Giải Toán 10 - Tập 1 trang 34

🔍 Kiến thức cần nhớ

Chương III: Hệ thức lượng trong tam giác

Bài 5: Giá trị lượng giác của một góc từ 0° đến 180°

1. Định nghĩa giá trị lượng giác của góc α (0° ≤ α ≤ 180°)

Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, nửa đường tròn tâm O, bán kính R = 1 nằm phía trên trục hoành được gọi là nửa đường tròn đơn vị.

Với mỗi góc α (0° ≤ α ≤ 180°), gọi M(x₀; y₀) là điểm trên nửa đường tròn đơn vị sao cho góc xOM = α. Khi đó:

• sin α = y₀ (tung độ của điểm M)
• cos α = x₀ (hoành độ của điểm M)
• tan α = y₀/x₀ (khi α ≠ 90°)
• cot α = x₀/y₀ (khi α ≠ 0° và α ≠ 180°)

2. Các công thức liên hệ:

• tan α = sin α / cos α (α ≠ 90°)
• cot α = cos α / sin α (α ≠ 0° và α ≠ 180°)
• tan α = 1 / cot α (α ∉ {0°; 90°; 180°})

3. Bảng giá trị lượng giác các góc đặc biệt:

(Ký hiệu ∥ nghĩa là giá trị lượng giác tương ứng không xác định)

💡 Mẹo nhớ bảng giá trị lượng giác: - sin: "0 - 1 - 2 - 3 - 4" chia 2, rồi lấy căn: 0, 1/2, √2/2, √3/2, 1 - cos: đọc ngược lại sin - tan = sin/cos - cot = cos/sin

---

⚙️ Bài tập

HĐ1 (Hoạt động 1)

Đề bài:

a) Nêu nhận xét về vị trí của điểm M trên nửa đường tròn đơn vị trong mỗi trường hợp sau:

• α = 90°
• α < 90°
• α > 90°

b) Khi 0° < α < 90°, nêu mối quan hệ giữa cos α, sin α với hoành độ và tung độ của điểm M.

---

Câu a

Cách 1 — Phân tích dựa trên định nghĩa

Phân tích: Xét nửa đường tròn đơn vị trên mặt phẳng Oxy với tâm O, bán kính R = 1. Điểm M(x₀; y₀) nằm trên nửa đường tròn sao cho góc xOM = α.

Lời giải:

Trường hợp α = 90°:

• Khi α = 90°, tia OM vuông góc với trục Ox
• Điểm M nằm tại đỉnh của nửa đường tròn, tức là điểm cao nhất
• Tọa độ M = (0; 1)

Trường hợp α < 90°:

• Khi α < 90°, tia OM tạo với Ox một góc nhọn
• Điểm M nằm ở phía bên phải của trục Oy (nửa bên phải của nửa đường tròn)
• Hoành độ x₀ > 0, tung độ y₀ > 0

Trường hợp α > 90°:

• Khi α > 90°, tia OM tạo với Ox một góc tù
• Điểm M nằm ở phía bên trái của trục Oy (nửa bên trái của nửa đường tròn)
• Hoành độ x₀ < 0, tung độ y₀ > 0

Cách 2 — Sử dụng hình ảnh trực quan

Quan sát Hình 3.2 trong sách:

• Khi α < 90°: M ở góc phần tư thứ I → x₀ > 0, y₀ > 0
• Khi α = 90°: M ở đỉnh đường tròn → x₀ = 0, y₀ = 1
• Khi α > 90°: M ở góc phần tư thứ II → x₀ < 0, y₀ > 0

---

Câu b

Cách 1 — Liên hệ với tỉ số lượng giác góc nhọn

Phân tích: Khi 0° < α < 90°, góc α là góc nhọn. Ta cần liên hệ định nghĩa mới (dùng tọa độ) với định nghĩa cũ (dùng tam giác vuông).

Lời giải:

Khi 0° < α < 90°, điểm M(x₀; y₀) nằm ở góc phần tư thứ I của nửa đường tròn đơn vị.

Kẻ MH vuông góc với trục Ox, ta được tam giác vuông OMH với:

• Cạnh huyền OM = 1 (bán kính đường tròn đơn vị)
• Cạnh đối diện với góc α: MH = y₀
• Cạnh kề với góc α: OH = x₀

Theo định nghĩa tỉ số lượng giác góc nhọn trong tam giác vuông:

• sin α = cạnh đối / cạnh huyền = MH/OM = y₀/1 = y₀
• cos α = cạnh kề / cạnh huyền = OH/OM = x₀/1 = x₀

Kết luận:

• cos α = x₀ (hoành độ của điểm M)
• sin α = y₀ (tung độ của điểm M)

Cách 2 — Giải thích ngắn gọn

Với đường tròn đơn vị (bán kính = 1):

• Tung độ y₀ của M chính là độ dài hình chiếu của OM lên trục Oy, bằng sin α
• Hoành độ x₀ của M chính là độ dài hình chiếu của OM lên trục Ox, bằng cos α

Do đó: sin α = y₀ và cos α = x₀

---

🎯 Ghi nhớ: - Trên nửa đường tròn đơn vị, với điểm M(x₀; y₀) ứng với góc α: sin α = y₀, cos α = x₀ - Khi α < 90°: cos α > 0, sin α > 0 - Khi α = 90°: cos α = 0, sin α = 1 - Khi α > 90°: cos α < 0, sin α > 0

⚠️ Lưu ý thi: - Dấu của các giá trị lượng giác rất quan trọng khi α > 90° - Với góc tù (90° < α < 180°): sin α > 0 nhưng cos α < 0, tan α < 0, cot α < 0