Giải Toán 10 - Tập 1 trang 28

🔍 Kiến thức cần nhớ

Hệ bất phương trình bậc nhất hai ẩn

• Hệ gồm nhiều bất phương trình bậc nhất hai ẩn x, y
• Nghiệm của hệ là cặp số (x; y) thỏa mãn tất cả các bất phương trình trong hệ

Biểu diễn miền nghiệm trên mặt phẳng tọa độ

• Miền nghiệm của hệ là tập hợp các điểm có tọa độ là nghiệm của hệ
• Miền nghiệm của hệ = giao các miền nghiệm của từng bất phương trình

Cách xác định miền nghiệm

1. Vẽ đường thẳng bờ (đổi dấu bất đẳng thức thành dấu =)
2. Lấy điểm thử (thường là O(0; 0))
3. Nếu điểm thử thỏa mãn → miền nghiệm chứa điểm đó
4. Gạch bỏ miền không thỏa mãn
5. Miền không bị gạch là miền nghiệm của hệ

---

⚙️ Bài tập

---

Luyện tập 1

Đề bài: Trong tình huống mở đầu, gọi x và y lần lượt là số máy điều hoà loại hai chiều và một chiều mà cửa hàng cần nhập. Từ HĐ1, viết hệ bất phương trình hai ẩn x, y và chỉ ra một nghiệm của hệ này.

Cách 1 — Phương pháp cơ bản

Phân tích đề bài:

• x: số máy điều hòa hai chiều
• y: số máy điều hòa một chiều
• Số máy không thể âm → x ≥ 0 và y ≥ 0
• Tổng số máy không quá 150 → x + y ≤ 150

Hệ bất phương trình:

⎧ x ≥ 0
⎨ y ≥ 0
⎩ x + y ≤ 150

Tìm một nghiệm:

Chọn x = 50 và y = 60:

• Kiểm tra: x = 50 ≥ 0 ✓
• Kiểm tra: y = 60 ≥ 0 ✓
• Kiểm tra: x + y = 50 + 60 = 110 ≤ 150 ✓

Kết luận: Cặp (50; 60) là một nghiệm của hệ.

Nghĩa là cửa hàng có thể nhập 50 máy hai chiều và 60 máy một chiều.

Cách 2 — Chọn nghiệm đơn giản

Chọn x = 0, y = 0:

• 0 ≥ 0 ✓
• 0 ≥ 0 ✓
• 0 + 0 = 0 ≤ 150 ✓

Kết luận: Cặp (0; 0) cũng là một nghiệm của hệ.

💡 Mẹo nhớ: Điểm O(0; 0) thường là nghiệm dễ kiểm tra nhất cho các hệ có điều kiện x ≥ 0, y ≥ 0.

---

Luyện tập 2

Đề bài: Biểu diễn miền nghiệm của hệ bất phương trình bậc nhất hai ẩn sau trên mặt phẳng tọa độ:

⎧ x ≥ 0
⎨ y > 0
⎪ x + y ≤ 100
⎩ 2x + y < 120

Cách 1 — Phương pháp gạch bỏ từng miền

Bước 1: Xác định miền nghiệm D₁ của bất phương trình x ≥ 0

• Đường thẳng bờ: x = 0 (trục Oy)
• Điểm (1; 0): x = 1 ≥ 0 ✓
• Miền nghiệm D₁: Nửa mặt phẳng bờ Oy chứa điểm (1; 0) — tức là bên phải trục Oy (kể cả trục Oy)

Bước 2: Xác định miền nghiệm D₂ của bất phương trình y > 0

• Đường thẳng bờ: y = 0 (trục Ox)
• Điểm (0; 1): y = 1 > 0 ✓
• Miền nghiệm D₂: Nửa mặt phẳng bờ Ox chứa điểm (0; 1) — tức là phía trên trục Ox (không kể trục Ox vì dấu >)

Bước 3: Xác định miền nghiệm D₃ của bất phương trình x + y ≤ 100

• Đường thẳng bờ d₁: x + y = 100
• Điểm A(100; 0) và B(0; 100)
• Điểm O(0; 0): 0 + 0 = 0 ≤ 100 ✓
• Miền nghiệm D₃: Nửa mặt phẳng bờ d₁ chứa gốc tọa độ O (kể cả đường thẳng d₁)

Bước 4: Xác định miền nghiệm D₄ của bất phương trình 2x + y < 120

• Đường thẳng bờ d₂: 2x + y = 120
• Điểm C(60; 0) và D(0; 120)
• Điểm O(0; 0): 2×0 + 0 = 0 < 120 ✓
• Miền nghiệm D₄: Nửa mặt phẳng bờ d₂ chứa gốc tọa độ O (không kể đường thẳng d₂ vì dấu <)

Bước 5: Xác định giao của các miền

Miền nghiệm của hệ là giao D₁ ∩ D₂ ∩ D₃ ∩ D₄

Mô tả miền nghiệm:

• Là miền tứ giác với các đỉnh gần đúng:
• Gốc O (không thuộc miền vì y > 0)
• Điểm trên trục Oy: gần (0; 0) nhưng y > 0
• Điểm B(0; 100)
• Giao điểm d₁ và d₂: giải hệ x + y = 100 và 2x + y = 120 → x = 20, y = 80 → điểm (20; 80)
• Điểm trên trục Ox: gần (60; 0) nhưng y > 0

Đặc điểm:

• Cạnh trên trục Oy và Ox là đường nét đứt (không thuộc miền nghiệm vì y > 0)
• Cạnh thuộc d₁ (x + y = 100) là đường nét liền (thuộc miền nghiệm)
• Cạnh thuộc d₂ (2x + y = 120) là đường nét đứt (không thuộc miền nghiệm vì dấu <)

Cách 2 — Phương pháp xác định các đỉnh

Tìm các giao điểm quan trọng:

Miền nghiệm: Tứ giác mở với các đỉnh xấp xỉ:

• Điểm sát (0; 0) nhưng y > 0
• Điểm (0; 100)
• Điểm (20; 80)
• Điểm sát (60; 0) nhưng y > 0

⚠️ Lưu ý thi: - Dấu ≤ hoặc ≥ → đường nét liền (biên thuộc miền nghiệm) - Dấu < hoặc > → đường nét đứt (biên không thuộc miền nghiệm)

💡 Mẹo bấm máy: Để tìm giao điểm d₁ và d₂: - Nhấn MODE → 5 (EQN) → 1 (hệ 2 ẩn) - Nhập: a₁ = 1, b₁ = 1, c₁ = 100, a₂ = 2, b₂ = 1, c₂ = 120 - Kết quả: x = 20, y = 80

---

HĐ3 (Hoạt động 3)

Đề bài: Xét biểu thức F(x; y) = 2x + 3y với (x; y) thuộc miền tam giác OAB ở HĐ2. Tọa độ ba đỉnh là O(0; 0), A(150; 0) và B(0; 150) (H.2.5).

a) Tính giá trị của biểu thức F(x; y) tại mỗi đỉnh O, A và B.

b) Nêu nhận xét về dấu của hoành độ x và tung độ y của điểm (x; y) nằm trong miền tam giác OAB. Từ đó suy ra giá trị nhỏ nhất của F(x; y) trên miền tam giác OAB.

---

Câu a

Đề bài: Tính F(x; y) = 2x + 3y tại các đỉnh O, A, B

Cách 1 — Tính trực tiếp

Tại O(0; 0):

F(0; 0) = 2×0 + 3×0 = 0

Tại A(150; 0):

F(150; 0) = 2×150 + 3×0 = 300

Tại B(0; 150):

F(0; 150) = 2×0 + 3×150 = 450

Kết quả:

Cách 2 — Nhận xét hệ số

Vì F(x; y) = 2x + 3y với các hệ số dương (2 và 3):

• F tăng khi x hoặc y tăng
• F = 0 khi x = y = 0 (đỉnh O)
• F lớn nhất khi x hoặc y lớn nhất

So sánh: hệ số của y (là 3) > hệ số của x (là 2)
→ Tại B(0; 150) có F lớn hơn tại A(150; 0)

---

Câu b

Đề bài: Nhận xét về dấu của x, y trong tam giác OAB và suy ra giá trị nhỏ nhất của F(x; y)

Cách 1 — Phân tích theo miền

Nhận xét về dấu:

• Miền tam giác OAB nằm trong góc phần tư thứ I
• Với mọi điểm (x; y) trong tam giác OAB: x ≥ 0 và y ≥ 0
• Các điểm trong tam giác (không kể biên): x > 0 và y > 0

Suy ra giá trị nhỏ nhất:

Vì x ≥ 0, y ≥ 0 và F(x; y) = 2x + 3y với hệ số dương:

• 2x ≥ 0 (do x ≥ 0)
• 3y ≥ 0 (do y ≥ 0)
• → F(x; y) = 2x + 3y ≥ 0

Dấu "=" xảy ra khi x = 0 và y = 0, tức là tại điểm O(0; 0)

Kết luận: Giá trị nhỏ nhất của F(x; y) trên miền tam giác OAB là F_min = 0, đạt được tại đỉnh O(0; 0).

Cách 2 — So sánh giá trị tại các đỉnh

Từ câu a, ta có:

• F(O) = 0
• F(A) = 300
• F(B) = 450

Vì F(x; y) = 2x + 3y là hàm tuyến tính và miền tam giác OAB là miền lồi, giá trị nhỏ nhất (và lớn nhất) của F đạt được tại các đỉnh của miền.

So sánh: 0 < 300 < 450

Kết luận: F_min = 0 tại O(0; 0)

💡 Mẹo nhớ: Với hàm mục tiêu tuyến tính F(x; y) = ax + by trên miền đa giác lồi, giá trị lớn nhất và nhỏ nhất luôn đạt tại đỉnh của miền.

⚠️ Lưu ý thi: Đây là cơ sở của bài toán quy hoạch tuyến tính - chỉ cần tính F tại các đỉnh rồi so sánh, không cần xét tất cả các điểm trong miền.

---

🎯 Ghi nhớ: 1. Miền nghiệm của hệ bất phương trình = giao các miền nghiệm 2. Dấu ≤, ≥ → đường liền; dấu <, > → đường đứt 3. Hàm tuyến tính đạt cực trị tại đỉnh của miền đa giác lồi 4. Luôn kiểm tra điểm O(0; 0) làm điểm thử khi xác định miền nghiệm