Giải Toán 10 - Tập 2 trang 14

🔍 Kiến thức cần nhớ

Hàm số bậc hai y = ax² + bx + c (a ≠ 0)

1. Dạng chính tắc: y = a(x + b/(2a))² − Δ/(4a), với Δ = b² − 4ac

1. Đỉnh parabol: I(−b/(2a); −Δ/(4a))

1. Trục đối xứng: x = −b/(2a)

1. Bề lõm của đồ thị:

• Nếu a > 0: Parabol quay bề lõm lên trên → Đỉnh I là điểm thấp nhất
• Nếu a < 0: Parabol quay bề lõm xuống dưới → Đỉnh I là điểm cao nhất

1. Các bước vẽ parabol:

• Bước 1: Xác định tọa độ đỉnh I(−b/(2a); −Δ/(4a))
• Bước 2: Vẽ trục đối xứng x = −b/(2a)
• Bước 3: Xác định giao điểm với trục tung, trục hoành (nếu có)
• Bước 4: Vẽ parabol

---

⚙️ Bài tập

HĐ2 - Câu b

Đề bài: Quan sát dạng đồ thị của hàm số y = −2x² + 20x trong Hình 6.10, tìm tọa độ điểm cao nhất của đồ thị.

Cách 1 — Đọc trực tiếp từ đồ thị

Quan sát đồ thị Hình 6.10, ta thấy parabol quay bề lõm xuống dưới (do a = −2 < 0).

Điểm cao nhất nằm tại đỉnh của parabol. Từ đồ thị:

• Hoành độ đỉnh: x = 5
• Tung độ đỉnh: y = 50

Kết luận: Tọa độ điểm cao nhất là (5; 50)

Cách 2 — Tính toán bằng công thức

Với hàm số y = −2x² + 20x, ta có: a = −2, b = 20, c = 0

Hoành độ đỉnh:
x = −b/(2a) = −20/(2 × (−2)) = −20/(−4) = 5

Tung độ đỉnh:

y = −2 × 5² + 20 × 5 = −2 × 25 + 100 = −50 + 100 = 50

Kết luận: Tọa độ điểm cao nhất là (5; 50)

💡 Mẹo bấm máy (Casio fx-580VN X): - Tìm hoành độ đỉnh: Bấm −20 ÷ (2 × (−2)) = → Kết quả: 5 - Tìm tung độ: Bấm −2 × 5² + 20 × 5 = → Kết quả: 50

---

HĐ2 - Câu c

Đề bài:

• Thực hiện phép biến đổi y = −2x² + 20x = −2(x² − 10x) = −2(x² − 2·5·x + 25) + 50 = −2(x − 5)² + 50
• Hãy cho biết giá trị lớn nhất của diện tích mảnh đất được rào chắn. Từ đó suy ra lời giải của bài toán ở phần mở đầu.

Cách 1 — Phân tích từ dạng chính tắc

Từ phép biến đổi: y = −2(x − 5)² + 50

Nhận xét:

• (x − 5)² ≥ 0 với mọi x
• Suy ra: −2(x − 5)² ≤ 0 với mọi x
• Do đó: y = −2(x − 5)² + 50 ≤ 50 với mọi x

Dấu "=" xảy ra khi (x − 5)² = 0, tức là x = 5

Kết luận:

• Giá trị lớn nhất của diện tích là 50 (m²)
• Đạt được khi x = 5 (m)

Lời giải bài toán mở đầu:
Để diện tích mảnh đất được rào chắn lớn nhất, ta chọn chiều rộng x = 5 m. Khi đó diện tích lớn nhất là 50 m².

Cách 2 — Sử dụng tính chất đỉnh parabol

Vì a = −2 < 0, parabol quay bề lõm xuống dưới nên đỉnh là điểm cao nhất.

Từ dạng y = −2(x − 5)² + 50, ta thấy:

• Đỉnh parabol tại điểm I(5; 50)
• Giá trị lớn nhất của y là 50, đạt được khi x = 5

Kết luận: Diện tích lớn nhất là 50 m² khi chiều rộng là 5 m

⚠️ Lưu ý thi: Dạng bài tìm GTLN/GTNN của hàm bậc hai rất hay gặp trong đề thi. Nhớ: - a > 0: Hàm có GTNN = −Δ/(4a) tại x = −b/(2a) - a < 0: Hàm có GTLN = −Δ/(4a) tại x = −b/(2a)

---

HĐ3

Đề bài: Từ các đồ thị hàm số trên, hãy hoàn thành bảng sau đây cho hàm số y = −2x² − 3x + 1.

(Bảng đã cho sẵn thông tin cho hàm số y = x² + 2x + 2: Hệ số a = 1, Bề lõm: Quay lên, Tọa độ điểm cao/thấp nhất: (−1; 1), Trục đối xứng: x = −1)

Cách 1 — Tính toán theo công thức

Bước 1: Xác định các hệ số

Với y = −2x² − 3x + 1, ta có: a = −2, b = −3, c = 1

Bước 2: Xác định bề lõm

Vì a = −2 < 0 → Parabol quay xuống (bề lõm hướng xuống)

Bước 3: Tìm tọa độ đỉnh (điểm cao nhất)

Hoành độ đỉnh:
x = −b/(2a) = −(−3)/(2 × (−2)) = 3/(−4) = −3/4

Tung độ đỉnh:

• Tính Δ = b² − 4ac = (−3)² − 4 × (−2) × 1 = 9 + 8 = 17
• y = −Δ/(4a) = −17/(4 × (−2)) = −17/(−8) = 17/8

Tọa độ điểm cao nhất: (−3/4; 17/8)

Bước 4: Tìm trục đối xứng

Trục đối xứng: x = −3/4

Cách 2 — Đưa về dạng chính tắc

y = −2x² − 3x + 1

y = −2(x² + 3x/2) + 1

y = −2(x² + 2 × (3/4) × x + 9/16 − 9/16) + 1

y = −2(x + 3/4)² + 2 × 9/16 + 1

y = −2(x + 3/4)² + 9/8 + 1

y = −2(x + 3/4)² + 17/8

Từ đây suy ra: Đỉnh I(−3/4; 17/8), trục đối xứng x = −3/4

---

BẢNG HOÀN CHỈNH:

💡 Mẹo bấm máy (Casio fx-580VN X): - Tính hoành độ đỉnh: 3 ÷ (−4) = → −0.75 = −3/4 - Tính Δ: (−3)² − 4 × (−2) × 1 = → 17 - Tính tung độ đỉnh: 17 ÷ 8 = → 2.125 = 17/8

💡 Mẹo nhớ: - "Âm xuống, Dương lên": a < 0 → quay xuống; a > 0 → quay lên - Hoành độ đỉnh luôn là x = −b/(2a) (nhớ dấu trừ ở trước!)

---

🎯 Ghi nhớ: 1. Đồ thị hàm số bậc hai y = ax² + bx + c là một parabol có đỉnh I(−b/(2a); −Δ/(4a)) 2. Trục đối xứng luôn đi qua đỉnh: x = −b/(2a) 3. Hệ số a quyết định hướng bề lõm và loại cực trị (GTLN hay GTNN) 4. Biến đổi về dạng chính tắc y = a(x − p)² + q giúp xác định nhanh đỉnh (p; q)