Giải Toán 10 - Tập 1 trang 38
Lời giải chi tiết SGK Lớp 10 · Môn ToĂ¡n · Trang 38–39
Hai trang này thuộc chương "Hệ thức lượng trong tam giác". Trang 37 là phần Vận dụng cuối Bài 5 cùng các bài tập 3.1–3.4, trang 38 mở đầu Bài 6 với hai hoạt động khám phá. Mình giải lần lượt nhé.
Vận dụng (đu quay – Hình 3.7)
Đề: Đu quay bán kính 75 m, tâm cao 90 m, quay 1 vòng hết 30 phút. Một người vào cabin ở vị trí thấp nhất. Hỏi sau 20 phút người đó ở độ cao bao nhiêu mét?
Lời giải:
- Vị trí thấp nhất cách tâm 75 m theo phương thẳng đứng, nằm dưới tâm.
- Trong 20 phút, đu quay được góc: $\dfrac{20}{30}\cdot 360^\circ = 240^\circ$.
- Lấy gốc là điểm thấp nhất, độ cao của người so với mặt đất:
$$h = 90 - 75\cos\varphi,\quad \varphi = 240^\circ$$
- Vì $\cos 240^\circ = -\dfrac{1}{2}$ nên:
$$h = 90 - 75\cdot\left(-\frac{1}{2}\right) = 90 + 37{,}5 = 127{,}5\ (\text{m}).$$
Vậy sau 20 phút người đó ở độ cao 127,5 m.
Bài 3.1: Tính giá trị biểu thức (không dùng máy tính)
a) $\left(2\sin30^\circ + \cos135^\circ - 3\tan150^\circ\right)\cdot\left(\cos180^\circ - \cot60^\circ\right)$
Các giá trị: $\sin30^\circ=\tfrac12,\ \cos135^\circ=-\tfrac{\sqrt2}{2},\ \tan150^\circ=-\tfrac{\sqrt3}{3},\ \cos180^\circ=-1,\ \cot60^\circ=\tfrac{\sqrt3}{3}$.
$$=\left(1-\frac{\sqrt2}{2}+\sqrt3\right)\left(-1-\frac{\sqrt3}{3}\right) = -2+\frac{\sqrt2}{2}+\frac{\sqrt6}{6}-\frac{4\sqrt3}{3}\approx -3{,}19.$$
b) $\sin^2 90^\circ + \cos^2 120^\circ + \cos^2 0^\circ - \tan^2 60^\circ + \cot^2 135^\circ$
$$= 1^2 + \left(-\tfrac12\right)^2 + 1^2 - (\sqrt3)^2 + (-1)^2 = 1 + \frac14 + 1 - 3 + 1 = \frac14.$$
c) $\cos60^\circ\cdot\sin30^\circ + \cos^2 30^\circ$
$$= \frac12\cdot\frac12 + \left(\frac{\sqrt3}{2}\right)^2 = \frac14 + \frac34 = 1.$$
Bài 3.2: Đơn giản biểu thức
a) $\sin100^\circ + \sin80^\circ + \cos16^\circ + \cos164^\circ$
Dùng $\sin100^\circ = \sin80^\circ$ (vì $\sin(180^\circ-\alpha)=\sin\alpha$) và $\cos164^\circ = -\cos16^\circ$:
$$= \sin80^\circ + \sin80^\circ + \cos16^\circ - \cos16^\circ = 2\sin80^\circ.$$
b) $2\sin(180^\circ-\alpha)\cot\alpha - \cos(180^\circ-\alpha)\tan\alpha\cot(180^\circ-\alpha)$, với $0^\circ<\alpha<90^\circ$.
Thay $\sin(180^\circ-\alpha)=\sin\alpha$, $\cos(180^\circ-\alpha)=-\cos\alpha$, $\cot(180^\circ-\alpha)=-\cot\alpha$:
$$= 2\sin\alpha\cot\alpha - (-\cos\alpha)\tan\alpha(-\cot\alpha) = 2\cos\alpha - \cos\alpha\underbrace{\tan\alpha\cot\alpha}_{=1} = 2\cos\alpha - \cos\alpha = \cos\alpha.$$
Bài 3.3: Chứng minh các hệ thức
Xét điểm $M(x;y)$ trên nửa đường tròn đơn vị ứng với góc $\alpha$, ta có $\cos\alpha = x$, $\sin\alpha = y$ và $x^2+y^2=1$.
a) $\sin^2\alpha + \cos^2\alpha = y^2 + x^2 = 1.$
b) Với $\alpha \ne 90^\circ$ (tức $\cos\alpha \ne 0$):
$$1 + \tan^2\alpha = 1 + \frac{\sin^2\alpha}{\cos^2\alpha} = \frac{\cos^2\alpha + \sin^2\alpha}{\cos^2\alpha} = \frac{1}{\cos^2\alpha}.$$
c) Với $0^\circ<\alpha<180^\circ$ (tức $\sin\alpha \ne 0$):
$$1 + \cot^2\alpha = 1 + \frac{\cos^2\alpha}{\sin^2\alpha} = \frac{\sin^2\alpha + \cos^2\alpha}{\sin^2\alpha} = \frac{1}{\sin^2\alpha}.$$
Bài 3.4: Cho $\tan\alpha = 3$, tính $P$
$$P = \frac{2\sin\alpha - 3\cos\alpha}{3\sin\alpha + 2\cos\alpha}.$$
Vì $\tan\alpha = 3$ nên $\cos\alpha \ne 0$. Chia cả tử và mẫu cho $\cos\alpha$:
$$P = \frac{2\tan\alpha - 3}{3\tan\alpha + 2} = \frac{2\cdot 3 - 3}{3\cdot 3 + 2} = \frac{3}{11}.$$
Bài 6: Hệ thức lượng trong tam giác (mở đầu)
Tóm tắt kiến thức sẽ học: Định lí côsin, Định lí sin, công thức tính diện tích tam giác và bài toán giải tam giác. Quy ước với tam giác $ABC$: $A,B,C$ là góc tại các đỉnh; $a,b,c$ là độ dài cạnh đối diện đỉnh $A,B,C$; $p$ là nửa chu vi; $S$ là diện tích; $R,r$ là bán kính đường tròn ngoại tiếp và nội tiếp.
HĐ1: Bài toán con tàu
Tàu đi hướng đông 20 km/h trong 1 giờ rồi chuyển hướng đông nam, giữ nguyên vận tốc.
a) Sơ đồ đường đi trong 1,5 giờ (1 km ↔ 1 cm):
- Đoạn $OA$: hướng đông, dài $20\times 1 = 20$ km.
- Đoạn $AB$: hướng đông nam (lệch $45^\circ$ về phía nam so với hướng đông), dài $20\times 0{,}5 = 10$ km.
b) Đo trên bản vẽ ta được khoảng cách từ tàu đến cảng khoảng 28 km. Kiểm tra bằng tính toán (góc trong tại $A$ bằng $180^\circ - 45^\circ = 135^\circ$):
$$OB^2 = 20^2 + 10^2 - 2\cdot 20\cdot 10\cos135^\circ = 500 + 200\sqrt2 \approx 782{,}8 \Rightarrow OB \approx 28\ \text{km}.$$
c) Nếu sau 2 giờ tàu chuyển sang hướng nam thì hướng đi đổi từ đông sang nam, tức góc tại điểm chuyển hướng là $90^\circ$. Khi đó tam giác đường đi vuông, nên có thể dùng định lí Pythagore để tính chính xác khoảng cách (chứ với hướng đông nam thì không, vì góc không vuông).
HĐ2: Thiết lập công thức tính $a$ (Hình 3.8)
Trong Hình 3.8, tam giác $BDC$ vuông tại $D$, ba điểm $C$, $A$, $D$ thẳng hàng.
a) Tam giác $BDC$ vuông tại $D$, áp dụng định lí Pythagore:
$$a^2 = BC^2 = BD^2 + CD^2.$$
b) Tam giác $ABD$ vuông tại $D$ nên $BD^2 = AB^2 - DA^2 = c^2 - DA^2$. Vì $C,A,D$ thẳng hàng nên $CD = CA + AD = b + DA$. Suy ra:
$$a^2 = BD^2 + CD^2 = (c^2 - DA^2) + (b + DA)^2 = b^2 + c^2 + 2b\cdot DA.$$
c) Trong tam giác vuông $ABD$, góc $\widehat{DAB} = 180^\circ - A$ (kề bù với góc $A$), nên:
$$DA = AB\cos\widehat{DAB} = c\cos(180^\circ - A) = -c\cos A.$$
d) Thay kết quả ở câu c vào câu b:
$$a^2 = b^2 + c^2 + 2b\,(-c\cos A) = b^2 + c^2 - 2bc\cos A.$$
Đây chính là Định lí côsin. Khi $A = 90^\circ$ thì $\cos A = 0$ và công thức trở về định lí Pythagore $a^2 = b^2 + c^2$, đúng như nhận xét ở HĐ1 câu c.
Một lưu ý nhỏ: ảnh bạn gửi thực tế là trang 37 và 38 (mình đã chỉnh tiêu đề cho khớp số trang in trên sách). Nếu bạn cần đúng nội dung trang 38–39 thì gửi thêm ảnh trang tiếp theo nhé.