Giải Toán 10 - Tập 2 trang 18
Lời giải chi tiết SGK Lớp 10 · Môn ToĂ¡n · Trang 18–19
Hai trang này (đánh số 17 và 18 trong sách) gồm phần cuối một bài toán vận dụng về hàm số bậc hai và mục đọc thêm "Em có biết?". Mình sẽ giải bài toán và tóm tắt phần lý thuyết tham khảo.
Bài toán: Quỹ đạo chuyển động của vật
Đề bài (phần đầu trang 17): Một vật chuyển động theo quỹ đạo là parabol có phương trình
$$y = -\frac{3}{1000}x^2 + x,$$
trong đó $x$ (mét) là khoảng cách theo phương ngang trên mặt đất từ vị trí của vật đến gốc $O$, $y$ (mét) là độ cao của vật so với mặt đất (H.6.15).
a) Tìm độ cao cực đại của vật trong quá trình bay.
b) Tính khoảng cách từ điểm chạm đất sau khi bay của vật đến gốc $O$ (tầm xa của quỹ đạo).
Phân tích
Đây là hàm số bậc hai $y = ax^2 + bx + c$ với:
$$a = -\frac{3}{1000}, \quad b = 1, \quad c = 0.$$
Vì $a < 0$ nên parabol có bề lõm hướng xuống, hàm số đạt giá trị lớn nhất tại đỉnh.
Lời giải câu a
Hoành độ đỉnh (vị trí ngang đạt độ cao lớn nhất):
$$x_{đỉnh} = -\frac{b}{2a} = -\frac{1}{2\cdot\left(-\dfrac{3}{1000}\right)} = \frac{1000}{6} = \frac{500}{3} \approx 166{,}67 \text{ (m)}.$$
Độ cao cực đại là tung độ đỉnh:
$$y_{max} = -\frac{3}{1000}\left(\frac{500}{3}\right)^2 + \frac{500}{3}.$$
Tính từng phần:
$$\left(\frac{500}{3}\right)^2 = \frac{250000}{9}, \qquad -\frac{3}{1000}\cdot\frac{250000}{9} = -\frac{250}{3}.$$
Do đó:
$$y_{max} = -\frac{250}{3} + \frac{500}{3} = \frac{250}{3} \approx 83{,}33 \text{ (m)}.$$
Vậy độ cao cực đại của vật khoảng $\dfrac{250}{3} \approx 83{,}33$ m.
Lời giải câu b
Vật chạm đất khi độ cao $y = 0$:
$$-\frac{3}{1000}x^2 + x = 0 \;\Leftrightarrow\; x\left(-\frac{3}{1000}x + 1\right) = 0.$$
Suy ra:
$$x = 0 \quad \text{hoặc} \quad x = \frac{1000}{3} \approx 333{,}33 \text{ (m)}.$$
Nghiệm $x = 0$ là vị trí ném ban đầu (tại gốc $O$), nghiệm còn lại là điểm chạm đất.
Vậy tầm xa của quỹ đạo là:
$$x = \frac{1000}{3} \approx 333{,}33 \text{ (m)}.$$
Tóm tắt phần "Em có biết?" — Một số mô hình toán học dùng hàm bậc hai
Phần đọc thêm giới thiệu các tình huống thực tế mô tả bằng hàm số bậc hai:
| Mô hình | Công thức | Ý nghĩa |
|---|---|---|
| Chuyển động thẳng biến đổi đều | $y = x_0 + v_0 t + \dfrac{at^2}{2}$ | $x_0$: tọa độ đầu; $v_0$: vận tốc đầu; $a$: gia tốc. Tọa độ là hàm bậc hai của thời gian $t$. |
| Ném vật thẳng đứng lên | $y(t) = y_0 + v_0 t - \dfrac{1}{2}gt^2$ | $y_0$: độ cao đầu; $g \approx 9{,}8\ \text{m/s}^2$ là gia tốc trọng trường. |
| Rơi tự do | $y(t) = h_0 - \dfrac{1}{2}gt^2$ | $h_0$: độ cao ban đầu khi thả vật. |
| Ném xiên | $y = \dfrac{-g}{2v_0^2\cos^2\alpha}x^2 + x\tan\alpha + h$ | Quỹ đạo là một parabol; $\alpha$ là góc ném so với phương ngang. |
Lưu ý quan trọng: với chuyển động ném xiên (bỏ qua sức cản không khí), quỹ đạo luôn là một parabol. Nhờ vậy mà đường bay của quả bóng, viên đạn pháo, tia lửa hàn, hay tia nước ở đài phun nước đều có dạng parabol (H.6.16).
Trang 18 còn nêu một ứng dụng kinh tế — doanh thu bán hàng:
- Doanh thu $R$ = đơn giá $x$ × số lượng $n$: $\quad R = x\cdot n.$
- Theo định luật nhu cầu, $x$ và $n$ liên hệ nghịch. Nếu liên hệ bậc nhất $n = a - bx$ ($a, b > 0$) thì
$$R(x) = x(a - bx) = ax - bx^2,$$
là một hàm số bậc hai. Khi đó người ta thường tìm giá bán $x$ để doanh thu đạt cực đại (chính là tìm tung độ đỉnh của parabol), hoặc để doanh thu vượt một mức nào đó.
Nắm được những mô hình này, em sẽ thấy hàm bậc hai không chỉ là lý thuyết mà gắn rất chặt với vật lý và kinh tế đời sống.