Giải Toán 10 - Tập 1 trang 50

Lời giải chi tiết SGK Lớp 10 · Môn ToĂ¡n · Trang 50–51

Hai trang này nằm trong bài về vectơ. Tôi giải hết phần Luyện tập, Vận dụng và Bài tập (các Ví dụ 3, 4 sách đã giải sẵn nên tôi chỉ tóm tắt ý chính).

Tóm tắt lý thuyết

Ba điểm A, B, C thẳng hàng ⟺ hai vectơ $\overrightarrow{AB}$, $\overrightarrow{AC}$ cùng phương (Ví dụ 3).
Có thể dùng vectơ để biểu diễn các đại lượng có hướng như lực, vận tốc, gia tốc: hướng của vectơ là hướng của đại lượng, độ dài của vectơ tỉ lệ với độ lớn của đại lượng (Chú ý).
Ví dụ 4 (đã giải): vật chìm dưới đáy nên trọng lực $\vec P$ lớn hơn lực đẩy Archimedes $\vec F$, cả hai cùng phương ngược hướng. Hình đúng là 4.11b với $|\vec P| = 3|\vec F|$, suy ra trọng lượng riêng của vật gấp 3 lần trọng lượng riêng của chất lỏng.

Luyện tập 2

Đề: Hình thang cân $ABCD$ có hai đáy $AB$, $CD$ với $AB < CD$. Tìm mối quan hệ về độ dài, phương, hướng của các cặp $\overrightarrow{AD}$ và $\overrightarrow{BC}$; $\overrightarrow{AB}$ và $\overrightarrow{CD}$; $\overrightarrow{AC}$ và $\overrightarrow{BD}$. Có cặp nào bằng nhau không?

Theo hình: A trên–trái, B trên–phải, D dưới–trái, C dưới–phải.

Cặp vectơ	Độ dài	Phương	Hướng
$\overrightarrow{AD}$ và $\overrightarrow{BC}$	Bằng nhau (cạnh bên hình thang cân)	Không cùng phương	–
$\overrightarrow{AB}$ và $\overrightarrow{CD}$	Khác nhau ($AB	Cùng phương ($AB\parallel CD$)	Ngược hướng
$\overrightarrow{AC}$ và $\overrightarrow{BD}$	Bằng nhau (hai đường chéo hình thang cân)	Không cùng phương	–

Kết luận: Không có cặp vectơ nào bằng nhau, vì muốn bằng nhau phải vừa cùng hướng vừa cùng độ dài, mà không cặp nào thỏa cả hai điều kiện.

Luyện tập 3

Đề: Chọn điều kiện cần và đủ để điểm $M$ nằm giữa hai điểm phân biệt $A$, $B$.

a) $\overrightarrow{AB}$ và $\overrightarrow{AM}$ ngược hướng → Sai: nếu $M$ giữa $A,B$ thì $\overrightarrow{AM}$ cùng hướng $\overrightarrow{AB}$.
b) $\overrightarrow{MA}$ và $\overrightarrow{MB}$ cùng phương → Chưa đủ: chỉ cho biết $A,M,B$ thẳng hàng, $M$ có thể ở ngoài đoạn.
c) $\overrightarrow{AB}$ và $\overrightarrow{AM}$ cùng hướng → Chưa đủ: $M$ nằm trên tia $AB$ nhưng có thể vượt quá $B$.
d) $\overrightarrow{MA}$ và $\overrightarrow{MB}$ ngược hướng → Đúng.

Đáp án: d). Khi $M$ nằm giữa $A$ và $B$, hai điểm $A$, $B$ ở hai phía của $M$ nên $\overrightarrow{MA}$, $\overrightarrow{MB}$ ngược hướng; và ngược lại, nếu hai vectơ này ngược hướng thì $M$ phải nằm giữa $A$ và $B$. Đây chính là điều kiện cần và đủ.

Vận dụng

Đề: Hai ca nô $A$, $B$ có vận tốc riêng cùng độ lớn 15 km/h; $A$ chạy xuôi dòng, $B$ chạy ngược dòng; vận tốc dòng nước 3 km/h.

a) Vận tốc thực tế = vận tốc riêng + vận tốc dòng nước:

Ca nô A xuôi dòng: $\vec v_a$ cùng hướng $\vec v$, độ lớn $15+3=18$ km/h.
Ca nô B ngược dòng: $\vec v_b$ ngược hướng $\vec v$, độ lớn $15-3=12$ km/h.

Cả ba vectơ $\vec v$, $\vec v_a$, $\vec v_b$ đều nằm dọc theo dòng sông; $\vec v$ và $\vec v_a$ vẽ cùng chiều, $\vec v_b$ vẽ ngược chiều.

Các cặp cùng phương: cả ba vectơ $\vec v$, $\vec v_a$, $\vec v_b$ đôi một cùng phương.
Các cặp ngược hướng: $\vec v$ và $\vec v_b$; $\vec v_a$ và $\vec v_b$. (Còn $\vec v$ và $\vec v_a$ cùng hướng.)

Bài 4.1

Đề: Cho ba vectơ $\vec a,\vec b,\vec c$ đều khác $\vec 0$. Khẳng định nào đúng?

a) $\vec a,\vec b,\vec c$ đều cùng hướng với $\vec 0$ → Đúng. Theo quy ước của sách, vectơ $\vec 0$ cùng phương và cùng hướng với mọi vectơ.
b) Nếu $\vec b$ không cùng hướng với $\vec a$ thì $\vec b$ ngược hướng với $\vec a$ → Sai. $\vec b$ có thể có phương khác hẳn $\vec a$ (không cùng phương), khi đó không nói chuyện cùng/ngược hướng.
c) Nếu $\vec a$ và $\vec b$ đều cùng phương với $\vec c$ thì $\vec a$ và $\vec b$ cùng phương → Đúng. Vì $\vec c\neq\vec 0$ nên tính cùng phương có tính bắc cầu.
d) Nếu $\vec a$ và $\vec b$ đều cùng hướng với $\vec c$ thì $\vec a$ và $\vec b$ cùng hướng → Đúng (cùng tính bắc cầu của hướng với $\vec c\neq\vec 0$).

Các khẳng định đúng: a), c), d).

Bài 4.2

Đề: Trong Hình 4.12, chỉ ra các vectơ cùng phương, các cặp ngược hướng và các cặp bằng nhau.

Đọc tọa độ từ hình:

$\vec a = (-2;-4)$
$\vec b = (-1;-2)$
$\vec c = (2;-4)$
$\vec d = (4;-4)$

So sánh phương (xét tỉ lệ tọa độ):

$\vec a = 2\,\vec b$ → $\vec a$ và $\vec b$ cùng phương, cùng hướng.
$\vec c$ và $\vec d$ không tỉ lệ với $\vec a,\vec b$ cũng như với nhau → không cùng phương với vectơ nào khác.

Kết luận:

Vectơ cùng phương: $\vec a$ và $\vec b$ (cùng hướng).
Cặp ngược hướng: không có.
Cặp bằng nhau: không có (vì $\vec a = 2\vec b$ nên khác độ dài).

Bài 4.3

Đề: Chứng minh tứ giác $ABCD$ là hình bình hành khi và chỉ khi $\overrightarrow{BC} = \overrightarrow{AD}$.

Dùng phép biến đổi tương đương:

$$\overrightarrow{BC}=\overrightarrow{AD} \iff C-B = D-A \iff A+C = B+D \iff \frac{A+C}{2}=\frac{B+D}{2}.$$

Đẳng thức cuối nghĩa là trung điểm của $AC$ trùng với trung điểm của $BD$, tức hai đường chéo $AC$ và $BD$ cắt nhau tại trung điểm mỗi đường. Đó chính là dấu hiệu nhận biết hình bình hành.

Vậy $ABCD$ là hình bình hành $\iff \overrightarrow{BC}=\overrightarrow{AD}$. (đpcm)

Bài 4.4

Đề: Hình vuông $ABCD$ có hai đường chéo cắt nhau tại $O$. Gọi $S$ là tập các vectơ khác $\vec 0$ có điểm đầu, điểm cuối thuộc $\{A;B;C;D;O\}$. Chia $S$ thành các nhóm sao cho hai vectơ cùng nhóm ⟺ chúng bằng nhau.

Có $5\times4 = 20$ vectơ. Chọn tọa độ $A(-1;1),\,B(1;1),\,C(1;-1),\,D(-1;-1),\,O(0;0)$ để kiểm tra, ta chia thành 12 nhóm:

Nhóm các cạnh (độ dài bằng cạnh hình vuông):

$\{\overrightarrow{AB},\ \overrightarrow{DC}\}$
$\{\overrightarrow{BA},\ \overrightarrow{CD}\}$
$\{\overrightarrow{AD},\ \overrightarrow{BC}\}$
$\{\overrightarrow{DA},\ \overrightarrow{CB}\}$

Nhóm nửa đường chéo (qua tâm $O$):

$\{\overrightarrow{AO},\ \overrightarrow{OC}\}$
$\{\overrightarrow{CO},\ \overrightarrow{OA}\}$
$\{\overrightarrow{BO},\ \overrightarrow{OD}\}$
$\{\overrightarrow{DO},\ \overrightarrow{OB}\}$

Nhóm cả đường chéo (mỗi vectơ đứng riêng vì không có vectơ nào bằng nó):

$\{\overrightarrow{AC}\}$, $\{\overrightarrow{CA}\}$, $\{\overrightarrow{BD}\}$, $\{\overrightarrow{DB}\}$

Tổng kiểm tra: $4\cdot2 + 4\cdot2 + 4 = 20$ vectơ ✓.

Bài 4.5

Đề: Trên $Oxy$, vẽ $\overrightarrow{OA}$ và $\overrightarrow{MN}$ với $A(1;2)$, $M(0;-1)$, $N(3;5)$.

a) Tính tọa độ:

$$\overrightarrow{OA} = (1;2), \qquad \overrightarrow{MN} = (3-0;\ 5-(-1)) = (3;6).$$

Vì $\overrightarrow{MN} = 3\,\overrightarrow{OA}$ nên hai vectơ cùng phương, cùng hướng, và $\overrightarrow{MN}$ dài gấp 3 lần $\overrightarrow{OA}$.

b) Vật khởi hành từ $M$ với vận tốc $\vec v = \overrightarrow{OA} = (1;2)$ (mỗi giờ). Vị trí sau thời gian $t$ (giờ):

$$P(t) = M + t\,\vec v = (0+t;\ -1+2t) = (t;\ -1+2t).$$

Cho $P(t) = N(3;5)$:

Hoành độ: $t = 3$.
Tung độ: $-1 + 2\cdot 3 = 5$ ✓ (khớp).

Vậy vật có đi qua $N$, và đến $N$ sau $t = 3$ giờ.

Lưu ý: ảnh thực tế đánh số trang 49 và 50 (không phải 50–51), nên tôi đặt tiêu đề theo đúng số trang trên ảnh.

Chế độ đọc sách →