Giải Toán 10 - Tập 2 trang 86
Lời giải chi tiết SGK Lớp 10 · Môn ToĂ¡n · Trang 86–87
Hai trang ảnh thực tế đánh số 85 và 86 (không phải 86–87), mình giải theo đúng nội dung trên ảnh nhé.
Tóm tắt lý thuyết: Xác suất của biến cố đối
Cho $E$ là một biến cố, $\Omega$ là không gian mẫu. Biến cố đối $\overline{E}$ gồm các kết quả không thuộc $E$, nên:
$$n(\overline{E}) = n(\Omega) - n(E)$$
Từ đó suy ra công thức quan trọng:
$$\boxed{P(\overline{E}) = 1 - P(E)}$$
Ý nghĩa: khi tính trực tiếp $P(E)$ khó, ta tính $P(\overline{E})$ rồi suy ra (thường dùng với cụm "có ít nhất một...").
Luyện tập 2
Đề: Trở lại trò chơi "Vòng quay may mắn" ở HĐ2. Tính xác suất để người chơi nhận được loại xe 110 cc có màu trắng hoặc màu xanh.
Lưu ý: bài này dựa vào dữ liệu vòng quay ở HĐ2 (không có trong hai trang ảnh). Cách làm chung:
- Gọi biến cố $A$: "nhận xe 110 cc màu trắng", $B$: "nhận xe 110 cc màu xanh".
- Hai biến cố này xung khắc (không thể vừa trắng vừa xanh), nên xác suất cần tìm là:
$$P = P(A) + P(B) = \dfrac{n(A)}{n(\Omega)} + \dfrac{n(B)}{n(\Omega)}$$
Trong đó $n(\Omega)$ là tổng số ô bằng nhau trên vòng quay, $n(A),\,n(B)$ là số ô tương ứng. Bạn thay số liệu ô của HĐ2 vào là ra kết quả.
Luyện tập 3
Đề: Chọn ngẫu nhiên một gia đình có ba người con, quan tâm giới tính.
a) Vẽ sơ đồ hình cây mô tả không gian mẫu.
b) Khả năng sinh trai/gái như nhau. Tính xác suất gia đình có một con trai và hai con gái.
a) Mỗi người con là Trai (T) hoặc Gái (G). Sơ đồ cây phân nhánh 3 lần:
┌ T ─┬ T ─┬ T (TTT)
│ │ └ G (TTG)
│ └ G ─┬ T (TGT)
con1 ┤ └ G (TGG)
└ G ─┬ T ─┬ T (GTT)
│ └ G (GTG)
└ G ─┬ T (GGT)
└ G (GGG)Không gian mẫu: $\Omega = \{TTT,\ TTG,\ TGT,\ TGG,\ GTT,\ GTG,\ GGT,\ GGG\}$, $n(\Omega)=8$.
b) Biến cố "một con trai, hai con gái" gồm các kết quả: $TGG,\ GTG,\ GGT$ ⟹ $n=3$.
$$P = \dfrac{3}{8}$$
Luyện tập 4
Đề: Hộp $A=\{1;2;3\}$, hộp $B=\{2;3\}$, hộp $C=\{1;2\}$. Mỗi hộp rút ngẫu nhiên một thẻ.
a) Vẽ sơ đồ cây mô tả không gian mẫu.
b) $M$: "có ít nhất một thẻ số 1". $\overline{M}$ là tập con nào?
c) Tính $P(M)$ và $P(\overline{M})$.
a) Theo quy tắc nhân: $n(\Omega) = 3\times 2\times 2 = 12$. Bộ ba $(a,b,c)$ với $a\in A,\ b\in B,\ c\in C$:
$$\Omega=\{(1,2,1),(1,2,2),(1,3,1),(1,3,2),(2,2,1),(2,2,2),(2,3,1),(2,3,2),(3,2,1),(3,2,2),(3,3,1),(3,3,2)\}$$
b) $\overline{M}$: "không có thẻ nào mang số 1", tức cả ba thẻ đều khác 1.
- Hộp $A$: chọn từ $\{2;3\}$ → 2 cách
- Hộp $B$: chọn từ $\{2;3\}$ → 2 cách
- Hộp $C$: chỉ còn $\{2\}$ → 1 cách
$$\overline{M}=\{(2,2,2),(2,3,2),(3,2,2),(3,3,2)\},\quad n(\overline{M})=2\cdot 2\cdot 1=4$$
c)
$$P(\overline{M})=\dfrac{4}{12}=\dfrac{1}{3},\qquad P(M)=1-P(\overline{M})=1-\dfrac{1}{3}=\dfrac{2}{3}$$
Vận dụng (bài toán mở đầu – vé số/xổ số)
Đề + Hướng dẫn (đã có trong sách): chọn 6 số trong $\{1;2;\dots;45\}$.
- $n(\Omega)=C_{45}^6 = 8\,145\,060$.
- $F$: "trúng giải độc đắc", $n(F)=1$ ⟹
$$P(F)=\dfrac{1}{C_{45}^6}=\dfrac{1}{8\,145\,060}$$
- $G$: "trúng giải nhất" (đúng 5 số trong bộ trúng, 1 số còn lại sai):
- Công đoạn 1: chọn 5 trong 6 số trúng: $C_6^5=6$
- Công đoạn 2: chọn 1 trong 39 số còn lại: $C_{39}^1=39$
- $n(G)=6\cdot 39 = 234$
$$P(G)=\dfrac{234}{8\,145\,060}=\dfrac{39}{1\,357\,510}\approx 2{,}87\cdot 10^{-5}$$
BÀI TẬP
Bài 9.6
Đề: Gia đình có ba con, quan sát giới tính. Tính xác suất:
a) $A$: "Con đầu là gái".
b) $B$: "Có ít nhất một người con trai".
Không gian mẫu như Luyện tập 3: $n(\Omega)=8$.
a) Con đầu là gái: $GTT,\ GTG,\ GGT,\ GGG$ ⟹ $n(A)=4$.
$$P(A)=\dfrac{4}{8}=\dfrac{1}{2}$$
b) Dùng biến cố đối $\overline{B}$: "không có con trai nào" $=\{GGG\}$, $n(\overline{B})=1$.
$$P(B)=1-P(\overline{B})=1-\dfrac{1}{8}=\dfrac{7}{8}$$
Bài 9.7
Đề: Thẻ đánh số $10;11;\dots;20$ (gồm 11 thẻ). Rút ngẫu nhiên 2 thẻ. Tính xác suất:
a) $C$: "cả hai thẻ đều số lẻ".
b) $D$: "cả hai thẻ đều số chẵn".
$n(\Omega)=C_{11}^2 = 55$.
- Số lẻ trong 10–20: $11,13,15,17,19$ → 5 thẻ.
- Số chẵn: $10,12,14,16,18,20$ → 6 thẻ.
a) $n(C)=C_5^2=10$.
$$P(C)=\dfrac{10}{55}=\dfrac{2}{11}$$
b) $n(D)=C_6^2=15$.
$$P(D)=\dfrac{15}{55}=\dfrac{3}{11}$$
Bài 9.8
Đề: Hộp có 6 bi trắng, 4 bi đỏ, 2 bi đen (12 bi). Chọn ngẫu nhiên 6 bi. Tính xác suất được 3 trắng, 2 đỏ, 1 đen.
$n(\Omega)=C_{12}^6 = 924$.
Số cách chọn thuận lợi (quy tắc nhân):
$$n = C_6^3 \cdot C_4^2 \cdot C_2^1 = 20\cdot 6\cdot 2 = 240$$
$$P=\dfrac{240}{924}=\dfrac{20}{77}\approx 0{,}26$$
Bài 9.9
Đề: Gieo liên tiếp một con xúc xắc và một đồng xu.
a) Vẽ sơ đồ cây mô tả không gian mẫu.
b) Tính xác suất: $F$: "đồng xu xuất hiện mặt ngửa"; $G$: "đồng xu xuất hiện mặt sấp hoặc số chấm trên xúc xắc là 5".
a) Xúc xắc: $1,2,3,4,5,6$; đồng xu: Sấp (S) / Ngửa (N). Sơ đồ cây phân 6 nhánh, mỗi nhánh tách 2:
1 ─┬ S (1,S) 4 ─┬ S (4,S)
└ N (1,N) └ N (4,N)
2 ─┬ S (2,S) 5 ─┬ S (5,S)
└ N (2,N) └ N (5,N)
3 ─┬ S (3,S) 6 ─┬ S (6,S)
└ N (3,N) └ N (6,N)$n(\Omega)=6\times 2 = 12$.
b)
- $F$: đồng xu ngửa → $(1,N),(2,N),(3,N),(4,N),(5,N),(6,N)$, $n(F)=6$.
$$P(F)=\dfrac{6}{12}=\dfrac{1}{2}$$
- $G$: "sấp hoặc số chấm là 5". Dùng biến cố đối $\overline{G}$: "ngửa và số chấm khác 5".
Đồng xu ngửa có 6 kết quả, bỏ $(5,N)$ còn 5 kết quả ⟹ $n(\overline{G})=5$.
$$P(G)=1-P(\overline{G})=1-\dfrac{5}{12}=\dfrac{7}{12}$$
Kiểm tra trực tiếp: mặt sấp có 6 kết quả, thêm $(5,N)$ là 1 kết quả → tổng $7$, khớp $\dfrac{7}{12}$. ✔