Giải Toán 10 - Tập 1 trang 54

Q: Bài 4.6

⚠️ Lưu ý thi: Đây là dạng bài "tổng vectơ theo chu trình khép kín". Quy tắc: Nếu các vectơ nối tiếp nhau tạo thành vòng kín thì tổng bằng 0.

Q: Bài 4.9

🎯 Kết luận: Độ lớn hợp lực |F₁ + F₂| = √7 ≈ 2,65 N

Lời giải chi tiết SGK Lớp 10 · Môn ToĂ¡n · Trang 54–55

🔍 Kiến thức cần nhớ

Phép trừ vectơ

Định nghĩa: Vectơ a - b = a + (-b), trong đó -b là vectơ đối của b
Quy tắc hiệu: Với ba điểm O, M, N bất kỳ: MN = ON - OM

Các tính chất quan trọng

Nếu I là trung điểm của AB thì IA + IB = 0
Nếu G là trọng tâm tam giác ABC thì GA + GB + GC = 0

⚙️ Bài tập

Luyện tập 2

Đề bài: Cho tứ giác ABCD. Gọi M, N lần lượt là trung điểm của các cạnh AB, CD và O là trung điểm của MN. Chứng minh rằng OA + OB + OC + OD = 0.

Cách 1 — Sử dụng tính chất trung điểm

Bước 1: Vì M là trung điểm của AB nên:

MA + MB = 0

Bước 2: Vì N là trung điểm của CD nên:

NC + ND = 0

Bước 3: Vì O là trung điểm của MN nên:

OM + ON = 0

Bước 4: Áp dụng quy tắc cộng vectơ:

OA = OM + MA
OB = OM + MB
OC = ON + NC
OD = ON + ND

Bước 5: Cộng tất cả lại:

OA + OB + OC + OD = (OM + MA) + (OM + MB) + (ON + NC) + (ON + ND)

= 2OM + 2ON + (MA + MB) + (NC + ND)

= 2(OM + ON) + 0 + 0

= 2 × 0 = 0 ✓

Cách 2 — Sử dụng quy tắc hiệu trực tiếp

Gọi G là một điểm bất kỳ. Ta cần chứng minh O thỏa mãn tính chất tổng vectơ bằng 0.

Vì M là trung điểm AB: OA + OB = 2OM

Vì N là trung điểm CD: OC + OD = 2ON

Do đó: OA + OB + OC + OD = 2OM + 2ON = 2(OM + ON)

Vì O là trung điểm MN nên OM + ON = 0

Vậy OA + OB + OC + OD = 2 × 0 = 0 ✓

💡 Mẹo nhớ: Với trung điểm I của đoạn AB: IA + IB = 0, hay tương đương OA + OB = 2OI với O bất kỳ.

Bài 4.6

Đề bài: Cho bốn điểm A, B, C, D. Chứng minh rằng:

a) AB + BC + CD + DA = 0

b) AC - AD = BC - BD

Câu a) Chứng minh AB + BC + CD + DA = 0

Cách 1 — Quy tắc ba điểm (cộng vectơ liên tiếp)

Áp dụng quy tắc ba điểm:

AB + BC = AC (điểm cuối của vectơ trước trùng điểm đầu của vectơ sau)
AC + CD = AD
AD + DA = AA = 0

Do đó: AB + BC + CD + DA = 0 ✓

Cách 2 — Nhận xét đường đi khép kín

Nhận xét: Các vectơ AB, BC, CD, DA tạo thành một đường đi khép kín từ A → B → C → D → A.

Khi cộng các vectơ theo đường đi khép kín, ta luôn được vectơ 0.

Vậy AB + BC + CD + DA = 0 ✓

⚠️ Lưu ý thi: Đây là dạng bài "tổng vectơ theo chu trình khép kín". Quy tắc: Nếu các vectơ nối tiếp nhau tạo thành vòng kín thì tổng bằng 0.

Câu b) Chứng minh AC - AD = BC - BD

Cách 1 — Áp dụng quy tắc hiệu

Vế trái: Áp dụng quy tắc hiệu với gốc A:

AC - AD = DC (quy tắc: OM - ON = NM)

Vế phải: Áp dụng quy tắc hiệu với gốc B:

BC - BD = DC

Vậy AC - AD = BC - BD = DC ✓

Cách 2 — Chuyển về dạng tổng

Biến đổi đẳng thức cần chứng minh:

AC - AD = BC - BD

⟺ AC - AD - BC + BD = 0

⟺ AC + DA + CB + BD = 0 (vì -AD = DA, -BC = CB)

⟺ (AC + CB) + (DA + BD) = 0 (nhóm lại)

⟺ AB + (BD + DA) = 0

⟺ AB + BA = 0

⟺ 0 = 0 ✓ (luôn đúng)

💡 Mẹo nhớ: Quy tắc hiệu: OA - OB = BA (cùng gốc, lấy ngọn trừ ngọn được vectơ nối hai ngọn theo chiều ngược)

Bài 4.7

Đề bài: Cho hình bình hành ABCD. Hãy tìm điểm M để BM = AB + AD. Tìm mối quan hệ giữa hai vectơ CD và CM.

Cách 1 — Sử dụng quy tắc hình bình hành

Bước 1: Trong hình bình hành ABCD, áp dụng quy tắc hình bình hành với gốc A:

AB + AD = AC (đường chéo)

Bước 2: Ta cần tìm M sao cho BM = AC

Điều này có nghĩa:

BM và AC cùng hướng
|BM| = |AC|

Bước 3: Xác định điểm M

Từ B, vẽ vectơ BM = AC, ta được điểm M.

Vì BM = AC và AC = AB + AD, nên M là điểm sao cho ABMC là hình bình hành (với AC và BM là hai cạnh đối song song và bằng nhau).

Thực tế, M là đỉnh thứ tư của hình bình hành ACMB, tức M đối xứng với A qua trung điểm của BC.

Hay nói cách khác: M là điểm sao cho C là trung điểm của AM.

Bước 4: Tìm mối quan hệ giữa CD và CM

Trong hình bình hành ABCD: CD = BA = -AB

Ta có: CM = CB + BM = CB + AC = CB + AB + AD

Vì ABCD là hình bình hành: CB = DA = -AD

Nên: CM = -AD + AB + AD = AB

Mà CD = -AB

Vậy: CM = -CD, hay CD và CM là hai vectơ đối nhau.

Cách 2 — Sử dụng tọa độ

Đặt A là gốc, AB = b, AD = d

Khi đó: B = b, D = d, C = b + d

Ta cần: BM = AB + AD = b + d

Mà BM = M - B = M - b

Nên: M - b = b + d → M = 2b + d

Kiểm tra:

CD = D - C = d - (b + d) = -b
CM = M - C = (2b + d) - (b + d) = b

Vậy CM = -CD, tức CD và CM là hai vectơ đối nhau.

🎯 Kết luận: - Điểm M là điểm sao cho BM = AC (M đối xứng với A qua trung điểm BC) - CD = -CM (hai vectơ đối nhau)

Bài 4.8

Đề bài: Cho tam giác đều ABC có cạnh bằng a. Tính độ dài của các vectơ AB - AC, AB + AC.

Cách 1 — Sử dụng quy tắc hình bình hành

Tính |AB - AC|:

Áp dụng quy tắc hiệu: AB - AC = CB

Vì tam giác ABC đều cạnh a nên |CB| = a

Vậy |AB - AC| = a

Tính |AB + AC|:

Dựng hình bình hành ABDC (D là điểm sao cho AD = AB + AC)

Theo quy tắc hình bình hành: AB + AC = AD, trong đó D là đỉnh thứ tư của hình bình hành ABDC.

Trong hình bình hành ABDC với AB = AC = a và góc BAC = 60°:

|AD|² = |AB|² + |AC|² + 2|AB||AC|cos(∠BAC)

|AD|² = a² + a² + 2a²cos60° = a² + a² + 2a² × (1/2) = 3a²

|AD| = a√3

Vậy |AB + AC| = a√3

Cách 2 — Sử dụng công thức độ dài vectơ

Công thức tổng quát:

|u + v|² = |u|² + |v|² + 2|u||v|cosθ
|u - v|² = |u|² + |v|² - 2|u||v|cosθ

(θ là góc giữa hai vectơ u và v)

Với tam giác đều ABC:

|AB| = |AC| = a
Góc giữa AB và AC là ∠BAC = 60°

Tính |AB - AC|:

|AB - AC|² = a² + a² - 2a²cos60° = 2a² - 2a² × (1/2) = a²

|AB - AC| = a

Tính |AB + AC|:

|AB + AC|² = a² + a² + 2a²cos60° = 2a² + a² = 3a²

|AB + AC| = a√3

🎯 Kết luận: - |AB - AC| = a - |AB + AC| = a√3

💡 Mẹo nhớ: Với hai vectơ có cùng độ dài và góc giữa chúng là α: - |u - v| = 2|u|sin(α/2) - |u + v| = 2|u|cos(α/2)

💡 Mẹo bấm máy: Với Casio fx-580VN X, có thể dùng chế độ VECTOR để tính trực tiếp.

Bài 4.9

Đề bài: Hình 4.19 biểu diễn hai lực F₁, F₂ cùng tác động lên một vật, cho |F₁| = 3 N, |F₂| = 2 N. Tính độ lớn của hợp lực F₁ + F₂.

(Từ hình vẽ: góc giữa hai lực là 120°)

Cách 1 — Công thức tổng hợp lực

Góc giữa hai vectơ F₁ và F₂ là 120° (từ hình vẽ).

Áp dụng công thức độ dài tổng hai vectơ:

|F₁ + F₂|² = |F₁|² + |F₂|² + 2|F₁||F₂|cos(120°)

|F₁ + F₂|² = 3² + 2² + 2 × 3 × 2 × cos(120°)

|F₁ + F₂|² = 9 + 4 + 12 × (-1/2)

|F₁ + F₂|² = 13 - 6 = 7

|F₁ + F₂| = √7 ≈ 2,65 N

Cách 2 — Định lý cosin trong tam giác

Dựng hình bình hành với F₁ và F₂ là hai cạnh kề.

Góc giữa hai cạnh kề là 120°, nên góc đối diện với đường chéo (hợp lực) là 180° - 120° = 60°.

Sử dụng định lý cosin:

|F₁ + F₂|² = |F₁|² + |F₂|² - 2|F₁||F₂|cos(60°)

Chú ý: Ở đây ta dùng góc trong tam giác, không phải góc giữa hai vectơ.

Thực ra cách đúng là:

|F₁ + F₂|² = 3² + 2² + 2 × 3 × 2 × cos(120°) = 7

|F₁ + F₂| = √7 ≈ 2,65 N

🎯 Kết luận: Độ lớn hợp lực |F₁ + F₂| = √7 ≈ 2,65 N

💡 Mẹo bấm máy (Casio fx-580VN X): - Bấm: √(3² + 2² + 2×3×2×cos(120)) = √7 ≈ 2,6457... - Hoặc dùng chế độ VECTOR: Nhập hai vectơ theo tọa độ cực rồi cộng

⚠️ Lưu ý thi: Công thức quan trọng: |a + b|² = |a|² + |b|² + 2|a||b|cosθ, với θ là góc giữa a và b.

Bài 4.10

Đề bài: Hai con tàu xuất phát cùng lúc từ bờ bên này để sang bờ bên kia của dòng sông với vận tốc riêng không đổi và có độ lớn bằng nhau. Hai tàu luôn được giữ lái sao cho chúng tạo với bờ cùng một góc nhọn nhưng một tàu hướng xuống hạ lưu, một tàu hướng lên thượng nguồn (hình bên). Vận tốc dòng nước là đáng kể, các yếu tố bên ngoài khác không ảnh hưởng tới vận tốc của các tàu. Hỏi tàu nào sang bờ bên kia trước?

Phân tích bài toán

Gọi:

v_r: vectơ vận tốc riêng của tàu (so với nước)
v_n: vectơ vận tốc dòng nước
v: vectơ vận tốc thực tế của tàu (so với bờ) = v_r + v_n

Hai tàu có:

Cùng độ lớn vận tốc riêng |v_r|
Cùng góc nhọn với bờ
Tàu 1 hướng xuống hạ lưu, Tàu 2 hướng lên thượng nguồn

Cách giải — Phân tích thành phần vận tốc

Bước 1: Phân tích vận tốc thực tế

Vận tốc thực tế v = v_r + v_n

Thành phần vuông góc với bờ (theo phương ngang sông) quyết định thời gian qua sông.

Bước 2: So sánh thành phần vuông góc với bờ

Gọi α là góc mà hướng tàu tạo với bờ sông.

Thành phần vận tốc riêng vuông góc với bờ: |v_r| × sin(α)

Vận tốc dòng nước v_n có phương song song với bờ (theo dòng chảy), nên không ảnh hưởng đến thành phần vuông góc với bờ của vận tốc thực tế.

Bước 3: Kết luận

Cả hai tàu đều có:

Cùng góc α với bờ
Cùng độ lớn vận tốc riêng |v_r|

Do đó, thành phần vận tốc vuông góc với bờ của cả hai tàu đều bằng |v_r| × sin(α).

Thời gian qua sông = Chiều rộng sông / (Thành phần vận tốc vuông góc bờ)

Vì chiều rộng sông và thành phần vận tốc vuông góc bờ của hai tàu bằng nhau, nên:

🎯 Kết luận: Hai tàu sang bờ bên kia cùng lúc (thời gian bằng nhau).

Giải thích thêm

Mặc dù:

Tàu hướng hạ lưu sẽ bị dòng nước đẩy xuôi, đến bờ bên kia ở vị trí xa hơn về phía hạ lưu
Tàu hướng thượng nguồn sẽ bị dòng nước đẩy ít hơn (vì hướng ngược), đến bờ ở vị trí gần điểm đối diện hơn

Nhưng cả hai đều mất cùng thời gian để qua sông vì thành phần vận tốc vuông góc với bờ như nhau.

💡 Mẹo nhớ: Trong bài toán qua sông, chỉ thành phần vận tốc vuông góc với bờ mới quyết định thời gian qua sông. Dòng nước chỉ ảnh hưởng đến vị trí cập bờ, không ảnh hưởng thời gian (nếu thành phần vuông góc không đổi).

Vận dụng (trang 54)

Đề bài: Tính lực kéo cần thiết để kéo một khẩu pháo có trọng lượng 22 148 N (ứng với khối lượng xấp xỉ 2 260 kg) lên một con dốc nghiêng 30° so với phương nằm ngang (H.4.18). Nếu lực kéo của mỗi người bằng 100 N, thì cần tối thiểu bao nhiêu người để kéo pháo?

Phân tích lực

Khẩu pháo chịu tác động của ba lực:

Trọng lực P: độ lớn |P| = 22 148 N, phương thẳng đứng, hướng xuống
Phản lực w: phương vuông góc với mặt dốc, hướng lên trên
Lực kéo F: theo phương dốc, hướng từ chân dốc lên đỉnh dốc

Cách giải

Bước 1: Phân tích trọng lực thành hai thành phần

Trọng lực P được phân tích thành:

Thành phần vuông góc với mặt dốc: |P| × cos(30°) (bị triệt tiêu bởi phản lực)
Thành phần song song với mặt dốc (kéo xuống): |P| × sin(30°)

Bước 2: Điều kiện cân bằng

Để kéo pháo lên (vừa đủ thắng trọng lực), lực kéo F phải cân bằng với thành phần trọng lực song song mặt dốc:

|F| = |P| × sin(30°) = 22 148 × (1/2) = 11 074 N

Bước 3: Tính số người cần thiết

Mỗi người kéo với lực 100 N.

Số người tối thiểu = 11 074 / 100 = 110,74

Vì số người phải là số nguyên và phải kéo được pháo, nên cần làm tròn lên.

🎯 Kết luận: Cần tối thiểu 111 người để kéo pháo.

💡 Mẹo bấm máy: 22148 × sin(30°) ÷ 100 = 110,74 → làm tròn lên = 111

⚠️ Lưu ý: Bài này giả định lực kéo của tất cả mọi người đều cùng phương với mặt dốc và bỏ qua ma sát. Trong thực tế, cần xét thêm lực ma sát và hiệu suất kéo.

🎯 Ghi nhớ tổng hợp

Quy tắc hiệu vectơ: MN = ON - OM (với O là điểm bất kỳ)

Tính chất trung điểm: Nếu I là trung điểm AB thì IA + IB = 0, hay OA + OB = 2OI

Tính chất trọng tâm: Nếu G là trọng tâm tam giác ABC thì GA + GB + GC = 0

Công thức độ dài:

|a + b|² = |a|² + |b|² + 2|a||b|cosθ
|a - b|² = |a|² + |b|² - 2|a||b|cosθ

Tổng vectơ theo chu trình khép kín bằng 0: AB + BC + CD + DA = 0

Chế độ đọc sách →