HocKhaThư viện lời giải bài tập

Giải Toán 10 - Tập 1 trang 58

Lời giải chi tiết SGK Lớp 10 · Môn ToĂ¡n · Trang 58–59

🔍 Kiến thức cần nhớ

Các tính chất của phép nhân vectơ với một số:

Với hai vectơ a, b và hai số thực k, t, ta luôn có:

  • k(ta) = (kt)a
  • (k + t)a = ka + ta
  • k(a + b) = ka + kb
  • k(a - b) = ka - kb
  • 1·a = a; (-1)a = -a

Nhận xét quan trọng:

  • Điểm I là trung điểm của đoạn thẳng AB khi và chỉ khi IA + IB = 0
  • Điểm G là trọng tâm của tam giác ABC khi và chỉ khi GA + GB + GC = 0

⚙️ Bài tập

HĐ3 (Hoạt động 3)

Đề bài: Với u ≠ 0 và hai số thực k, t, những khẳng định nào sau đây là đúng?

a) Hai vectơ k(tu) và (kt)u có cùng độ dài bằng |kt||u|.

b) Nếu kt ≥ 0 thì cả hai vectơ k(tu), (kt)u cùng hướng với u.

c) Nếu kt < 0 thì cả hai vectơ k(tu), (kt)u ngược hướng với u.

d) Hai vectơ k(tu) và (kt)u bằng nhau.

Cách 1 — Phân tích trực tiếp từ định nghĩa

Xét từng khẳng định:

a) Hai vectơ k(tu) và (kt)u có cùng độ dài bằng |kt||u|.

  • Vectơ tu có độ dài |t||u|
  • Vectơ k(tu) có độ dài |k| × |tu| = |k| × |t| × |u| = |kt||u|
  • Vectơ (kt)u có độ dài |kt| × |u| = |kt||u|

→ Khẳng định a) ĐÚNG

b) Nếu kt ≥ 0 thì cả hai vectơ k(tu), (kt)u cùng hướng với u.

  • Khi kt > 0: vectơ (kt)u cùng hướng với u ✓
  • Khi kt = 0: vectơ (kt)u = 0, vectơ 0 không có hướng xác định

→ Khẳng định b) ĐÚNG (với kt > 0, cùng hướng; kt = 0 là trường hợp đặc biệt)

c) Nếu kt < 0 thì cả hai vectơ k(tu), (kt)u ngược hướng với u.

  • Khi kt < 0: vectơ (kt)u ngược hướng với u ✓
  • Tương tự k(tu) cũng ngược hướng với u

→ Khẳng định c) ĐÚNG

d) Hai vectơ k(tu) và (kt)u bằng nhau.

  • Từ tính chất phép nhân vectơ với số: k(tu) = (kt)u

→ Khẳng định d) ĐÚNG

Cách 2 — Sử dụng tính chất kết hợp

Theo tính chất của phép nhân vectơ với số: k(t·a) = (kt)·a

Điều này cho thấy k(tu) và (kt)u là hai cách viết của cùng một vectơ, nên chúng:

  • Cùng độ dài: |kt||u| ✓
  • Cùng hướng (khi kt > 0) hoặc ngược hướng với u (khi kt < 0) ✓
  • Bằng nhau ✓

Kết luận: Tất cả các khẳng định a), b), c), d) đều ĐÚNG.

💡 Mẹo nhớ: Tính chất k(ta) = (kt)a giống như tính chất kết hợp của phép nhân số thực.

HĐ4 (Hoạt động 4)

Đề bài: Hãy chỉ ra trên Hình 4.26 hai vectơ 3(u + v) và 3u + 3v. Từ đó, nêu mối quan hệ giữa 3(u + v) và 3u + 3v.

Cách 1 — Xây dựng hình học

Phân tích từ Hình 4.26:

Trong hình, ta có hình bình hành với các vectơ u và v.

Bước 1: Xác định u + v

  • Theo quy tắc hình bình hành: u + v là vectơ đường chéo

Bước 2: Xác định 3(u + v)

  • Vectơ 3(u + v) cùng hướng với u + v và có độ dài gấp 3 lần

Bước 3: Xác định 3u và 3v

  • Vectơ 3u cùng hướng với u, độ dài gấp 3
  • Vectơ 3v cùng hướng với v, độ dài gấp 3

Bước 4: Xác định 3u + 3v

  • Áp dụng quy tắc hình bình hành cho 3u và 3v

Kết luận: Hai vectơ 3(u + v) và 3u + 3v bằng nhau.

Cách 2 — Sử dụng tính chất phân phối

Theo tính chất phân phối của phép nhân vectơ với số:

k(a + b) = ka + kb

Áp dụng với k = 3:

3(u + v) = 3u + 3v

Kết luận: Hai vectơ 3(u + v) và 3u + 3v bằng nhau.

⚠️ Lưu ý thi: Tính chất phân phối k(a + b) = ka + kb là một trong những tính chất quan trọng nhất, thường được sử dụng trong chứng minh vectơ.

Luyện tập 2

Đề bài: Cho tam giác ABC có trọng tâm G. Chứng minh rằng với điểm O tuỳ ý, ta có:

OA + OB + OC = 3OG

Cách 1 — Sử dụng quy tắc ba điểm

Bước 1: Áp dụng quy tắc ba điểm cho mỗi vectơ

  • OA = OG + GA
  • OB = OG + GB
  • OC = OG + GC

Bước 2: Cộng vế với vế

OA + OB + OC = (OG + GA) + (OG + GB) + (OG + GC)

= 3OG + (GA + GB + GC)

Bước 3: Sử dụng tính chất trọng tâm

Vì G là trọng tâm tam giác ABC nên: GA + GB + GC = 0

Bước 4: Kết luận

OA + OB + OC = 3OG + 0 = 3OG

Vậy: OA + OB + OC = 3OG (đpcm)

Cách 2 — Biến đổi trực tiếp

OA + OB + OC

= (OG + GA) + (OG + GB) + (OG + GC)

= 3OG + (GA + GB + GC)

= 3OG + 0 = 3OG

💡 Mẹo nhớ: Công thức OA + OB + OC = 3OG được gọi là "công thức trọng tâm". Đây là công thức cực kỳ quan trọng!
⚠️ Lưu ý thi: Điểm G là trọng tâm tam giác ABC ⟺ GA + GB + GC = 0 ⟺ OA + OB + OC = 3OG (với O bất kỳ)

Luyện tập 3

Đề bài: Trong Hình 4.27, hãy biểu thị mỗi vectơ u, v theo hai vectơ a, b, tức là tìm các số x, y, z, t để u = xa + yb, v = ta + zb.

Cách 1 — Quan sát và phân tích hình học

Phân tích từ Hình 4.27:

Dựa vào hình vẽ, ta quan sát vị trí các vectơ u, v so với a, b.

Biểu thị vectơ u:

  • Từ hình vẽ, vectơ u có thể phân tích theo a và b
  • Quan sát: u = 2a + b

Vậy x = 2, y = 1

Biểu thị vectơ v:

  • Từ hình vẽ, vectơ v có thể phân tích theo a và b
  • Quan sát: v = a + 2b

Vậy t = 1, z = 2

Cách 2 — Dùng lưới tọa độ

Coi a và b là hai vectơ cơ sở không cùng phương.

Từ hình vẽ, đếm số "bước" theo hướng a và b để đến đầu mút của u và v.

Kết quả:

  • u = 2a + b (x = 2, y = 1)
  • v = a + 2b (t = 1, z = 2)
💡 Mẹo nhớ: Khi phân tích vectơ theo hai vectơ không cùng phương, luôn có duy nhất một cách biểu diễn.

Bài 4.11

Đề bài: Cho hình bình hành ABCD. Gọi M là trung điểm của cạnh BC. Hãy biểu thị AM theo hai vectơ AB và AD.

Cách 1 — Quy tắc ba điểm

Bước 1: Áp dụng quy tắc ba điểm

AM = AB + BM

Bước 2: Xác định BM

Vì M là trung điểm của BC nên:

BM = (1/2)BC

Bước 3: Biểu thị BC theo AD

Trong hình bình hành ABCD: BC = AD

Nên: BM = (1/2)AD

Bước 4: Kết luận

AM = AB + (1/2)AD

Vậy: AM = AB + (1/2)AD

Cách 2 — Qua điểm trung gian khác

AM = AC + CM

Trong hình bình hành: AC = AB + AD

CM = -MC = -(1/2)CB = (1/2)BC = (1/2)AD - AD = -(1/2)AD

Hmm, cách này phức tạp hơn. Ta dùng cách 1.

Đáp án: AM = AB + (1/2)AD

💡 Mẹo nhớ: Trong hình bình hành ABCD: AB = DC, AD = BC, AC = AB + AD

Bài 4.12

Đề bài: Cho tứ giác ABCD. Gọi M, N tương ứng là trung điểm của các cạnh AB, CD. Chứng minh rằng:

BC + AD = 2MN = AC + BD

Cách 1 — Chứng minh từng đẳng thức

Phần 1: Chứng minh BC + AD = 2MN

Bước 1: Biểu thị MN theo quy tắc ba điểm

MN = MA + AD + DN (đi từ M → A → D → N)

Vì M là trung điểm AB: MA = (1/2)BA

Vì N là trung điểm CD: DN = (1/2)DC

Nên: MN = (1/2)BA + AD + (1/2)DC

Bước 2: Tính 2MN

2MN = BA + 2AD + DC

Bước 3: Tính BC + AD

BC = BA + AD + DC (quy tắc ba điểm: B → A → D → C)

Không đúng! Ta tính lại:

BC = BD + DC hoặc BC = BA + AC

Ta dùng cách khác:

MN = MB + BC + CN

MB = (1/2)AB, CN = (1/2)CD

MN = (1/2)AB + BC + (1/2)CD

Nên: 2MN = AB + 2BC + CD ... (vẫn chưa đúng)

Cách tiếp cận đúng:

Dùng công thức: MN = (1/2)(AN + BN) hoặc MN = (1/2)(AM + BN) + ...

Ta dùng phương pháp gốc O:

Đặt O là điểm bất kỳ. Gọi a = OA, b = OB, c = OC, d = OD

  • OM = (1/2)(OA + OB) = (1/2)(a + b) (M là trung điểm AB)
  • ON = (1/2)(OC + OD) = (1/2)(c + d) (N là trung điểm CD)

MN = ON - OM = (1/2)(c + d) - (1/2)(a + b) = (1/2)(c + d - a - b)

2MN = c + d - a - b = (c - b) + (d - a) = BC + AD

Vậy: BC + AD = 2MN ✓

Phần 2: Chứng minh 2MN = AC + BD

2MN = c + d - a - b = (c - a) + (d - b) = AC + BD

Vậy: 2MN = AC + BD ✓

Kết luận: BC + AD = 2MN = AC + BD (đpcm)

Cách 2 — Dùng tính chất trung điểm trực tiếp

Áp dụng công thức: Nếu M là trung điểm AB và N là trung điểm CD thì:

MN = (1/2)(AC + BD) = (1/2)(AD + BC)

(Đây là hệ quả của việc M, N là trung điểm)

⚠️ Lưu ý thi: Công thức này hay xuất hiện trong các bài tứ giác. Ghi nhớ: tổng hai cạnh đối = tổng hai đường chéo = 2 lần đoạn nối trung điểm hai cạnh đối.

Bài 4.13

Đề bài: Cho hai điểm phân biệt A và B.

a) Hãy xác định điểm K sao cho KA + 2KB = 0.

b) Chứng minh rằng với mọi điểm O, ta có OK = (1/3)OA + (2/3)OB.

Câu a) Xác định điểm K
Cách 1 — Biến đổi vectơ

KA + 2KB = 0

KA = -2KB

Điều này có nghĩa:

  • Vectơ KA và KB cùng phương (K, A, B thẳng hàng)
  • |KA| = 2|KB|
  • KA và KB ngược hướng (nên K nằm giữa A và B)

Kết luận: K là điểm nằm trên đoạn AB sao cho KA = 2KB, tức K chia đoạn AB theo tỉ số 2:1 tính từ B.

Hay: K là điểm chia đoạn AB sao cho AK/KB = 2/1, K nằm giữa A và B.

Cách 2 — Dùng điểm mốc

Đặt KB = t, khi đó:

KA = KB + BA = t + BA

Từ KA + 2KB = 0:

(t + BA) + 2t = 0

3t = -BA = AB

t = (1/3)AB

Vậy KB = (1/3)AB, hay K nằm trên AB với BK = (1/3)BA.

K là điểm trên đoạn AB sao cho KB = (1/3)AB (K gần B hơn, chia AB thành tỉ lệ 2:1)

Câu b) Chứng minh OK = (1/3)OA + (2/3)OB
Cách 1 — Từ kết quả câu a

Từ KA + 2KB = 0, ta có:

(OA - OK) + 2(OB - OK) = 0

OA - OK + 2OB - 2OK = 0

OA + 2OB = 3OK

OK = (1/3)(OA + 2OB) = (1/3)OA + (2/3)OB

Vậy: OK = (1/3)OA + (2/3)OB (đpcm)

Cách 2 — Kiểm tra ngược

Giả sử OK = (1/3)OA + (2/3)OB

Ta cần chứng minh KA + 2KB = 0

KA = OA - OK = OA - (1/3)OA - (2/3)OB = (2/3)OA - (2/3)OB = (2/3)(OA - OB) = (2/3)BA

KB = OB - OK = OB - (1/3)OA - (2/3)OB = (1/3)OB - (1/3)OA = (1/3)(OB - OA) = (1/3)AB

KA + 2KB = (2/3)BA + 2×(1/3)AB = (2/3)BA + (2/3)AB = (2/3)BA - (2/3)BA = 0 ✓

💡 Mẹo nhớ: Nếu KA + 2KB = 0 thì OK = (1/3)OA + (2/3)OB. Hệ số tỉ lệ nghịch với hệ số trong đẳng thức gốc!

Bài 4.14

Đề bài: Cho tam giác ABC.

a) Hãy xác định điểm M để MA + MB + 2MC = 0.

b) Chứng minh rằng với mọi điểm O, ta có OA + OB + 2OC = 4OM.

Câu a) Xác định điểm M
Cách 1 — Biến đổi về một điểm

MA + MB + 2MC = 0

Đặt gốc tại C:

(CA - CM) + (CB - CM) + 2(CC - CM) = 0

CA + CB - 4CM = 0

CM = (1/4)(CA + CB)

Vậy: M là điểm sao cho CM = (1/4)(CA + CB)

Cách xác định hình học:

  • Gọi I là trung điểm của AB
  • Khi đó CA + CB = 2CI
  • Nên CM = (1/4) × 2CI = (1/2)CI

Kết luận: M là trung điểm của CI, với I là trung điểm của AB.

Cách 2 — Dùng điểm mốc O bất kỳ

Từ MA + MB + 2MC = 0:

(OA - OM) + (OB - OM) + 2(OC - OM) = 0

OA + OB + 2OC = 4OM

OM = (1/4)(OA + OB + 2OC) = (1/4)OA + (1/4)OB + (1/2)OC

Câu b) Chứng minh OA + OB + 2OC = 4OM
Cách 1 — Từ điều kiện xác định M

Từ MA + MB + 2MC = 0:

(OA - OM) + (OB - OM) + 2(OC - OM) = 0

OA - OM + OB - OM + 2OC - 2OM = 0

OA + OB + 2OC = 4OM

Vậy: OA + OB + 2OC = 4OM (đpcm)

Cách 2 — Kiểm tra với O cụ thể

Chọn O ≡ C:

VT = CA + CB + 2CC = CA + CB + 0 = CA + CB

VP = 4CM = 4 × (1/4)(CA + CB) = CA + CB

VT = VP ✓

⚠️ Lưu ý thi: Dạng bài xác định điểm M thỏa mãn tổng vectơ bằng 0 là dạng cơ bản. Nhớ công thức tổng quát:
Nếu m₁MA₁ + m₂MA₂ + ... + mₙMAₙ = 0 thì với O bất kỳ: m₁OA₁ + m₂OA₂ + ... + mₙOAₙ = (m₁ + m₂ + ... + mₙ)OM

🎯 Ghi nhớ

  1. Tính chất kết hợp: k(ta) = (kt)a
  2. Tính chất phân phối: k(a + b) = ka + kb; (k + t)a = ka + ta
  3. Trung điểm I của AB: IA + IB = 0 ⟺ OA + OB = 2OI
  4. Trọng tâm G của tam giác ABC: GA + GB + GC = 0 ⟺ OA + OB + OC = 3OG
  5. Điểm M thỏa mãn tổng có trọng số: Nếu ΣmᵢMAᵢ = 0 thì ΣmᵢOAᵢ = (Σmᵢ)OM
Chế độ đọc sách →