Giải Toán 10 - Tập 2 trang 90
Lời giải chi tiết SGK Lớp 10 · Môn ToĂ¡n · Trang 90–91
Bài 9.20: Dự báo thời tiết ba ngày
Đề: Dự báo thời tiết trong ba ngày thứ Hai, thứ Ba, thứ Tư cho biết mỗi ngày khả năng có mưa và không mưa như nhau.
a) Vẽ sơ đồ hình cây mô tả không gian mẫu.
b) Tính xác suất các biến cố:
- $F$: "Trong ba ngày, có đúng một ngày có mưa";
- $G$: "Trong ba ngày, có ít nhất hai ngày không mưa".
Lời giải:
Kí hiệu $M$ = có mưa, $K$ = không mưa. Mỗi ngày có 2 khả năng nên không gian mẫu có $2^3 = 8$ kết quả.
a) Sơ đồ hình cây (ba tầng, mỗi tầng tách thành $M$ và $K$):
┌ M ─┬ M ─┬ M (MMM)
│ │ └ K (MMK)
│ └ K ─┬ M (MKM)
Ngày 1 ─┤ └ K (MKK)
│ ┌ M ─┬ M (KMM)
│ │ └ K (KMK)
└ K ─┴ K ─┬ M (KKM)
└ K (KKK)Không gian mẫu:
$$\Omega = \{MMM, MMK, MKM, MKK, KMM, KMK, KKM, KKK\}, \quad n(\Omega) = 8.$$
Vì khả năng mưa và không mưa như nhau nên 8 kết quả đồng khả năng, mỗi kết quả có xác suất $\dfrac{1}{8}$.
b)
Biến cố $F$ – đúng một ngày có mưa: chọn 1 trong 3 ngày để mưa, hai ngày còn lại không mưa:
$$F = \{MKK, KMK, KKM\} \Rightarrow n(F) = \binom{3}{1} = 3.$$
$$P(F) = \frac{3}{8}.$$
Biến cố $G$ – có ít nhất hai ngày không mưa (tức số ngày không mưa là 2 hoặc 3):
$$n(G) = \binom{3}{2} + \binom{3}{3} = 3 + 1 = 4.$$
$$P(G) = \frac{4}{8} = \frac{1}{2}.$$
Bài 9.21: Gieo đồng xu bốn lần
Đề: Gieo một đồng xu cân đối liên tiếp bốn lần.
a) Vẽ sơ đồ hình cây mô tả không gian mẫu.
b) Tính xác suất để trong bốn lần gieo có hai lần mặt sấp và hai lần mặt ngửa.
Lời giải:
Kí hiệu $S$ = mặt sấp, $N$ = mặt ngửa. Mỗi lần gieo có 2 khả năng, gieo 4 lần nên:
$$n(\Omega) = 2^4 = 16.$$
a) Sơ đồ hình cây gồm 4 tầng, mỗi nút tách thành $S$ và $N$, cho ra 16 nhánh lá. Không gian mẫu là tập 16 dãy độ dài 4 gồm các kí tự $S, N$, ví dụ: $SSSS, SSSN, \dots, NNNN$. Mỗi kết quả đồng khả năng với xác suất $\dfrac{1}{16}$.
b) Gọi $A$: "có đúng hai lần sấp và hai lần ngửa". Ta chọn 2 trong 4 vị trí cho mặt sấp (2 vị trí còn lại là ngửa):
$$n(A) = \binom{4}{2} = 6.$$
$$P(A) = \frac{6}{16} = \frac{3}{8}.$$
Cụ thể $A = \{SSNN, SNSN, SNNS, NSSN, NSNS, NNSS\}$ – đúng 6 kết quả.
Bài 9.22: Chọn 4 viên bi
Đề: Chọn ngẫu nhiên 4 viên bi từ một túi đựng 4 viên bi đỏ và 6 viên bi xanh đôi một khác nhau. Gọi $A$ là biến cố "Trong bốn viên bi đó có cả bi đỏ và cả bi xanh". Tính $P(A)$ và $P(\overline{A})$.
Lời giải:
Tổng số bi là $4 + 6 = 10$. Số cách chọn 4 viên bất kì:
$$n(\Omega) = \binom{10}{4} = 210.$$
Để tính $P(\overline{A})$ ta xét biến cố đối $\overline{A}$: "bốn viên cùng một màu" (toàn đỏ hoặc toàn xanh) – vì nếu không có đủ cả hai màu thì chỉ còn một màu.
- Chọn 4 viên cùng đỏ: $\binom{4}{4} = 1$ cách.
- Chọn 4 viên cùng xanh: $\binom{6}{4} = 15$ cách.
Do đó:
$$n(\overline{A}) = 1 + 15 = 16.$$
$$P(\overline{A}) = \frac{16}{210} = \frac{8}{105}.$$
Suy ra:
$$P(A) = 1 - P(\overline{A}) = 1 - \frac{8}{105} = \frac{97}{105}.$$
Mẹo: ở dạng "có cả hai loại", dùng biến cố đối "chỉ một loại" sẽ nhanh hơn rất nhiều so với chia trường hợp 1 đỏ–3 xanh, 2 đỏ–2 xanh, 3 đỏ–1 xanh.
Mục "Em có biết?" (trang 89)
Phần đọc thêm giới thiệu nhà toán học Blaise Pascal (1623 – 1662): năm 16 tuổi công bố công trình về thiết diện đường conic ("Định lí Pascal về lục giác thần kì"), năm 17 tuổi chế tạo máy tính cơ học đầu tiên làm được bốn phép tính, năm 28 tuổi đặt nền móng cho lí thuyết Xác suất. Ông còn là triết gia, nhà vật lí và nhà văn lớn.
Trang 90: Hoạt động thực hành trải nghiệm
Trang này là trang mở đầu chuyên đề, không có bài tập. Nội dung gồm:
- Tiêu đề "Hoạt động thực hành trải nghiệm" cùng câu nói của Henri Poincaré (1854 – 1912): "Nhà toán học xa rời thực tiễn giống như một hoạ sĩ bị tước đi vật mẫu".
- Mục "Một số nội dung cho hoạt động trải nghiệm hình học": gợi ý rằng em có thể thực hành trải nghiệm hình học ở nhiều mức độ – từ nhanh gọn đến cần nhiều thời gian chuẩn bị, từ cá nhân đến theo nhóm.
- Hình minh họa nhắc tới bài thuyết trình "Hình học và trải nghiệm" của Einstein ngày 27/01/1921 tại Viện Hàn lâm Khoa học Hoàng gia Phổ.
Tóm lại: ba bài tập trên cho ra kết quả $P(F)=\frac38,\ P(G)=\frac12$ (Bài 9.20); $P(A)=\frac38$ (Bài 9.21); $P(A)=\frac{97}{105},\ P(\overline{A})=\frac{8}{105}$ (Bài 9.22).