(A) = n(A) / n(Ω) - Quy tắc nhân: Công việc có k công đoạn độc lập với n₁, n₂, ..., nₖ cách → Tổng số cách = n₁ × n₂ × ... × nₖ