Giải Toán 10 - Tập 1 trang 36
Lời giải chi tiết SGK Lớp 10 · Môn ToĂ¡n · Trang 36–37
Hai trang này thuộc bài "Giá trị lượng giác của một góc từ 0° đến 180°". Mình sẽ tóm tắt lý thuyết và giải chi tiết từng phần nhé.
Tóm tắt lý thuyết
Điểm M nằm trên nửa đường tròn đơn vị, ứng với góc $\widehat{xOM} = \alpha$. Khi đó tọa độ của M là $(\cos\alpha;\ \sin\alpha)$, và:
$$\sin\alpha = y_0,\quad \cos\alpha = x_0,\quad \tan\alpha = \frac{\sin\alpha}{\cos\alpha},\quad \cot\alpha = \frac{\cos\alpha}{\sin\alpha}$$
Hai góc bù nhau ($\alpha$ và $180° - \alpha$): sin bằng nhau; còn cos, tan, cot đối nhau.
Ví dụ 1: Giá trị lượng giác của góc 135°
Gọi M trên nửa đường tròn đơn vị sao cho $\widehat{xOM} = 135°$. Gọi N, P là hình chiếu vuông góc của M lên Ox, Oy.
- Vì $\widehat{xOM} = 135°$ nên $\widehat{MON} = 45°$, $\widehat{MOP} = 45°$.
- Các tam giác MON, MOP vuông cân, cạnh huyền $OM = 1$.
- Do đó $ON = OP = \dfrac{\sqrt{2}}{2}$.
- M nằm bên trái trục tung nên tọa độ M là $\left(-\dfrac{\sqrt{2}}{2};\ \dfrac{\sqrt{2}}{2}\right)$.
Theo định nghĩa:
$$\sin 135° = \frac{\sqrt{2}}{2};\qquad \cos 135° = -\frac{\sqrt{2}}{2}$$
$$\tan 135° = -1;\qquad \cot 135° = -1$$
Luyện tập 1: Giá trị lượng giác của góc 120°
Gọi M ứng với $\widehat{xOM} = 120°$, N và P là hình chiếu của M lên Ox, Oy.
- $\widehat{MON} = 180° - 120° = 60°$.
- Trong tam giác vuông MON (vuông tại N), $OM = 1$:
- $ON = OM\cos 60° = \dfrac{1}{2}$
- $MN = OM\sin 60° = \dfrac{\sqrt{3}}{2}$
- M nằm bên trái trục tung nên hoành độ âm. Tọa độ M là $\left(-\dfrac{1}{2};\ \dfrac{\sqrt{3}}{2}\right)$.
Vậy:
$$\sin 120° = \frac{\sqrt{3}}{2};\qquad \cos 120° = -\frac{1}{2}$$
$$\tan 120° = \frac{\sin 120°}{\cos 120°} = \frac{\sqrt{3}/2}{-1/2} = -\sqrt{3};\qquad \cot 120° = -\frac{\sqrt{3}}{3}$$
Dùng máy tính cầm tay
Sau khi mở máy, bấm SHIFT MODE (SETUP) rồi bấm 3 để chọn đơn vị đo góc là "độ".
Tính giá trị lượng giác:
| Tính | Kết quả |
|---|---|
| $\sin 48°50'40''$ | $\approx 0{,}7529256291$ |
| $\cos 112°12'45''$ | $\approx -0{,}3780427715$ |
| $\tan 15°$ | $= 2 - \sqrt{3}$ |
Tìm góc khi biết giá trị lượng giác:
| Tìm x, biết | Kết quả |
|---|---|
| $\sin x = 0{,}3456$ | $x \approx 20°13'7''$ |
Chú ý:
- Khi tìm x biết $\sin x$, máy chỉ đưa ra giá trị $x \le 90°$.
- Tìm x biết $\cos x$, $\tan x$ thì làm tương tự, chỉ thay phím
sinbằngcos,tan.
HĐ2: Quan hệ giá trị lượng giác của hai góc bù nhau
Với góc $\alpha$ ($0° \le \alpha \le 180°$), gọi M, M' là hai điểm trên nửa đường tròn đơn vị ứng với $\alpha$ và $180° - \alpha$.
Nhận xét: Hai điểm M và M' đối xứng nhau qua trục Oy.
- M có tọa độ $(x_0;\ y_0)$, còn M' có tọa độ $(-x_0;\ y_0)$ (cùng tung độ, hoành độ đối nhau).
- Tung độ bằng nhau $\Rightarrow \sin(180° - \alpha) = \sin\alpha$.
- Hoành độ đối nhau $\Rightarrow \cos(180° - \alpha) = -\cos\alpha$.
Kết luận với hai góc bù nhau:
$$\sin(180° - \alpha) = \sin\alpha$$
$$\cos(180° - \alpha) = -\cos\alpha$$
$$\tan(180° - \alpha) = -\tan\alpha \quad (\alpha \ne 90°)$$
$$\cot(180° - \alpha) = -\cot\alpha \quad (0° < \alpha < 180°)$$
Ví dụ 2: Giá trị lượng giác của 120°, 135°, 150°
Vì các góc $120°, 135°, 150°$ lần lượt bù với $60°, 45°, 30°$ nên áp dụng quy tắc trên ta được bảng:
| GTLG \ $\alpha$ | $120°$ | $135°$ | $150°$ |
|---|---|---|---|
| $\sin\alpha$ | $\dfrac{\sqrt{3}}{2}$ | $\dfrac{\sqrt{2}}{2}$ | $\dfrac{1}{2}$ |
| $\cos\alpha$ | $-\dfrac{1}{2}$ | $-\dfrac{\sqrt{2}}{2}$ | $-\dfrac{\sqrt{3}}{2}$ |
| $\tan\alpha$ | $-\sqrt{3}$ | $-1$ | $-\dfrac{\sqrt{3}}{3}$ |
| $\cot\alpha$ | $-\dfrac{\sqrt{3}}{3}$ | $-1$ | $-\sqrt{3}$ |
Cách hiểu: sin của $120°$ bằng sin $60°$, còn cos/tan/cot mang dấu trừ so với góc $60°$. Tương tự cho $135°$ (so với $45°$) và $150°$ (so với $30°$).
Luyện tập 2: Chứng minh hai góc phụ nhau
Đề: Trong Hình 3.6, hai điểm M, N ứng với hai góc phụ nhau $\alpha$ và $90° - \alpha$ ($\widehat{xOM} = \alpha$, $\widehat{xON} = 90° - \alpha$). Chứng minh $\triangle MOP = \triangle NOQ$. Từ đó nêu quan hệ giữa $\cos\alpha$ và $\sin(90° - \alpha)$.
Lời giải:
P là hình chiếu của M lên Ox, Q là hình chiếu của N lên Oy. Xét hai tam giác vuông MOP (vuông tại P) và NOQ (vuông tại Q):
- $OM = ON = 1$ (cùng là bán kính đường tròn đơn vị) — cạnh huyền bằng nhau.
- $\widehat{MOP} = \alpha$ (góc giữa OM và Ox).
- $\widehat{NOQ} = 90° - \widehat{xON} = 90° - (90° - \alpha) = \alpha$ (góc giữa ON và Oy).
Vậy hai tam giác vuông có cạnh huyền bằng nhau và một góc nhọn bằng nhau:
$$\triangle MOP = \triangle NOQ \quad \text{(cạnh huyền – góc nhọn)}$$
Suy ra các cạnh tương ứng bằng nhau, đặc biệt:
$$OP = OQ$$
Mà:
- $OP$ = hoành độ của M = $\cos\alpha$.
- $OQ$ = tung độ của N = $\sin(90° - \alpha)$.
Do đó:
$$\boxed{\cos\alpha = \sin(90° - \alpha)}$$
Đây chính là quan hệ quen thuộc: với hai góc phụ nhau, sin của góc này bằng côsin của góc kia (và tan góc này bằng cotan góc kia).