Giải Toán 10 - Tập 1 trang 52

Lời giải chi tiết SGK Lớp 10 · Môn ToĂ¡n · Trang 52–53

🔍 Kiến thức cần nhớ

1. Tổng của hai vectơ

Định nghĩa: Cho hai vectơ a, b. Lấy một điểm A tuỳ ý và vẽ vectơ AB = a, BC = b. Khi đó vectơ AC được gọi là tổng của hai vectơ a và b, kí hiệu là a + b.
Quy tắc ba điểm: Với ba điểm bất kì A, B, C, ta có: AB + BC = AC
Quy tắc hình bình hành: Nếu ABCD là hình bình hành thì AB + AD = AC

2. Tính chất của phép cộng vectơ

Tính chất giao hoán: a + b = b + a
Tính chất kết hợp: (a + b) + c = a + (b + c)
Tính chất của vectơ-không: a + 0 = 0 + a = a

3. Hiệu của hai vectơ

Vectơ đối: Vectơ có cùng độ dài và ngược hướng với vectơ a được gọi là vectơ đối của vectơ a, kí hiệu là −a
Vectơ 0 được coi là vectơ đối của chính nó
Hai vectơ đối nhau khi và chỉ khi tổng của chúng bằng 0

⚙️ Bài tập

HĐ1

Đề bài: Với hai vectơ a, b cho trước, lấy một điểm A và vẽ các vectơ AB = a, BC = b. Lấy điểm A' khác A và cũng vẽ các vectơ A'B' = a, B'C' = b. Hỏi hai vectơ AC và A'C' có mối quan hệ gì?

Cách 1 — Phương pháp so sánh đặc trưng vectơ

Phân tích:

Hai vectơ bằng nhau khi chúng có cùng hướng và cùng độ dài.

Lời giải:

Bước 1: Xét vectơ AC

Ta có: AB = a và BC = b
Theo quy tắc ba điểm: AC = AB + BC = a + b

Bước 2: Xét vectơ A'C'

Ta có: A'B' = a và B'C' = b
Theo quy tắc ba điểm: A'C' = A'B' + B'C' = a + b

Bước 3: So sánh

Cả AC và A'C' đều bằng a + b
Do đó: AC = A'C'

Kết luận: Hai vectơ AC và A'C' bằng nhau (cùng hướng và cùng độ dài).

Cách 2 — Phương pháp hình học

Tứ giác ABC'A' (với C' đặt tương ứng) tạo thành hình bình hành vì:

AB // A'B' và AB = A'B' (cùng bằng a)
BC // B'C' và BC = B'C' (cùng bằng b)

Do đó AC // A'C' và AC = A'C', suy ra AC = A'C'.

💡 Mẹo nhớ: Tổng của hai vectơ không phụ thuộc vào điểm đặt, chỉ phụ thuộc vào hai vectơ thành phần.

HĐ2

Đề bài: Cho hình bình hành ABCD. Tìm mối quan hệ giữa hai vectơ AB + AD và AC.

Cách 1 — Áp dụng quy tắc hình bình hành

Lời giải:

Trong hình bình hành ABCD:

A, B, C, D là 4 đỉnh theo thứ tự
AC là đường chéo xuất phát từ A

Theo quy tắc hình bình hành:

Nếu ABCD là hình bình hành thì AB + AD = AC

Kết luận: AB + AD = AC

Cách 2 — Sử dụng quy tắc ba điểm

Lời giải:

Vì ABCD là hình bình hành nên AD = BC (hai vectơ bằng nhau).

Ta có:

AB + AD = AB + BC (vì AD = BC)
Theo quy tắc ba điểm: AB + BC = AC

Kết luận: AB + AD = AC

⚠️ Lưu ý thi: Quy tắc hình bình hành là công cụ quan trọng, thường dùng để tính tổng hai vectơ có cùng điểm đặt.

HĐ3

Đề bài:

a) Trong Hình 4.14a, hãy chỉ ra vectơ a + b và vectơ b + a.

b) Trong Hình 4.14b, hãy chỉ ra vectơ (a + b) + c và vectơ a + (b + c).

Câu a)

Lời giải:

Quan sát Hình 4.14a (hình bình hành ABCD với AB = a, AD = b):

Vectơ a + b:
Đặt a = AB, b = BC (với BC = AD)
Theo quy tắc ba điểm: a + b = AB + BC = AC

Vectơ b + a:
Đặt b = AD, a = DC (với DC = AB)
Theo quy tắc ba điểm: b + a = AD + DC = AC

Kết luận: Cả a + b và b + a đều bằng vectơ AC (đường chéo hình bình hành).

💡 Mẹo nhớ: Đây chính là minh họa cho tính chất giao hoán: a + b = b + a

Câu b)

Lời giải:

Quan sát Hình 4.14b:

Vectơ (a + b) + c:
a + b = AB + BC = AC
(a + b) + c = AC + CD = AD

Vectơ a + (b + c):
b + c = BC + CD = BD
Nhưng ta cần tính từ A: đặt B' sao cho AB' = b + c
Thực tế: a + (b + c) = AB + BD' = AD (với D' ≡ D)

Kết luận: Cả (a + b) + c và a + (b + c) đều bằng vectơ AD.

💡 Mẹo nhớ: Đây là minh họa cho tính chất kết hợp: (a + b) + c = a + (b + c) = a + b + c

Ví dụ 1

Đề bài: Cho hình vuông ABCD với cạnh có độ dài bằng 1. Tính độ dài của các vectơ AB + CB, AB + DC + BD.

Cách 1 — Phương pháp quy tắc cộng vectơ

Lời giải:

Phần 1: Tính |AB + CB|

Vì ABCD là hình vuông nên AB = DC.

Ta có:

AB + CB = DC + CB (vì AB = DC)
Theo quy tắc ba điểm: DC + CB = DB

Vậy: |AB + CB| = |DB| = DB

Trong hình vuông cạnh 1, đường chéo DB = √(1² + 1²) = √2

Phần 2: Tính |AB + DC + BD|

Ta có:

AB + BD = (AB + BD)
Theo quy tắc ba điểm: AB + BD = AD

Tiếp tục:

AB + DC + BD = AD + DC
Theo quy tắc ba điểm: AD + DC = AC

Vậy: |AB + DC + BD| = |AC| = AC = √2

Cách 2 — Nhóm vectơ đối

Phần 1:

CB = −BC, mà trong hình vuông BC = AD
AB + CB = AB − BC
Dùng quy tắc: AB + CB = DB (đường chéo)
|DB| = √2

Phần 2:

DC = AB, nên AB + DC = 2AB? Không đúng hướng.
Cách đúng: nhóm (AB + BD) = AD, rồi AD + DC = AC
|AC| = √2

💡 Mẹo bấm máy: Để tính độ dài đường chéo hình vuông cạnh a: nhập √(a² + a²) = a×√2

Luyện tập 1

Đề bài: Cho hình thoi ABCD với cạnh có độ dài bằng 1 và góc BAD = 120°. Tính độ dài của các vectơ CB + CD, DB + CD + BA.

Cách 1 — Phương pháp quy tắc hình bình hành và ba điểm

Lời giải:

Phần 1: Tính |CB + CD|

Trong hình thoi ABCD, ta có CB và CD là hai cạnh kề xuất phát từ C.

Theo quy tắc hình bình hành (xét hình bình hành CBAD với tâm là giao điểm hai đường chéo):

CB + CD = CA (đường chéo từ C đến A)

Tính CA:

Góc BCD = 180° − 120° = 60° (vì hình thoi có hai góc đối bằng nhau, hai góc kề bù nhau)
Trong tam giác BCD: BC = CD = 1, góc BCD = 60°
Tam giác BCD cân tại C với góc đỉnh 60° → tam giác đều
Do đó BD = 1

Áp dụng công thức đường chéo hình thoi:

Gọi O là giao điểm hai đường chéo
Trong tam giác AOB vuông tại O:
Góc OAB = 60° (nửa góc BAD = 120°)
AB = 1
OA = AB × cos(60°) = 1 × 1/2 = 1/2
OB = AB × sin(60°) = 1 × √3/2 = √3/2

Vậy:

AC = 2 × OA = 2 × 1/2 = 1
BD = 2 × OB = 2 × √3/2 = √3

Kết luận: |CB + CD| = |CA| = CA = 1

Phần 2: Tính |DB + CD + BA|

Ta có:

BA = CD (vì ABCD là hình bình hành/hình thoi)
DB + CD + BA = DB + CD + CD = DB + 2CD

Cách khác, nhóm lại:

DB + BA = DA (quy tắc ba điểm)
DA + CD = CD + DA = CA (quy tắc ba điểm)

Vậy: DB + CD + BA = CA

Kết luận: |DB + CD + BA| = |CA| = 1

Cách 2 — Sử dụng tọa độ

Đặt hệ trục Oxy với A là gốc, AD nằm trên trục Ox.

A = (0, 0)
D = (1, 0)
B = (cos120°, sin120°) = (−1/2, √3/2)
C = D + AB = (1, 0) + (−1/2, √3/2) = (1/2, √3/2)

Tính CB + CD:

CB = B − C = (−1/2 − 1/2, √3/2 − √3/2) = (−1, 0)
CD = D − C = (1 − 1/2, 0 − √3/2) = (1/2, −√3/2)
CB + CD = (−1 + 1/2, 0 − √3/2) = (−1/2, −√3/2)
|CB + CD| = √[(−1/2)² + (−√3/2)²] = √[1/4 + 3/4] = √1 = 1

Tính DB + CD + BA:

DB = B − D = (−1/2 − 1, √3/2 − 0) = (−3/2, √3/2)
CD = (1/2, −√3/2)
BA = A − B = (0 − (−1/2), 0 − √3/2) = (1/2, −√3/2)
Tổng = (−3/2 + 1/2 + 1/2, √3/2 − √3/2 − √3/2) = (−1/2, −√3/2)
Độ dài = √[(−1/2)² + (−√3/2)²] = 1

💡 Mẹo bấm máy (Casio fx-580VN X): - Chọn MODE → VECTOR - Nhập tọa độ các vectơ - Thực hiện phép cộng và tính độ dài bằng Abs

HĐ4

Đề bài: Thế nào là hai lực cân bằng? Nếu dùng hai vectơ để biểu diễn hai lực cân bằng thì hai vectơ này có mối quan hệ gì với nhau?

Lời giải

Định nghĩa hai lực cân bằng:
Hai lực cân bằng là hai lực:

Cùng tác dụng lên một vật
Có cùng độ lớn (cùng cường độ)
Cùng phương nhưng ngược chiều
Có điểm đặt trên cùng một vật

Mối quan hệ của hai vectơ biểu diễn:

Nếu dùng hai vectơ F₁ và F₂ để biểu diễn hai lực cân bằng thì:

|F₁| = |F₂| (cùng độ dài)
F₁ và F₂ ngược hướng
F₁ + F₂ = 0

Kết luận: Hai vectơ biểu diễn hai lực cân bằng là hai vectơ đối nhau.

Cụ thể: F₂ = −F₁ (hoặc F₁ = −F₂)

⚠️ Lưu ý thi: Khái niệm vectơ đối rất quan trọng trong Vật lý khi phân tích lực. Tổng các lực cân bằng = vectơ 0.

🎯 Ghi nhớ: 1. Quy tắc ba điểm: AB + BC = AC 2. Quy tắc hình bình hành: Trong hình bình hành ABCD: AB + AD = AC 3. Tính chất giao hoán: a + b = b + a 4. Tính chất kết hợp: (a + b) + c = a + (b + c) 5. Vectơ đối: −a có cùng độ dài, ngược hướng với a; và a + (−a) = 0

Chế độ đọc sách →