Giải Toán 10 - Tập 2 trang 16
Lời giải chi tiết SGK Lớp 10 · Môn ToĂ¡n · Trang 16–17
Tóm tắt lý thuyết (trang 15)
Với hàm số bậc hai $y = ax^2 + bx + c \ (a \neq 0)$, đỉnh có hoành độ $x = -\dfrac{b}{2a}$, trục đối xứng $x = -\dfrac{b}{2a}$.
| Với $a > 0$ (lõm lên) | Với $a < 0$ (lõm xuống) | |
|---|---|---|
| Nghịch biến | $\left(-\infty; -\dfrac{b}{2a}\right)$ | $\left(-\dfrac{b}{2a}; +\infty\right)$ |
| Đồng biến | $\left(-\dfrac{b}{2a}; +\infty\right)$ | $\left(-\infty; -\dfrac{b}{2a}\right)$ |
| Giá trị đặc biệt | $-\dfrac{\Delta}{4a}$ là GTNN | $-\dfrac{\Delta}{4a}$ là GTLN |
Luyện tập 2
Đề: Vẽ parabol $y = 3x^2 - 10x + 7$. Tìm khoảng đồng biến, nghịch biến và giá trị nhỏ nhất.
Lời giải:
- $a = 3 > 0$ nên parabol lõm lên trên.
- Đỉnh: $x = -\dfrac{b}{2a} = \dfrac{10}{6} = \dfrac{5}{3}$; $y = 3\left(\dfrac{5}{3}\right)^2 - 10\cdot\dfrac{5}{3} + 7 = -\dfrac{4}{3}$. Đỉnh $I\left(\dfrac{5}{3}; -\dfrac{4}{3}\right)$.
- Trục đối xứng $x = \dfrac{5}{3}$.
- Giao $Oy$: $(0; 7)$. Giao $Ox$: giải $3x^2 - 10x + 7 = 0 \Rightarrow x = 1$ và $x = \dfrac{7}{3}$.
Kết luận:
- Nghịch biến trên $\left(-\infty; \dfrac{5}{3}\right)$, đồng biến trên $\left(\dfrac{5}{3}; +\infty\right)$.
- Giá trị nhỏ nhất $y = -\dfrac{4}{3}$ khi $x = \dfrac{5}{3}$.
Vận dụng 2
Đề: Trụ tháp cầu dạng parabol, hai chân cách nhau 27 m, chiều cao tính từ điểm trên mặt đất cách chân trụ 2,26 m là 20 m. Ước lượng độ cao đỉnh trụ tháp.
Lời giải:
Chọn một chân trụ tại gốc $O$, chân kia tại $(27; 0)$, trụ là một phần đồ thị $y = ax^2 + bx$.
- Qua $(27; 0)$: $27^2 a + 27b = 0 \Rightarrow b = -27a$.
- Tại $x = 2{,}26$ thì $y = 20$:
$$2{,}26^2 a + 2{,}26b = 20 \Rightarrow 5{,}1076a - 61{,}02a = 20 \Rightarrow -55{,}9124a = 20$$
$$\Rightarrow a \approx -0{,}3577,\quad b = -27a \approx 9{,}658.$$
Đỉnh tại $x = \dfrac{27}{2} = 13{,}5$ (chính giữa hai chân):
$$y_{\max} = -16{,}2... \text{ thực ra } y_I = -182{,}25a \approx 65{,}2 \text{ (m)}.$$
Vậy độ cao đỉnh trụ tháp khoảng 65,2 m.
BÀI TẬP (trang 16)
Bài 6.7: Vẽ các parabol
Cô lập bảng đặc trưng của từng parabol để dựng hình.
a) $y = x^2 - 3x + 2$
- $a = 1 > 0$, đỉnh $I\left(\dfrac{3}{2}; -\dfrac{1}{4}\right)$, trục $x = \dfrac{3}{2}$.
- Giao $Oy$: $(0; 2)$; giao $Ox$: $x = 1,\ x = 2$.
b) $y = -2x^2 + 2x + 3$
- $a = -2 < 0$, đỉnh $I\left(\dfrac{1}{2}; \dfrac{7}{2}\right)$, trục $x = \dfrac{1}{2}$.
- Giao $Oy$: $(0; 3)$; giao $Ox$: $x = \dfrac{1 \pm \sqrt{7}}{2}$.
c) $y = x^2 + 2x + 1 = (x+1)^2$
- $a = 1 > 0$, đỉnh $I(-1; 0)$ (tiếp xúc $Ox$), trục $x = -1$.
- Giao $Oy$: $(0; 1)$.
d) $y = -x^2 + x - 1$
- $a = -1 < 0$, đỉnh $I\left(\dfrac{1}{2}; -\dfrac{3}{4}\right)$, trục $x = \dfrac{1}{2}$.
- $\Delta = -3 < 0$ nên không cắt $Ox$; giao $Oy$: $(0; -1)$.
Bài 6.8: Khoảng đồng biến, nghịch biến
| Hàm số | Đỉnh $x$ | Đồng biến | Nghịch biến |
|---|---|---|---|
| a) $a>0$ | $\frac{3}{2}$ | $\left(\frac{3}{2}; +\infty\right)$ | $\left(-\infty; \frac{3}{2}\right)$ |
| b) $a<0$ | $\frac{1}{2}$ | $\left(-\infty; \frac{1}{2}\right)$ | $\left(\frac{1}{2}; +\infty\right)$ |
| c) $a>0$ | $-1$ | $(-1; +\infty)$ | $(-\infty; -1)$ |
| d) $a<0$ | $\frac{1}{2}$ | $\left(-\infty; \frac{1}{2}\right)$ | $\left(\frac{1}{2}; +\infty\right)$ |
Nguyên tắc: $a>0$ thì nghịch biến trước đỉnh, đồng biến sau đỉnh; $a<0$ thì ngược lại.
Bài 6.9: Xác định parabol $y = ax^2 + bx + 1$
a) Qua $A(1; 0)$ và $B(2; 4)$:
- $A$: $a + b + 1 = 0$. $B$: $4a + 2b + 1 = 4$.
- Giải: $a + b = -1$ và $4a + 2b = 3 \Rightarrow a = \dfrac{5}{2},\ b = -\dfrac{7}{2}$.
- $\boxed{y = \dfrac{5}{2}x^2 - \dfrac{7}{2}x + 1}$
b) Qua $A(1; 0)$ và trục đối xứng $x = 1$:
- Trục: $-\dfrac{b}{2a} = 1 \Rightarrow b = -2a$. Qua $A$: $a + b + 1 = 0$.
- $a - 2a + 1 = 0 \Rightarrow a = 1,\ b = -2$.
- $\boxed{y = x^2 - 2x + 1}$
c) Đỉnh $I(1; 2)$:
- $-\dfrac{b}{2a} = 1 \Rightarrow b = -2a$. $y(1) = a + b + 1 = 2$.
- $a - 2a + 1 = 2 \Rightarrow a = -1,\ b = 2$.
- $\boxed{y = -x^2 + 2x + 1}$
d) Qua $A(-1; 6)$ và tung độ đỉnh $-0{,}25$:
- Qua $A$: $a - b + 1 = 6 \Rightarrow a - b = 5$ (1).
- Tung độ đỉnh: $1 - \dfrac{b^2}{4a} = -\dfrac14 \Rightarrow b^2 = 5a$ (2).
- Từ (1): $a = b + 5$. Thay vào (2): $b^2 = 5b + 25 \Rightarrow b^2 - 5b - 25 = 0 \Rightarrow b = \dfrac{5 \pm 5\sqrt{5}}{2}$.
- Tương ứng $a = b + 5$. Có hai parabol thỏa mãn:
$$b = \dfrac{5 + 5\sqrt5}{2} \approx 8{,}09,\ a \approx 13{,}09; \qquad b = \dfrac{5 - 5\sqrt5}{2} \approx -3{,}09,\ a \approx 1{,}91.$$
Bài 6.10: $y = ax^2 + bx + c$ qua $A(8; 0)$, đỉnh $I(6; -12)$
- Đỉnh: $-\dfrac{b}{2a} = 6 \Rightarrow b = -12a$.
- $y(6) = -12$: $36a + 6b + c = -12$.
- $y(8) = 0$: $64a + 8b + c = 0$.
- Trừ hai phương trình: $28a + 2b = 12 \Rightarrow 14a + b = 6$. Với $b = -12a$: $2a = 6 \Rightarrow a = 3,\ b = -36$.
- Thay lại: $108 - 216 + c = -12 \Rightarrow c = 96$.
- $\boxed{y = 3x^2 - 36x + 96}$
Kiểm tra: $y(8) = 192 - 288 + 96 = 0$ ✓, đỉnh $x = 6,\ y = -12$ ✓.
Bài 6.11: Dấu của $a$ và $\Delta$
| Trường hợp | Hình dạng | $a$ | $\Delta$ |
|---|---|---|---|
| a) Hoàn toàn trên $Ox$ | lõm lên, không cắt $Ox$ | $a > 0$ | $\Delta < 0$ |
| b) Hoàn toàn dưới $Ox$ | lõm xuống, không cắt $Ox$ | $a < 0$ | $\Delta < 0$ |
| c) Cắt $Ox$ tại 2 điểm, đỉnh dưới $Ox$ | lõm lên, 2 nghiệm | $a > 0$ | $\Delta > 0$ |
| d) Tiếp xúc $Ox$, nằm trên $Ox$ | lõm lên, 1 nghiệm kép | $a > 0$ | $\Delta = 0$ |
Bài 6.12: Cổng parabol Đại học Bách khoa Hà Nội
Đề: Hai chân cổng cách 8 m, chiều cao tính từ điểm cách chân cổng 0,5 m là 2,93 m. An tính chiều cao cổng là 12 m. Kiểm tra xem đúng không.
Lời giải:
Chọn một chân cổng tại $O$, chân kia tại $(8; 0)$, cổng là một phần đồ thị $y = ax^2 + bx$.
- Qua $(8; 0)$: $64a + 8b = 0 \Rightarrow b = -8a$.
- Tại $x = 0{,}5$, $y = 2{,}93$:
$$0{,}25a + 0{,}5b = 2{,}93 \Rightarrow 0{,}25a - 4a = 2{,}93 \Rightarrow -3{,}75a = 2{,}93 \Rightarrow a \approx -0{,}7813,\ b \approx 6{,}25.$$
Đỉnh tại $x = 4$ (giữa hai chân):
$$y_{\max} = 16a + 4b = 16a - 32a = -16a \approx -16 \cdot (-0{,}7813) \approx 12{,}5 \text{ (m)}.$$
Kết luận: Chiều cao cổng khoảng 12,5 m, không phải 12 m. Vậy bạn Bình đúng, kết quả của An chưa chính xác.
Bài 6.13: Mảnh vườn hình chữ nhật, 40 m lưới
a) Chu vi $= 40$ nên $x + y = 20 \Rightarrow$ chiều dài $= 20 - x$.
Diện tích theo chiều rộng $x$:
$$S(x) = x(20 - x) = -x^2 + 20x, \quad 0 < x < 20.$$
b) $S(x) = -x^2 + 20x$ có $a = -1 < 0$, đỉnh tại $x = -\dfrac{b}{2a} = 10$.
$$S_{\max} = S(10) = 100 \text{ (m}^2).$$
Khi đó chiều dài cũng bằng $20 - 10 = 10$. Mảnh vườn là hình vuông cạnh 10 m, diện tích lớn nhất 100 m².
Bài 6.14: Quỹ đạo ném vật (đề bị cắt ở cuối trang)
Đề trên trang: vật ném từ gốc $O$, quỹ đạo $y = -\dfrac{3}{1000}x^2 + x$, với $x$ (mét) là khoảng cách... (phần câu hỏi tiếp tục ở trang sau nên cô chưa thấy đủ).
Phân tích sẵn parabol để khi có câu hỏi em dùng ngay:
- $a = -\dfrac{3}{1000} < 0$, đỉnh tại $x = -\dfrac{b}{2a} = \dfrac{1}{\frac{6}{1000}} = \dfrac{1000}{6} \approx 166{,}7$ m.
- Độ cao lớn nhất: $y_{\max} = -\dfrac{\Delta}{4a} = \dfrac{1000}{12} \approx 83{,}3$ m.
- Vật chạm đất khi $y = 0$: $x\left(-\dfrac{3}{1000}x + 1\right) = 0 \Rightarrow x = 0$ hoặc $x = \dfrac{1000}{3} \approx 333{,}3$ m (tầm xa).
Nếu em gửi tiếp trang sau, cô sẽ giải đúng theo yêu cầu cụ thể của bài 6.14 nhé.