Giải Toán 10 - Tập 1 trang 32
Lời giải chi tiết SGK Lớp 10 · Môn ToĂ¡n · Trang 32–33
Hai trang này là phần Bài tập cuối chương II (Bất phương trình và hệ bất phương trình bậc nhất hai ẩn), gồm phần trắc nghiệm (A) và tự luận (B). Mình giải lần lượt từng bài nhé.
A – TRẮC NGHIỆM
Bài 2.7: Nhận biết bất phương trình bậc nhất hai ẩn
Đề: Bất phương trình nào sau đây là bất phương trình bậc nhất hai ẩn?
$$A.\ x+y>3 \qquad B.\ x^2+y^2\le 4 \qquad C.\ (x-y)(3x+y)\ge 1 \qquad D.\ y^3-2\le 0$$
Đáp án: A
Giải thích: Bất phương trình bậc nhất hai ẩn có dạng $ax+by+c>0$ (hoặc $<,\ge,\le$), bậc nhất với cả $x$ và $y$.
- B chứa $x^2,y^2$ → bậc hai, loại.
- C khai triển ra $3x^2+\dots$ → bậc hai, loại.
- D chỉ có $y^3$ → bậc ba và chỉ một ẩn, loại.
- A là $x+y>3$ → đúng dạng bậc nhất hai ẩn.
Bài 2.8: Số nghiệm của bất phương trình $2x+y>3$
Đề: Cho bất phương trình $2x+y>3$. Khẳng định nào đúng?
- A. Có nghiệm duy nhất
- B. Vô nghiệm
- C. Có vô số nghiệm
- D. Có tập nghiệm là $[3;+\infty)$
Đáp án: C
Giải thích: Bất phương trình bậc nhất hai ẩn (nếu có nghiệm) luôn có vô số nghiệm — miền nghiệm là cả một nửa mặt phẳng. Ví dụ $(2;0),(0;4),(3;1)\dots$ đều thỏa mãn. Đáp án D sai vì tập nghiệm là một tập điểm trên mặt phẳng, không phải một khoảng số.
Bài 2.9: Miền nghiệm của $x-y<3$
Đề: Hình nào biểu diễn miền nghiệm của bất phương trình $x-y<3$?
Đáp án: C
Giải thích:
- Đường biên $x-y=3 \Leftrightarrow y=x-3$, là đường nét đứt (vì dấu $<$), đi qua $(3;0)$ và $(0;-3)$ → loại A, B (đường có hệ số góc âm).
- Thay gốc $O(0;0)$: $0-0=0<3$ đúng → miền nghiệm chứa gốc tọa độ (nằm phía trên đường thẳng).
- Hình C có miền gạch chứa $O$, hình D không chứa $O$ → chọn C.
Bài 2.10: Nhận biết hệ bất phương trình bậc nhất hai ẩn
Đề:
$$A.\begin{cases}x-y<0\\2y\ge0\end{cases} \quad B.\begin{cases}3x+y^3<0\\x+y>3\end{cases} \quad C.\begin{cases}x+2y<0\\y^2+3<0\end{cases} \quad D.\begin{cases}-x^3+y<4\\x+2y<1\end{cases}$$
Đáp án: A
Giải thích: Hệ bất phương trình bậc nhất hai ẩn cần mọi bất phương trình đều bậc nhất.
- B có $y^3$, C có $y^2$, D có $x^3$ → loại.
- A có cả hai bất phương trình đều bậc nhất → chọn A.
Bài 2.11: Điểm thuộc miền nghiệm của hệ
Đề: Cho hệ $\begin{cases}x-y<-3\\2y\ge-4\end{cases}$. Điểm nào thuộc miền nghiệm?
$$A.(0;0)\qquad B.(-2;1)\qquad C.(3;-1)\qquad D.(-3;1)$$
Đáp án: D
Giải thích: Thay từng điểm vào cả hai bất phương trình:
| Điểm | $x-y<-3$ | $2y\ge-4$ | Kết luận |
|---|---|---|---|
| $(0;0)$ | $0<-3$ Sai | — | Loại |
| $(-2;1)$ | $-3<-3$ Sai | — | Loại |
| $(3;-1)$ | $4<-3$ Sai | — | Loại |
| $(-3;1)$ | $-4<-3$ Đúng | $2\ge-4$ Đúng | Thỏa |
Chọn D.
B – TỰ LUẬN
Bài 2.12: Biểu diễn miền nghiệm của $\dfrac{x+y}{2}\ge\dfrac{2x-y+1}{3}$
Quy đồng (nhân hai vế với 6):
$$3(x+y)\ge 2(2x-y+1)$$
$$3x+3y\ge 4x-2y+2$$
$$0\ge x-5y+2 \;\Leftrightarrow\; x-5y+2\le 0$$
Vậy ta biểu diễn miền nghiệm của $x-5y+2\le0$:
- Vẽ đường thẳng $d:\ x-5y+2=0$ (nét liền vì có dấu $=$), đi qua $(-2;0)$ và $(0;0.4)$.
- Thay $O(0;0)$: $0-0+2=2\le0$ Sai → gốc tọa độ không thuộc miền nghiệm.
- Miền nghiệm là nửa mặt phẳng bờ $d$, không chứa gốc tọa độ (phía trên đường thẳng).
Bài 2.13: Biểu diễn miền nghiệm của hệ $\begin{cases}x+y<1\\2x-y\ge3\end{cases}$
Cách vẽ:
- Đường $d_1:\ x+y=1$ (nét đứt), qua $(1;0),(0;1)$. Thay $O$: $0<1$ đúng → lấy nửa chứa $O$.
- Đường $d_2:\ 2x-y=3$ (nét liền), qua $\left(\tfrac32;0\right),(0;-3)$. Thay $O$: $0\ge3$ sai → lấy nửa không chứa $O$.
Miền nghiệm của hệ là phần giao của hai nửa mặt phẳng trên (vùng nằm dưới $d_1$ và phía dưới-phải $d_2$). Hai đường cắt nhau tại:
$$x+y=1,\ 2x-y=3 \Rightarrow 3x=4 \Rightarrow x=\tfrac43,\ y=-\tfrac13$$
Đỉnh giao là $\left(\dfrac43;-\dfrac13\right)$ (không thuộc miền vì $d_1$ nét đứt).
Bài 2.14: Hệ bốn bất phương trình và tìm GTLN, GTNN của $F(x;y)=-x-y$
Hệ:
$$\begin{cases}y-2x\le2\\ y\le4\\ x\le5\\ x+y\ge-1\end{cases}$$
Miền nghiệm là tứ giác. Tìm các đỉnh bằng cách giao từng cặp đường biên:
| Giao của | Tọa độ đỉnh |
|---|---|
| $y-2x=2$ và $y=4$ | $A(1;4)$ |
| $y=4$ và $x=5$ | $B(5;4)$ |
| $x=5$ và $x+y=-1$ | $C(5;-6)$ |
| $x+y=-1$ và $y-2x=2$ | $D(-1;0)$ |
(Đã kiểm tra cả 4 đỉnh đều thỏa mãn mọi điều kiện.)
Tính $F(x;y)=-x-y$ tại các đỉnh:
| Đỉnh | $F=-x-y$ |
|---|---|
| $A(1;4)$ | $-5$ |
| $B(5;4)$ | $-9$ |
| $C(5;-6)$ | $1$ |
| $D(-1;0)$ | $1$ |
Kết luận:
- GTLN của $F$ bằng $1$, đạt tại $C(5;-6)$ và $D(-1;0)$.
- GTNN của $F$ bằng $-9$, đạt tại $B(5;4)$.
Bài 2.15: Bài toán đầu tư trái phiếu của bác An
Gọi $x,y,z$ (triệu đồng) lần lượt là tiền đầu tư trái phiếu chính phủ (7%), ngân hàng (8%), doanh nghiệp (12%).
Điều kiện:
$$x+y+z=1200,\quad x\ge3y,\quad z\le200,\quad x,y,z\ge0$$
Lợi nhuận sau một năm:
$$P=0{,}07x+0{,}08y+0{,}12z$$
Lập luận:
- Trái phiếu doanh nghiệp lãi cao nhất (12%) nên đầu tư tối đa: $z=200$.
- Khi đó $x+y=1000$, thay $x=1000-y$:
$$P=0{,}07(1000-y)+0{,}08y+0{,}12\cdot200=94+0{,}01y$$
- $P$ tăng theo $y$ nên cần $y$ lớn nhất. Từ $x\ge3y$ và $x=1000-y$:
$$1000-y\ge3y \Rightarrow y\le250$$
- Chọn $y=250 \Rightarrow x=750$.
Khi đó:
$$P=0{,}07\cdot750+0{,}08\cdot250+0{,}12\cdot200=52{,}5+20+24=96{,}5 \text{ (triệu đồng)}$$
Kết luận: Bác An nên đầu tư 750 triệu vào trái phiếu chính phủ, 250 triệu vào trái phiếu ngân hàng, 200 triệu vào trái phiếu doanh nghiệp. Lợi nhuận lớn nhất là 96,5 triệu đồng.
Bài 2.16: Bài toán quảng cáo phát thanh – truyền hình
Gọi $x$ = số giây quảng cáo trên phát thanh, $y$ = số giây trên truyền hình ($x,y\ge0$).
Các điều kiện:
- Phát thanh tối đa 900 giây: $x\le900$
- Truyền hình tối đa 360 giây: $y\le360$
- Chi phí (nghìn đồng): $80x+400y\le160000 \Leftrightarrow x+5y\le2000$
Hiệu quả cần tối đa hóa: $F(x;y)=x+8y$.
Tìm các đỉnh miền nghiệm và tính $F$:
| Đỉnh | Giải thích | $F=x+8y$ |
|---|---|---|
| $(0;0)$ | gốc | $0$ |
| $(900;0)$ | $y=0$ | $900$ |
| $(900;220)$ | $x=900,\ x+5y=2000$ | $2660$ |
| $(200;360)$ | $y=360,\ x+5y=2000$ | $3080$ |
| $(0;360)$ | $x=0,\ y=360$ | $2880$ |
GTLN của $F$ bằng 3080, đạt tại $(200;360)$.
Kết luận: Công ty nên đặt 200 giây quảng cáo trên đài phát thanh và 360 giây trên truyền hình để đạt hiệu quả lớn nhất là 3080 đơn vị.
(Kiểm tra chi phí: $80\cdot200+400\cdot360=16000+144000=160000$ nghìn đồng = 160 triệu đồng, dùng đúng mức tối đa.)
Vậy là mình đã giải xong toàn bộ phần trắc nghiệm (2.7–2.11) và tự luận (2.12–2.16) của bài tập cuối chương II. Nếu em muốn mình vẽ hình minh họa chi tiết cho các bài biểu diễn miền nghiệm (2.12–2.14), cứ nói nhé.