Giải Toán 10 - Tập 1 trang 24

🔍 Kiến thức cần nhớ

Bất phương trình bậc nhất hai ẩn

• Dạng tổng quát: ax + by ≤ c (hoặc ax + by ≥ c, ax + by < c, ax + by > c)
• Trong đó: a, b, c là các số thực đã cho; a và b không đồng thời bằng 0; x và y là các ẩn số.
• Nghiệm: Cặp số (x₀; y₀) được gọi là một nghiệm của bất phương trình ax + by ≤ c nếu bất đẳng thức ax₀ + by₀ ≤ c đúng.

Biểu diễn miền nghiệm trên mặt phẳng tọa độ

• Bước 1: Vẽ đường thẳng d: ax + by = c trên mặt phẳng tọa độ Oxy
• Bước 2: Lấy một điểm M₀(x₀; y₀) không thuộc d, tính ax₀ + by₀ và so sánh với c
• Kết luận:
• Nếu ax₀ + by₀ < c thì nửa mặt phẳng bờ d chứa M₀ là miền nghiệm của bất phương trình ax + by < c (hoặc ax + by ≤ c)
• Nếu ax₀ + by₀ > c thì nửa mặt phẳng bờ d không chứa M₀ là miền nghiệm

💡 Mẹo nhớ: Thường chọn điểm M₀ là gốc tọa độ O(0; 0) nếu c ≠ 0, hoặc điểm (1; 0) hoặc (0; 1) nếu c = 0.

---

⚙️ Bài tập

HĐ2. Kiểm tra nghiệm của bất phương trình

Đề bài:
Cặp số (x; y) = (100; 100) thỏa mãn bất phương trình bậc nhất hai ẩn nào trong hai bất phương trình thu được ở HĐ1? Từ đó cho biết rạp chiếu phim có phải bù lỗ hay không nếu bán được 100 vé loại 1 và 100 vé loại 2.

Trả lời câu hỏi tương tự với cặp số (x; y) = (150; 150).

Cách 1 — Thay trực tiếp vào bất phương trình

Giả sử bất phương trình từ HĐ1 có dạng: 45x + 30y ≥ 6000 (điều kiện không lỗ)

Với (x; y) = (100; 100):

• Tính: 45 × 100 + 30 × 100 = 4500 + 3000 = 7500
• So sánh: 7500 ≥ 6000 ✓ (đúng)
• Kết luận: Rạp chiếu phim không bị lỗ khi bán 100 vé loại 1 và 100 vé loại 2.

Với (x; y) = (150; 150):

• Tính: 45 × 150 + 30 × 150 = 6750 + 4500 = 11250
• So sánh: 11250 ≥ 6000 ✓ (đúng)
• Kết luận: Rạp chiếu phim không bị lỗ khi bán 150 vé loại 1 và 150 vé loại 2.

Cách 2 — Phân tích nhanh

• Cả hai cặp số đều cho tổng doanh thu lớn hơn chi phí tối thiểu
• Cặp (150; 150) còn cho doanh thu cao hơn nhiều so với (100; 100)

⚠️ Lưu ý: Đề bài cụ thể phụ thuộc vào nội dung HĐ1 ở trang trước. Cách giải trên minh họa phương pháp kiểm tra nghiệm.

---

Luyện tập 1

Đề bài: Cho bất phương trình bậc nhất hai ẩn x + 2y ≥ 0.

a) Hãy chỉ ra ít nhất hai nghiệm của bất phương trình trên.

b) Với y = 0, có bao nhiêu giá trị của x thỏa mãn bất phương trình đã cho?

Câu a) — Tìm hai nghiệm

Cách 1 — Thử các giá trị đơn giản

Nghiệm 1: Thử (x; y) = (0; 0)

• Kiểm tra: 0 + 2 × 0 = 0 ≥ 0 ✓
• Vậy (0; 0) là một nghiệm

Nghiệm 2: Thử (x; y) = (2; 1)

• Kiểm tra: 2 + 2 × 1 = 4 ≥ 0 ✓
• Vậy (2; 1) là một nghiệm

Nghiệm 3 (bổ sung): Thử (x; y) = (-2; 3)

• Kiểm tra: -2 + 2 × 3 = -2 + 6 = 4 ≥ 0 ✓
• Vậy (-2; 3) là một nghiệm

Cách 2 — Chọn y trước, suy ra điều kiện x

Từ x + 2y ≥ 0 ⟹ x ≥ -2y

• Chọn y = 0 ⟹ x ≥ 0, lấy x = 1 ⟹ nghiệm (1; 0)
• Chọn y = 5 ⟹ x ≥ -10, lấy x = 0 ⟹ nghiệm (0; 5)

💡 Mẹo: Bất phương trình bậc nhất hai ẩn luôn có vô số nghiệm, nên ta có thể tìm được rất nhiều cặp số thỏa mãn.

Câu b) — Với y = 0, tìm số giá trị x thỏa mãn

Cách 1 — Thay y = 0 vào bất phương trình

Thay y = 0 vào x + 2y ≥ 0:

• x + 2 × 0 ≥ 0
• x + 0 ≥ 0
• x ≥ 0

Tập nghiệm: x ∈ [0; +∞)

Kết luận: Có vô số giá trị của x thỏa mãn bất phương trình (mọi số thực x ≥ 0).

Cách 2 — Giải thích theo miền nghiệm

Khi y = 0, ta đang xét các điểm trên trục Ox. Bất phương trình x + 2y ≥ 0 với y = 0 trở thành x ≥ 0, tức là nửa trục Ox dương (bao gồm cả gốc O).

🎯 Ghi nhớ: Bất phương trình bậc nhất hai ẩn luôn có vô số nghiệm. Khi cố định một ẩn, ta thu được bất phương trình một ẩn.

---

HĐ3. Xét vị trí điểm so với đường thẳng

Đề bài: Cho đường thẳng d: 2x – y = 4 trên mặt phẳng tọa độ Oxy (H.2.1). Đường thẳng này chia mặt phẳng thành hai nửa mặt phẳng.

a) Các điểm O(0; 0), A(-1; 3) và B(-2; -2) có thuộc cùng một nửa mặt phẳng bờ là đường thẳng d không? Tính giá trị của biểu thức 2x – y tại các điểm đó và so sánh với 4.

b) Trả lời câu hỏi tương tự như câu a với các điểm C(3; 1), D(4; -1).

Câu a) — Xét các điểm O, A, B

Cách 1 — Tính giá trị biểu thức 2x – y tại mỗi điểm

Tại O(0; 0):

• 2x – y = 2 × 0 – 0 = 0
• So sánh: 0 < 4

Tại A(-1; 3):

• 2x – y = 2 × (-1) – 3 = -2 – 3 = -5
• So sánh: -5 < 4

Tại B(-2; -2):

• 2x – y = 2 × (-2) – (-2) = -4 + 2 = -2
• So sánh: -2 < 4

Kết luận:

• Cả ba điểm O, A, B đều cho giá trị 2x – y < 4
• Do đó, O, A, B thuộc cùng một nửa mặt phẳng bờ là đường thẳng d (nửa mặt phẳng thỏa mãn 2x – y < 4)

Cách 2 — Giải thích hình học

Đường thẳng d: 2x – y = 4 chia mặt phẳng thành:

• Nửa mặt phẳng (I): gồm các điểm có 2x – y < 4
• Nửa mặt phẳng (II): gồm các điểm có 2x – y > 4

Vì O, A, B đều cho 2x – y < 4 nên chúng cùng thuộc nửa mặt phẳng (I).

Câu b) — Xét các điểm C, D

Cách 1 — Tính giá trị biểu thức 2x – y tại mỗi điểm

Tại C(3; 1):

• 2x – y = 2 × 3 – 1 = 6 – 1 = 5
• So sánh: 5 > 4

Tại D(4; -1):

• 2x – y = 2 × 4 – (-1) = 8 + 1 = 9
• So sánh: 9 > 4

Kết luận:

• Cả hai điểm C, D đều cho giá trị 2x – y > 4
• Do đó, C, D thuộc cùng một nửa mặt phẳng bờ là đường thẳng d (nửa mặt phẳng thỏa mãn 2x – y > 4)

So sánh với câu a:

• O, A, B thuộc nửa mặt phẳng có 2x – y < 4
• C, D thuộc nửa mặt phẳng có 2x – y > 4
• Hai nhóm điểm nằm ở hai nửa mặt phẳng khác nhau

💡 Mẹo nhớ: Để xét một điểm thuộc nửa mặt phẳng nào, chỉ cần thay tọa độ vào biểu thức ax + by rồi so sánh với c.

---

Luyện tập 2

Đề bài: Biểu diễn miền nghiệm của bất phương trình 2x + y < 200 trên mặt phẳng tọa độ.

Cách 1 — Phương pháp chuẩn SGK

Bước 1: Vẽ đường thẳng d: 2x + y = 200

Tìm hai điểm thuộc đường thẳng:

• Cho x = 0 ⟹ y = 200 ⟹ điểm (0; 200)
• Cho y = 0 ⟹ 2x = 200 ⟹ x = 100 ⟹ điểm (100; 0)

Vẽ đường thẳng đi qua hai điểm (0; 200) và (100; 0).

Bước 2: Xác định nửa mặt phẳng nghiệm

Lấy điểm M₀(0; 0) không thuộc d (vì 2 × 0 + 0 = 0 ≠ 200).

Thay vào biểu thức 2x + y:

• 2 × 0 + 0 = 0
• So sánh: 0 < 200 ✓

Vì 0 < 200 nên nửa mặt phẳng bờ d chứa gốc tọa độ O là miền nghiệm.

Bước 3: Biểu diễn miền nghiệm

• Vẽ đường thẳng d: 2x + y = 200 bằng nét đứt (vì dấu < không bao gồm đường biên)
• Gạch chéo (hoặc tô màu) nửa mặt phẳng chứa gốc O (phía dưới đường thẳng d)

Cách 2 — Nhận xét nhanh

Từ 2x + y < 200 ⟹ y < -2x + 200

Miền nghiệm là tập hợp các điểm nằm phía dưới đường thẳng y = -2x + 200.

Mô tả miền nghiệm:

• Đường biên: d: 2x + y = 200 (đường nét đứt)
• Miền nghiệm: Nửa mặt phẳng chứa gốc O, không bao gồm đường biên

⚠️ Lưu ý thi: - Dấu < hoặc > (không có dấu =): vẽ đường thẳng nét đứt - Dấu ≤ hoặc ≥ (có dấu =): vẽ đường thẳng nét liền

💡 Mẹo bấm máy (Casio fx-580VN X): Để kiểm tra một điểm có thuộc miền nghiệm không: - Vào MODE → 1 (COMP) - Nhập: 2 × [giá trị x] + [giá trị y] - So sánh kết quả với 200

---

🎯 Tổng kết

🎯 Ghi nhớ: - Bất phương trình bậc nhất hai ẩn có vô số nghiệm - Miền nghiệm là một nửa mặt phẳng (có hoặc không bao gồm bờ tùy dấu) - Luôn chọn điểm O(0; 0) để thử nếu c ≠ 0