Giải Toán 10 - Tập 1 trang 26

Tóm tắt lý thuyết

Phần đầu (trang 25) hoàn thiện ví dụ về miền nghiệm của bất phương trình bậc nhất hai ẩn:

• Để biểu diễn miền nghiệm của $ax + by < c$ (hoặc $\le, >, \ge$):

1. Vẽ đường thẳng $d: ax + by = c$.
2. Lấy một điểm thử (thường là gốc $O(0;0)$ nếu $d$ không đi qua gốc), thay vào bất phương trình.
3. Nếu điểm thử thỏa mãn thì nửa mặt phẳng chứa điểm đó là miền nghiệm.

Phần sau (trang 26) bắt đầu Bài 4 – Hệ bất phương trình bậc nhất hai ẩn:

• Hệ bất phương trình bậc nhất hai ẩn là hệ gồm hai hay nhiều bất phương trình bậc nhất hai ẩn.
• Cặp số $(x_0; y_0)$ là nghiệm của hệ khi nó đồng thời là nghiệm của tất cả các bất phương trình trong hệ.

---

Bài 2.1: Nhận biết bất phương trình bậc nhất hai ẩn

Đề: Bất phương trình nào sau đây là bất phương trình bậc nhất hai ẩn?

a) $2x + 3y > 6$

b) $2^2x + y \le 0$

c) $2x^2 - y \ge 1$

Lời giải:

Bất phương trình bậc nhất hai ẩn có dạng $ax + by \, \square \, c$ (với $\square$ là $<, >, \le, \ge$), trong đó $a, b$ không đồng thời bằng 0 và bậc của mỗi ẩn là 1.

Đáp án: a) và b) là bất phương trình bậc nhất hai ẩn; c) không phải.

Lưu ý ở câu b): $2^2$ chỉ là cách viết của số $4$, không phải $x$ bình phương, nên đây vẫn là bậc nhất.

---

Bài 2.2: Biểu diễn miền nghiệm trên mặt phẳng tọa độ

a) $3x + 2y \ge 300$

Các bước:

1. Vẽ đường thẳng $d: 3x + 2y = 300$.

• Cho $x = 0 \Rightarrow y = 150$, được điểm $(0; 150)$.
• Cho $y = 0 \Rightarrow x = 100$, được điểm $(100; 0)$.

1. Lấy gốc $O(0; 0)$ thay vào: $3\cdot 0 + 2\cdot 0 = 0$. Ta có $0 \ge 300$ là sai.
2. Vậy miền nghiệm là nửa mặt phẳng bờ $d$ không chứa gốc $O$, kể cả đường thẳng $d$ (vì có dấu $\ge$).

Miền nghiệm là phần nằm phía trên – bên phải đường thẳng (lấy cả bờ, vẽ nét liền).

b) $7x + 20y < 0$

Các bước:

1. Vẽ đường thẳng $d: 7x + 20y = 0$. Đường này đi qua gốc tọa độ.

• Cho $x = 0 \Rightarrow y = 0$, được điểm $O(0;0)$.
• Cho $x = 20 \Rightarrow y = -7$, được điểm $(20; -7)$.

1. Vì $d$ đi qua $O$ nên ta chọn điểm thử khác, ví dụ $(1; 0)$: $7\cdot 1 + 20\cdot 0 = 7$. Ta có $7 < 0$ là sai.
2. Vậy miền nghiệm là nửa mặt phẳng bờ $d$ không chứa điểm $(1; 0)$, không kể đường thẳng $d$ (vì dấu $<$, vẽ nét đứt).

Miền nghiệm là nửa mặt phẳng phía trên – bên trái đường thẳng đi qua gốc.

---

Bài 2.3: Bài toán thuê ô tô của ông An

Đề: Giá thuê xe (có lái) trong một tuần:

a) Viết bất phương trình mối liên hệ giữa $x$ và $y$

Gọi:

• $x$ là số kilômét đi trong các ngày từ thứ Hai đến thứ Sáu ($x \ge 0$).
• $y$ là số kilômét đi trong hai ngày cuối tuần ($y \ge 0$).

Tính tổng tiền phải trả (đơn vị: nghìn đồng):

Phí cố định:

• Từ thứ Hai đến thứ Sáu có 5 ngày: $5 \times 900 = 4\,500$ (nghìn đồng).
• Thứ Bảy và Chủ nhật có 2 ngày: $2 \times 1\,500 = 3\,000$ (nghìn đồng).
• Tổng phí cố định: $4\,500 + 3\,000 = 7\,500$ (nghìn đồng).

Phí theo quãng đường:

• Ngày thường: $8x$ (nghìn đồng).
• Cuối tuần: $10y$ (nghìn đồng).

Tổng số tiền: $7\,500 + 8x + 10y$ (nghìn đồng).

Yêu cầu không quá 14 triệu đồng = $14\,000$ nghìn đồng:

$$7\,500 + 8x + 10y \le 14\,000$$

Rút gọn:

$$8x + 10y \le 6\,500 \quad \Leftrightarrow \quad 4x + 5y \le 3\,250$$

Đây là bất phương trình cần tìm (kèm điều kiện $x \ge 0,\ y \ge 0$).

b) Biểu diễn miền nghiệm trên mặt phẳng tọa độ

Xét bất phương trình $4x + 5y \le 3\,250$ với $x \ge 0,\ y \ge 0$.

1. Vẽ đường thẳng $d: 4x + 5y = 3\,250$.

• Cho $x = 0 \Rightarrow y = 650$, được điểm $(0; 650)$.
• Cho $y = 0 \Rightarrow x = 812{,}5$, được điểm $(812{,}5; 0)$.

1. Lấy gốc $O(0;0)$: $4\cdot 0 + 5\cdot 0 = 0 \le 3\,250$ là đúng.
2. Vậy miền nghiệm là nửa mặt phẳng bờ $d$ chứa gốc $O$ (kể cả bờ $d$).

Kết hợp $x \ge 0,\ y \ge 0$, miền nghiệm là miền tam giác giới hạn bởi:

• Trục tung ($x = 0$),
• Trục hoành ($y = 0$),
• Đường thẳng $d: 4x + 5y = 3\,250$,

với ba đỉnh là $O(0;0)$, $(812{,}5;\ 0)$ và $(0;\ 650)$ (lấy cả ba cạnh).

---

Bài 4 – HĐ1: Lập các bất phương trình từ tình huống mở đầu

Đề: Gọi $x$ và $y$ lần lượt là số máy điều hòa loại hai chiều và một chiều cần nhập. Bảng số liệu:

Số tiền vốn để nhập hai loại máy: $20x + 10y$ (triệu đồng).

a) Điều kiện về nhu cầu thị trường

Tổng nhu cầu không quá 100 máy cả hai loại, kèm điều kiện số máy không âm:

$$x + y \le 100, \qquad x \ge 0,\ y \ge 0$$

b) Điều kiện về số vốn

Số vốn không vượt quá 1,2 tỉ đồng = $1\,200$ triệu đồng:

$$20x + 10y \le 1\,200 \quad \Leftrightarrow \quad 2x + y \le 120$$

c) Số tiền lãi dự kiến

$$F = 3{,}5x + 2y \text{ (triệu đồng)}$$

Như vậy $x$ và $y$ phải đồng thời thỏa mãn các bất phương trình:

$$\begin{cases} x + y \le 100 \\ 2x + y \le 120 \\ x \ge 0 \\ y \ge 0 \end{cases}$$

Đây chính là một hệ bất phương trình bậc nhất hai ẩn, dẫn dắt vào nội dung Bài 4. Phần tìm $x, y$ để lãi $F$ lớn nhất sẽ được giải ở các trang tiếp theo của bài.

---

Em lưu ý: ảnh em gửi thực ra là trang 25 và trang 26. Nếu em cần thầy giải tiếp phần luyện tập của Bài 4 ở trang 27 thật, gửi thêm ảnh trang đó để thầy giải đầy đủ nhé.