Giải Toán 10 - Tập 1 trang 30

Lời giải chi tiết SGK Lớp 10 · Môn ToĂ¡n · Trang 30–31

🔍 Kiến thức cần nhớ

Hệ bất phương trình bậc nhất hai ẩn:

Là hệ gồm các bất phương trình bậc nhất hai ẩn x, y
Miền nghiệm là giao của các miền nghiệm từng bất phương trình
Giá trị lớn nhất (hoặc nhỏ nhất) của biểu thức F(x; y) = ax + by đạt tại một trong các đỉnh của đa giác miền nghiệm

Phương pháp tìm GTLN/GTNN của F(x; y) trên miền đa giác:

Xác định miền nghiệm (đa giác) và tọa độ các đỉnh
Tính giá trị F tại các đỉnh
So sánh để tìm GTLN/GTNN

⚙️ Bài tập

Bài Vận dụng (trang 30)

Đề bài: Một cửa hàng có kế hoạch nhập về hai loại máy tính A và B, giá mỗi chiếc lần lượt là 10 triệu đồng và 20 triệu đồng với số vốn ban đầu không vượt quá 4 tỉ đồng. Loại máy A mang lại lợi nhuận 2,5 triệu đồng cho mỗi máy bán được và loại máy B mang lại lợi nhuận là 4 triệu đồng mỗi máy. Cửa hàng ước tính rằng tổng nhu cầu hàng tháng sẽ không vượt quá 250 máy. Giả sử trong một tháng cửa hàng cần nhập số máy tính loại A là x và số máy tính loại B là y.

a) Viết các bất phương trình biểu thị các điều kiện của bài toán thành một hệ bất phương trình rồi xác định miền nghiệm của hệ đó.

b) Gọi F (triệu đồng) là lợi nhuận mà cửa hàng thu được trong tháng đó khi bán x máy tính loại A và y máy tính loại B. Hãy biểu diễn F theo x và y.

c) Tìm số lượng máy tính mỗi loại cửa hàng cần nhập về trong tháng đó để lợi nhuận thu được là lớn nhất.

Cách 1 — Phương pháp cơ bản (theo SGK)

Câu a) Lập hệ bất phương trình và xác định miền nghiệm

Bước 1: Xác định các ràng buộc

Số máy không âm: x ≥ 0, y ≥ 0

Tổng nhu cầu không vượt quá 250 máy: x + y ≤ 250

Vốn ban đầu không vượt quá 4 tỉ đồng = 4000 triệu đồng:
Giá máy A: 10 triệu đồng/chiếc
Giá máy B: 20 triệu đồng/chiếc
Điều kiện: 10x + 20y ≤ 4000, hay x + 2y ≤ 400

Hệ bất phương trình:

⎧ x ≥ 0
⎨ y ≥ 0
⎪ x + y ≤ 250
⎩ x + 2y ≤ 400

Bước 2: Xác định miền nghiệm

Vẽ các đường thẳng:

(d₁): x = 0 (trục Oy)
(d₂): y = 0 (trục Ox)
(d₃): x + y = 250
(d₄): x + 2y = 400

Tìm các đỉnh của đa giác miền nghiệm:

O(0; 0): giao của x = 0 và y = 0

A(0; 200): giao của x = 0 và x + 2y = 400
Thay x = 0: 2y = 400 → y = 200

B: giao của x + y = 250 và x + 2y = 400
Trừ hai phương trình: y = 150
Thay vào: x + 150 = 250 → x = 100
B(100; 150)

C(250; 0): giao của y = 0 và x + y = 250

Miền nghiệm là tứ giác OABC với các đỉnh O(0; 0), A(0; 200), B(100; 150), C(250; 0).

Câu b) Biểu diễn F theo x và y

Lợi nhuận từ máy A: 2,5x (triệu đồng)
Lợi nhuận từ máy B: 4y (triệu đồng)

F(x; y) = 2,5x + 4y (triệu đồng)

Câu c) Tìm số lượng máy để lợi nhuận lớn nhất

Tính F tại các đỉnh của tứ giác OABC:

Đỉnh	Tọa độ	F = 2,5x + 4y
O	(0; 0)	F = 2,5×0 + 4×0 = 0
A	(0; 200)	F = 2,5×0 + 4×200 = 800
B	(100; 150)	F = 2,5×100 + 4×150 = 250 + 600 = 850
C	(250; 0)	F = 2,5×250 + 4×0 = 625

So sánh: 0 < 625 < 800 < 850

Kết luận: F đạt giá trị lớn nhất là 850 triệu đồng tại B(100; 150).

Vậy cửa hàng cần nhập 100 máy tính loại A và 150 máy tính loại B để lợi nhuận thu được là lớn nhất.

Cách 2 — Phương pháp đường đồng mức

Ý tưởng: Với F = 2,5x + 4y = k, ta có họ đường thẳng song song. Tịnh tiến đường thẳng này sao cho k lớn nhất mà vẫn cắt miền nghiệm.

Viết lại: y = -0,625x + k/4

Đường thẳng có hệ số góc -0,625. Khi k tăng, đường thẳng tịnh tiến lên trên.

Giá trị k lớn nhất đạt được khi đường thẳng đi qua đỉnh "cao nhất theo hướng tịnh tiến", chính là điểm B(100; 150).

Kết quả: F_max = 850 triệu đồng tại (x; y) = (100; 150).

💡 Mẹo nhớ: GTLN/GTNN của F = ax + by trên miền đa giác luôn đạt tại một trong các đỉnh. Chỉ cần tính F tại các đỉnh rồi so sánh!

Bài 2.4 (trang 30)

Đề bài: Hệ bất phương trình nào sau đây là hệ bất phương trình bậc nhất hai ẩn?

a) ⎧ x < 0
⎩ y ≥ 0

b) ⎧ x + y² < 0

⎩ y - x > 1

c) ⎧ x + y + z < 0
⎩ y < 0

d) ⎧ -2x + y < 3²

⎩ 4²x + 3y < 1

Cách 1 — Phương pháp kiểm tra định nghĩa

Định nghĩa: Hệ bất phương trình bậc nhất hai ẩn gồm các bất phương trình có:

Đúng hai ẩn (thường là x và y)
Các ẩn có bậc 1 (không có x², y², xy,...)

Kiểm tra từng đáp án:

a) ⎧ x < 0
⎩ y ≥ 0

Bất phương trình 1: x < 0 → bậc 1, một ẩn x
Bất phương trình 2: y ≥ 0 → bậc 1, một ẩn y
Hệ có hai ẩn x, y và mỗi bất phương trình đều bậc nhất

✅ Đây LÀ hệ bất phương trình bậc nhất hai ẩn

b) ⎧ x + y² < 0

⎩ y - x > 1

Bất phương trình 1: x + y² < 0 → có y² (bậc 2)

❌ KHÔNG phải hệ bất phương trình bậc nhất hai ẩn

c) ⎧ x + y + z < 0
⎩ y < 0

Bất phương trình 1: x + y + z < 0 → có ba ẩn x, y, z

❌ KHÔNG phải hệ bất phương trình bậc nhất hai ẩn (có 3 ẩn)

d) ⎧ -2x + y < 3²

⎩ 4²x + 3y < 1

3² = 9 và 4² = 16 là hằng số, không phải ẩn có bậc 2
Viết lại: ⎧ -2x + y < 9

⎩ 16x + 3y < 1

Cả hai bất phương trình đều bậc nhất theo x và y

✅ Đây LÀ hệ bất phương trình bậc nhất hai ẩn

Đáp án: a) và d)

Cách 2 — Phương pháp loại trừ nhanh

Thấy y² → loại (b)
Thấy 3 ẩn x, y, z → loại (c)
Còn (a) và (d): kiểm tra thấy thỏa mãn

⚠️ Lưu ý thi: Cẩn thận phân biệt: - y² là ẩn bậc 2 → không thỏa mãn - 3², 4² là hằng số số học → vẫn thỏa mãn

Bài 2.5 (trang 30)

Đề bài: Biểu diễn miền nghiệm của mỗi hệ bất phương trình sau trên mặt phẳng tọa độ:

a) ⎧ y - x < -1
⎪ x > 0
⎩ y < 0

b) ⎧ x ≥ 0
⎪ y ≥ 0

⎩ 2x + y ≤ 4

c) ⎧ x ≥ 0

⎪ x + y > 5

⎩ x - y < 0

Câu a)

Hệ: ⎧ y - x < -1
⎪ x > 0
⎩ y < 0

Bước 1: Vẽ các đường biên

(d₁): y - x = -1, hay y = x - 1
(d₂): x = 0 (trục Oy)
(d₃): y = 0 (trục Ox)

Bước 2: Xác định miền nghiệm từng bất phương trình

y - x < -1 hay y < x - 1: nửa mặt phẳng phía dưới đường y = x - 1 (không bao gồm đường thẳng)

x > 0: nửa mặt phẳng bên phải trục Oy (không bao gồm trục Oy)

y < 0: nửa mặt phẳng phía dưới trục Ox (không bao gồm trục Ox)

Bước 3: Miền nghiệm của hệ

Là giao của 3 miền nghiệm trên.

Tìm giao điểm quan trọng:

(d₁) cắt Ox (y = 0): 0 = x - 1 → x = 1, điểm (1; 0)

Miền nghiệm: Phần góc phần tư thứ IV (x > 0, y < 0) nằm dưới đường y = x - 1. Đây là miền không bị giới hạn, có biên là các nửa đường thẳng (nét đứt vì dấu <, >).

Câu b)

Hệ: ⎧ x ≥ 0
⎪ y ≥ 0

⎩ 2x + y ≤ 4

Bước 1: Vẽ các đường biên

(d₁): x = 0 (trục Oy)
(d₂): y = 0 (trục Ox)
(d₃): 2x + y = 4

Bước 2: Xác định miền nghiệm từng bất phương trình

x ≥ 0: nửa mặt phẳng bên phải trục Oy (bao gồm trục Oy)
y ≥ 0: nửa mặt phẳng phía trên trục Ox (bao gồm trục Ox)
2x + y ≤ 4: nửa mặt phẳng chứa gốc O (kiểm tra: 2×0 + 0 = 0 ≤ 4 ✓)

Bước 3: Tìm các đỉnh

O(0; 0): giao của x = 0 và y = 0
A(0; 4): giao của x = 0 và 2x + y = 4 (thay x = 0: y = 4)
B(2; 0): giao của y = 0 và 2x + y = 4 (thay y = 0: x = 2)

Miền nghiệm: Tam giác OAB với các đỉnh O(0; 0), A(0; 4), B(2; 0). Biên là nét liền (dấu ≥, ≤).

Câu c)

Hệ: ⎧ x ≥ 0

⎪ x + y > 5

⎩ x - y < 0

Bước 1: Vẽ các đường biên

(d₁): x = 0 (trục Oy)
(d₂): x + y = 5
(d₃): x - y = 0, hay y = x

Bước 2: Xác định miền nghiệm từng bất phương trình

x ≥ 0: nửa mặt phẳng bên phải trục Oy

x + y > 5: nửa mặt phẳng không chứa gốc O (kiểm tra: 0 + 0 = 0 > 5? Sai → O không thuộc miền nghiệm)

x - y < 0 hay x < y: nửa mặt phẳng phía trên đường y = x (kiểm tra điểm (0; 1): 0 < 1 ✓)

Bước 3: Tìm các giao điểm

(d₁) cắt (d₂): x = 0 và x + y = 5 → y = 5, điểm (0; 5)
(d₁) cắt (d₃): x = 0 và y = x → y = 0, điểm (0; 0) - nhưng điểm này không thỏa x + y > 5
(d₂) cắt (d₃): x + y = 5 và y = x → 2x = 5 → x = 2,5; y = 2,5, điểm (2,5; 2,5)

Miền nghiệm: Miền không giới hạn, nằm phía trên đường y = x, phía trên đường x + y = 5, và bên phải trục Oy. Đỉnh góc tại (2,5; 2,5).

Biên:

x = 0: nét liền (dấu ≥)
x + y = 5 và y = x: nét đứt (dấu >)

💡 Mẹo bấm máy (Casio fx-580VN X): Để tìm giao điểm của hai đường thẳng, dùng chế độ EQUATION → Simultaneous (hệ phương trình tuyến tính).

Bài 2.6 (trang 30)

Đề bài: Một gia đình cần ít nhất 900 đơn vị protein và 400 đơn vị lipit trong thức ăn mỗi ngày. Mỗi kilôgam thịt bò chứa 800 đơn vị protein và 200 đơn vị lipit. Mỗi kilôgam thịt lợn chứa 600 đơn vị protein và 400 đơn vị lipit. Biết rằng gia đình này chỉ mua nhiều nhất là 1,6 kg thịt bò và 1,1 kg thịt lợn; giá tiền 1 kg thịt bò là 250 nghìn đồng; 1 kg thịt lợn là 160 nghìn đồng. Giả sử gia đình đó mua x kilôgam thịt bò và y kilôgam thịt lợn.

a) Viết các bất phương trình biểu thị các điều kiện của bài toán thành một hệ bất phương trình rồi xác định miền nghiệm của hệ đó.

b) Gọi F (nghìn đồng) là số tiền phải trả cho x kilôgam thịt bò và y kilôgam thịt lợn. Hãy biểu diễn F theo x và y.

c) Tìm số kilôgam thịt mỗi loại mà gia đình cần mua để chi phí là ít nhất.

Cách 1 — Phương pháp cơ bản

Câu a) Lập hệ bất phương trình

Bảng tóm tắt dữ liệu:

Thịt bò (x kg)	Thịt lợn (y kg)	Yêu cầu
Protein	800 đv/kg	600 đv/kg	≥ 900 đv
Lipit	200 đv/kg	400 đv/kg	≥ 400 đv
Giới hạn mua	≤ 1,6 kg	≤ 1,1 kg
Giá	250 nghìn/kg	160 nghìn/kg

Các ràng buộc:

Số lượng không âm: x ≥ 0, y ≥ 0

Giới hạn mua: x ≤ 1,6 và y ≤ 1,1

Đủ protein: 800x + 600y ≥ 900

→ Chia cho 200: 4x + 3y ≥ 4,5

Đủ lipit: 200x + 400y ≥ 400

→ Chia cho 200: x + 2y ≥ 2

Hệ bất phương trình:

⎧ x ≥ 0
⎪ y ≥ 0
⎪ x ≤ 1,6
⎨ y ≤ 1,1
⎪ 4x + 3y ≥ 4,5
⎩ x + 2y ≥ 2

Xác định miền nghiệm:

Vẽ các đường biên:

(d₁): x = 0
(d₂): y = 0
(d₃): x = 1,6
(d₄): y = 1,1
(d₅): 4x + 3y = 4,5
(d₆): x + 2y = 2

Tìm các đỉnh của đa giác:

Giao điểm (d₅) và (d₆):

4x + 3y = 4,5 ... (1)
x + 2y = 2 ... (2)

Từ (2): x = 2 - 2y. Thay vào (1):

4(2 - 2y) + 3y = 4,5

8 - 8y + 3y = 4,5
-5y = -3,5
y = 0,7

x = 2 - 2×0,7 = 0,6

→ Giao điểm: (0,6; 0,7)

Giao điểm (d₅) và (d₄) (y = 1,1):

4x + 3×1,1 = 4,5
4x = 1,2
x = 0,3
→ Điểm (0,3; 1,1)

Giao điểm (d₆) và (d₃) (x = 1,6):

1,6 + 2y = 2
y = 0,2
→ Điểm (1,6; 0,2)

Giao điểm (d₃) và (d₄): (1,6; 1,1)

Miền nghiệm là đa giác có các đỉnh: (0,3; 1,1), (0,6; 0,7), (1,6; 0,2), (1,6; 1,1).

Câu b) Biểu diễn F

Chi phí = (giá thịt bò × số kg thịt bò) + (giá thịt lợn × số kg thịt lợn)

F(x; y) = 250x + 160y (nghìn đồng)

Câu c) Tìm x, y để chi phí nhỏ nhất

Tính F tại các đỉnh:

Đỉnh	Tọa độ (x; y)	F = 250x + 160y
A	(0,3; 1,1)	250×0,3 + 160×1,1 = 75 + 176 = 251
B	(0,6; 0,7)	250×0,6 + 160×0,7 = 150 + 112 = 262
C	(1,6; 0,2)	250×1,6 + 160×0,2 = 400 + 32 = 432
D	(1,6; 1,1)	250×1,6 + 160×1,1 = 400 + 176 = 576

So sánh: 251 < 262 < 432 < 576

Kết luận: F đạt giá trị nhỏ nhất là 251 nghìn đồng tại A(0,3; 1,1).

Vậy gia đình cần mua 0,3 kg thịt bò và 1,1 kg thịt lợn để chi phí là ít nhất.

Cách 2 — Phương pháp đường đồng mức

F = 250x + 160y = k → y = -250x/160 + k/160 = -1,5625x + k/160

Đường thẳng có hệ số góc -1,5625. Khi k giảm, đường thẳng tịnh tiến xuống dưới.

Giá trị k nhỏ nhất đạt được khi đường thẳng tiếp xúc với miền nghiệm tại điểm "thấp nhất theo hướng tịnh tiến" → điểm A(0,3; 1,1).

Kiểm tra: Điểm A có thỏa mãn các điều kiện không?

x = 0,3 ≥ 0 ✓, x = 0,3 ≤ 1,6 ✓
y = 1,1 ≥ 0 ✓, y = 1,1 ≤ 1,1 ✓
4×0,3 + 3×1,1 = 1,2 + 3,3 = 4,5 ≥ 4,5 ✓
0,3 + 2×1,1 = 0,3 + 2,2 = 2,5 ≥ 2 ✓

Tất cả thỏa mãn!

⚠️ Lưu ý thi: Bài toán tối ưu tuyến tính thường yêu cầu: - Lập hệ bất phương trình đúng - Xác định đúng miền nghiệm và các đỉnh - Tính giá trị hàm mục tiêu tại TẤT CẢ các đỉnh - So sánh để tìm GTLN/GTNN

💡 Mẹo bấm máy: Dùng chế độ TABLE để tính nhanh F tại nhiều điểm: - Nhập f(x) = 250x + 160y với các giá trị (x; y) cụ thể

🎯 Ghi nhớ: 1. Hệ bất phương trình bậc nhất hai ẩn phải có đúng 2 ẩn và mỗi ẩn có bậc 1 2. Miền nghiệm của hệ là giao các miền nghiệm thành phần 3. GTLN/GTNN của F = ax + by trên miền đa giác luôn đạt tại một đỉnh 4. Khi vẽ miền nghiệm: dấu ≤, ≥ → nét liền; dấu <, > → nét đứt 5. Kiểm tra điểm O(0; 0) để xác định nhanh nửa mặt phẳng nào là miền nghiệm

Chế độ đọc sách →