Giải Toán 10 - Tập 1 trang 56

🔍 Kiến thức cần nhớ

Tích của một vectơ với một số

Định nghĩa:

• Tích của vectơ a⃗ ≠ 0⃗ với số thực k > 0 là vectơ ka⃗, cùng hướng với a⃗ và có độ dài bằng k|a⃗|
• Tích của vectơ a⃗ ≠ 0⃗ với số thực k < 0 là vectơ ka⃗, ngược hướng với a⃗ và có độ dài bằng (-k)|a⃗| = |k||a⃗|
• Quy ước: ka⃗ = 0⃗ nếu a⃗ = 0⃗ hoặc k = 0

Nhận xét: Vectơ ka⃗ có độ dài bằng |k||a⃗| và cùng hướng với a⃗ nếu k ≥ 0, ngược hướng với a⃗ nếu a⃗ ≠ 0⃗ và k < 0.

Tính chất quan trọng: Hai vectơ a⃗ và b⃗ (với b⃗ ≠ 0⃗) cùng phương khi và chỉ khi tồn tại số k để a⃗ = kb⃗

---

⚙️ Bài tập

HĐ1 (Hoạt động 1)

Đề bài: Cho vectơ AB⃗ = a⃗. Hãy xác định điểm C sao cho BC⃗ = a⃗.

a) Tìm mối quan hệ giữa AB⃗ và a⃗ + a⃗.

b) Vectơ a⃗ + a⃗ có mối quan hệ như thế nào về hướng và độ dài đối với vectơ a⃗?

---

Cách 1 — Phương pháp sử dụng quy tắc cộng vectơ

Phần a)

Ta có AB⃗ = a⃗ và BC⃗ = a⃗

Áp dụng quy tắc ba điểm (quy tắc cộng vectơ):

AC⃗ = AB⃗ + BC⃗ = a⃗ + a⃗

Mặt khác, vì B nằm giữa A và C (do AB⃗ và BC⃗ cùng hướng và cùng độ dài), nên:

• AC⃗ cùng hướng với AB⃗
• |AC⃗| = |AB⃗| + |BC⃗| = |a⃗| + |a⃗| = 2|a⃗|

Kết luận: a⃗ + a⃗ = AC⃗ = 2a⃗, tức là vectơ có cùng hướng với AB⃗ và độ dài gấp đôi.

Phần b)

Vectơ a⃗ + a⃗ = 2a⃗ có:

• Hướng: Cùng hướng với vectơ a⃗
• Độ dài: |a⃗ + a⃗| = |2a⃗| = 2|a⃗| (gấp đôi độ dài của a⃗)

---

Cách 2 — Phương pháp trực quan hình học

Xác định điểm C: Vì BC⃗ = a⃗ = AB⃗, nên C là điểm sao cho B là trung điểm của AC.

Phần a)
Vì A, B, C thẳng hàng và B nằm giữa A, C với AB = BC, ta có:

a⃗ + a⃗ = AB⃗ + BC⃗ = AC⃗

Vectơ AC⃗ chính là vectơ đi từ A đến C, có cùng phương, cùng hướng với AB⃗ nhưng độ dài gấp đôi.

Phần b)

• Cùng hướng với a⃗
• Độ dài bằng 2|a⃗|

💡 Mẹo nhớ: Khi cộng hai vectơ bằng nhau a⃗ + a⃗, ta được vectơ 2a⃗ — cùng hướng, độ dài nhân đôi.

---

Câu hỏi: 1a⃗ và a⃗ có bằng nhau hay không?

Trả lời:

Có, 1a⃗ = a⃗

Giải thích:

• Theo định nghĩa, với k = 1 > 0:
• ka⃗ = 1a⃗ cùng hướng với a⃗
• |1a⃗| = 1 × |a⃗| = |a⃗|

Hai vectơ cùng hướng và cùng độ dài thì bằng nhau.

Kết luận: 1a⃗ = a⃗ ✓

---

HĐ2 (Hoạt động 2)

Đề bài: Trên một trục số, gọi O, A, M, N tương ứng biểu thị các số 0; 1; √2; -√2. Hãy nêu mối quan hệ về hướng và độ dài của mỗi vectơ OM⃗, ON⃗ với vectơ a⃗ = OA⃗. Viết đẳng thức thể hiện mối quan hệ giữa hai vectơ OM⃗ và OA⃗.

---

Cách 1 — Phương pháp phân tích tọa độ trên trục số

Bước 1: Xác định các điểm trên trục số

• O ứng với 0
• A ứng với 1
• M ứng với √2
• N ứng với -√2

Bước 2: Tính độ dài và xác định hướng

Với vectơ a⃗ = OA⃗:

• Hướng: từ O đến A (theo chiều dương của trục số)
• Độ dài: |a⃗| = |OA⃗| = 1

Với vectơ OM⃗:

• Hướng: từ O đến M, cùng chiều dương → cùng hướng với a⃗
• Độ dài: |OM⃗| = √2

→ Mối quan hệ: OM⃗ cùng hướng với a⃗ và có độ dài bằng √2 lần độ dài của a⃗

→ Đẳng thức: OM⃗ = √2 · OA⃗ hay OM⃗ = √2 · a⃗

Với vectơ ON⃗:

• Hướng: từ O đến N, theo chiều âm → ngược hướng với a⃗
• Độ dài: |ON⃗| = √2

→ Mối quan hệ: ON⃗ ngược hướng với a⃗ và có độ dài bằng √2 lần độ dài của a⃗

→ Đẳng thức: ON⃗ = -√2 · OA⃗ hay ON⃗ = -√2 · a⃗

---

Cách 2 — Phương pháp dùng tọa độ vectơ

Trên trục số, vectơ OX⃗ có "tọa độ" bằng giá trị của X.

• OA⃗ ↔ tọa độ 1, nên |OA⃗| = 1
• OM⃗ ↔ tọa độ √2, nên OM⃗ = √2 · OA⃗ (vì √2/1 = √2 > 0, cùng hướng)
• ON⃗ ↔ tọa độ -√2, nên ON⃗ = -√2 · OA⃗ (vì -√2/1 = -√2 < 0, ngược hướng)

Kết luận:

---

Câu hỏi: Mối quan hệ giữa ON⃗ và OA⃗ được thể hiện bởi đẳng thức nào?

Trả lời: ON⃗ = -√2 · OA⃗

---

Câu hỏi: -a⃗ và (-1)a⃗ có mối quan hệ gì?

Trả lời:

-a⃗ và (-1)a⃗ là hai vectơ bằng nhau.

Giải thích:

• Theo định nghĩa tích vectơ với số: (-1)a⃗ là vectơ ngược hướng với a⃗ và có độ dài |(-1)||a⃗| = |a⃗|
• Vectơ đối -a⃗ cũng là vectơ ngược hướng với a⃗ và có cùng độ dài |a⃗|

→ Hai vectơ cùng hướng (đều ngược với a⃗) và cùng độ dài nên bằng nhau.

Kết luận: -a⃗ = (-1)a⃗ ✓

💡 Mẹo nhớ: Vectơ đối của a⃗ chính là tích của a⃗ với -1.

---

Luyện tập 1

Đề bài: Cho đường thẳng d đi qua hai điểm phân biệt A và B (H.4.25). Những khẳng định nào sau đây là đúng?

a) Điểm M thuộc đường thẳng d khi và chỉ khi tồn tại số t để AM⃗ = tAB⃗.

b) Với điểm M bất kì, ta luôn có AM⃗ = (AM/AB) · AB⃗.

c) Điểm M thuộc tia đối của tia AB khi và chỉ khi tồn tại số t ≤ 0 để AM⃗ = tAB⃗.

---

Cách 1 — Phương pháp phân tích từng khẳng định

Phần a) Điểm M thuộc đường thẳng d ⟺ ∃t: AM⃗ = t·AB⃗

Phân tích:

• Nếu M ∈ d thì AM⃗ và AB⃗ cùng phương (vì cùng nằm trên d)
• Theo tính chất: Hai vectơ cùng phương ⟺ tồn tại số k để vectơ này bằng k lần vectơ kia
• Do đó tồn tại t để AM⃗ = tAB⃗

Ngược lại, nếu AM⃗ = tAB⃗ thì AM⃗ và AB⃗ cùng phương, tức M nằm trên đường thẳng qua A và B.

Kết luận: Khẳng định a) ĐÚNG ✓

---

Phần b) Với M bất kì: AM⃗ = (AM/AB) · AB⃗

Phân tích:

• AM/AB là tỉ số độ dài (luôn ≥ 0)
• Vectơ (AM/AB) · AB⃗ cùng hướng với AB⃗ (vì hệ số dương)
• Nhưng nếu M không nằm trên đường thẳng d, hoặc M nằm trên tia đối của tia AB, thì AM⃗ không cùng hướng với AB⃗

Phản ví dụ:

• Nếu M nằm ngoài đường thẳng d: AM⃗ và AB⃗ không cùng phương → đẳng thức sai
• Nếu M nằm trên tia đối của tia AB: AM⃗ ngược hướng với AB⃗ → cần hệ số âm, không phải AM/AB

Kết luận: Khẳng định b) SAI ✗

---

Phần c) M thuộc tia đối của tia AB ⟺ ∃t ≤ 0: AM⃗ = t·AB⃗

Phân tích:

Chiều thuận: Nếu M thuộc tia đối của tia AB:

• M nằm trên đường thẳng AB nhưng A nằm giữa M và B
• AM⃗ ngược hướng với AB⃗
• Nên AM⃗ = tAB⃗ với t < 0

Trường hợp đặc biệt: Nếu M ≡ A thì AM⃗ = 0⃗ = 0·AB⃗ (t = 0)

Chiều đảo: Nếu AM⃗ = tAB⃗ với t ≤ 0:

• Khi t = 0: M ≡ A (thuộc tia đối theo quy ước gốc tia)
• Khi t < 0: AM⃗ ngược hướng với AB⃗ → M nằm phía đối của B so với A → M thuộc tia đối

Kết luận: Khẳng định c) ĐÚNG ✓

---

Cách 2 — Phương pháp dùng tham số trên đường thẳng

Đặt M là điểm trên đường thẳng d sao cho AM⃗ = tAB⃗

• t > 0: M cùng phía với B so với A (trên tia AB)
• t = 0: M ≡ A
• t < 0: M đối phía với B so với A (trên tia đối của tia AB)
• t = 1: M ≡ B

Từ đó:

• a) ĐÚNG vì M ∈ d ⟺ M nằm ở vị trí ứng với t nào đó
• b) SAI vì công thức chỉ đúng khi M thuộc tia AB (t > 0)
• c) ĐÚNG vì t ≤ 0 tương ứng M ở gốc A hoặc phía đối với B

---

Đáp án cuối cùng:

⚠️ Lưu ý thi: Khẳng định b) là "bẫy" phổ biến! Tỉ số AM/AB luôn dương nên không thể biểu diễn vectơ ngược hướng. Khi M không thuộc đường thẳng d, đẳng thức hoàn toàn sai.

🎯 Ghi nhớ: - Điểm M thuộc đường thẳng AB ⟺ ∃t ∈ ℝ: AM⃗ = tAB⃗ - t > 0: M cùng phía với B | t < 0: M đối phía với B | t = 0: M ≡ A | t = 1: M ≡ B