Giải Toán 10 - Tập 2 trang 94

🔍 Kiến thức cần nhớ

Phương pháp đánh dấu và bắt lại (Phương pháp Petersen)

Đây là phương pháp ước tính số cá thể trong một quần thể động vật.

Các bước thực hiện:

• Bước 1: Chọn M cá thể từ quần thể, đánh dấu và thả chúng trở lại quần thể.
• Bước 2: Sau một thời gian, chọn ngẫu nhiên n cá thể trong quần thể. Gọi k là số cá thể được đánh dấu trong n cá thể đó.

Công thức ước tính:

Gọi N là tổng số cá thể trong quần thể. Xác suất để chọn được một cá thể có đánh dấu là:

• P(A) = M/N

Số cá thể được đánh dấu trong n cá thể được chọn xấp xỉ với:

• k ≈ n × P(A) = n × M/N

Do đó, N được ước tính bởi công thức:

N ≈ M × n/k

---

⚙️ Bài tập

Hoạt động 1: Ước tính số hạt lạc trong một hộp

Đề bài:

• Bước 1: Lấy ra 1 cốc lạc từ trong túi, đếm số lượng và đánh dấu từng hạt lạc.
• Bước 2: Đổ lạc đã được đánh dấu vào lại trong túi và xáo trộn đều.
• Bước 3: Lấy ra nửa cốc lạc, đếm tổng số hạt lạc và số hạt lạc có đánh dấu trong cốc.

Gọi N là tổng số hạt lạc trong túi ban đầu. Hãy dùng kết quả đếm được ở bước 3 để ước tính N.

---

Cách 1 — Áp dụng trực tiếp công thức Petersen

Phân tích:

• M = số hạt lạc đánh dấu ở bước 1 (1 cốc lạc)
• n = tổng số hạt lạc lấy ra ở bước 3 (nửa cốc)
• k = số hạt có đánh dấu trong n hạt lấy ra ở bước 3

Công thức áp dụng:

N ≈ M × n/k

Ví dụ minh họa:
Giả sử:

• Bước 1: Đếm được M = 50 hạt (1 cốc), đánh dấu tất cả
• Bước 3: Lấy ra n = 30 hạt (nửa cốc), trong đó có k = 5 hạt đánh dấu

Khi đó:

N ≈ 50 × 30/5 = 50 × 6 = 300 hạt

---

Cách 2 — Suy luận theo tỉ lệ

Ý tưởng: Tỉ lệ hạt đánh dấu trong mẫu lấy ra xấp xỉ bằng tỉ lệ hạt đánh dấu trong toàn bộ túi.

Ta có:

• Tỉ lệ hạt đánh dấu trong mẫu = k/n
• Tỉ lệ hạt đánh dấu trong túi = M/N

Suy ra: k/n ≈ M/N

Do đó: N ≈ M × n/k

---

Hoạt động 2: Đánh giá sai số của ước tính

Đề bài:
Giả sử số hạt lạc trong túi đựng là 1000 (N = 1000) và số hạt được đánh dấu là 100 (M = 100).

Dựa vào dữ liệu trong Bảng 1, hoàn thành bảng tính theo mẫu sau:

Câu hỏi: Em có nhận xét gì về sai số của việc tính xấp xỉ số hạt lạc trong túi khi n càng lớn?

---

Cách 1 — Tính trực tiếp từ công thức

Bước 1: Xác định dữ liệu từ Bảng 1

Từ Bảng 1 (Kết quả thí nghiệm):

Bước 2: Tính Ñ (ước tính N)

Công thức: Ñ = M × n/k

• Lần 1: Ñ = 100 × 51/4 = 5100/4 = 1275
• Lần 2: Ñ = 100 × 103/11 = 10300/11 ≈ 936 (làm tròn)
• Lần 3: Ñ = 100 × 155/16 = 15500/16 ≈ 969 (làm tròn)

Bước 3: Tính sai số tuyệt đối

Công thức: Sai số tuyệt đối = |Ñ - N| = |Ñ - 1000|

• Lần 1: |1275 - 1000| = 275
• Lần 2: |936 - 1000| = 64
• Lần 3: |969 - 1000| = 31

Bước 4: Tính sai số tương đối

Công thức: Sai số tương đối = (Sai số tuyệt đối / N) × 100%

• Lần 1: 275/1000 × 100% = 27,5%
• Lần 2: 64/1000 × 100% = 6,4%
• Lần 3: 31/1000 × 100% = 3,1%

---

Bảng kết quả hoàn chỉnh:

---

Cách 2 — Phân tích xu hướng sai số

Từ bảng kết quả, ta thấy:

• Khi n = 51 → Sai số tương đối = 27,5%
• Khi n = 103 → Sai số tương đối = 6,4%
• Khi n = 155 → Sai số tương đối = 3,1%

Nhận xét: Khi n càng lớn (kích thước mẫu càng lớn), sai số càng nhỏ.

---

Nhận xét về sai số

Kết luận:

Khi n càng lớn, sai số của việc ước tính số hạt lạc trong túi càng nhỏ.

Giải thích:

• Khi lấy mẫu với số lượng n lớn hơn, mẫu sẽ đại diện tốt hơn cho toàn bộ quần thể.
• Tỉ lệ k/n sẽ tiến gần hơn đến tỉ lệ thực M/N.
• Đây là nguyên lý cơ bản của thống kê: mẫu càng lớn, kết quả ước tính càng chính xác.

---

💡 Mẹo bấm máy (Casio fx-580VN X): - Để tính Ñ = M × n/k, bấm: 100 × 51 ÷ 4 = - Để tính sai số tương đối (%): (Ñ - 1000) ÷ 1000 × 100 = - Dùng phím Abs để lấy giá trị tuyệt đối nếu cần

---

⚠️ Lưu ý thi: - Công thức ước tính Petersen: N ≈ M × n/k cần nhớ chính xác - Sai số tuyệt đối = |Giá trị ước tính - Giá trị thực| - Sai số tương đối = Sai số tuyệt đối / Giá trị thực × 100% - Trong thực tế, mẫu càng lớn → kết quả càng đáng tin cậy

---

🎯 Ghi nhớ: - Phương pháp đánh dấu và bắt lại (Petersen) dùng để ước tính số cá thể trong quần thể - Công thức: N ≈ M × n/k với M là số đánh dấu, n là mẫu lấy ra, k là số có đánh dấu trong mẫu - Kích thước mẫu n càng lớn, sai số ước tính càng nhỏ - Phương pháp này có ứng dụng rộng rãi trong sinh thái học, quản lý tài nguyên và nhiều lĩnh vực khác