Giải Toán 10 - Tập 1 trang 60
Lời giải chi tiết SGK Lớp 10 · Môn ToĂ¡n · Trang 60–61
🔍 Kiến thức cần nhớ
Điều kiện cân bằng lực
- Khi một vật ở trạng thái cân bằng dưới tác dụng của nhiều lực, tổng các vectơ lực bằng vectơ không: F₁ + F₂ + ... + Fₙ = 0
- Với 3 lực cân bằng: F₁ + F₂ + F₃ = 0 ⟹ F₃ = -(F₁ + F₂)
Quy tắc hình bình hành
- Độ lớn của tổng hai vectơ: |F₁ + F₂|² = |F₁|² + |F₂|² + 2|F₁||F₂|cos(α)
- Trong đó α là góc giữa hai vectơ F₁ và F₂
Tọa độ của vectơ (Bài 10)
- Trục tọa độ (trục số): đường thẳng xác định điểm gốc O và vectơ đơn vị i có độ dài bằng 1
- Điểm M biểu diễn số x₀ trên trục thì OM = x₀ × i
⚙️ Bài tập
Câu 4.15
Đề bài: Chất điểm A chịu tác động của ba lực F₁, F₂, F₃ như Hình 4.30 và ở trạng thái cân bằng (tức là F₁ + F₂ + F₃ = 0). Tính độ lớn của các lực F₂, F₃, biết F₁ có độ lớn là 20 N.
Phân tích hình vẽ:
- F₁ hướng xuống dưới (theo phương thẳng đứng)
- F₂ hướng sang phải (theo phương ngang)
- F₃ tạo với F₂ một góc 120°
- Góc giữa F₁ và F₂ là 90°
Cách 1 — Phương pháp phân tích vectơ theo phương
Bước 1: Chọn hệ trục tọa độ
- Trục Ox: phương ngang, chiều dương sang phải
- Trục Oy: phương thẳng đứng, chiều dương hướng lên
Bước 2: Phân tích các lực theo hai phương
Từ hình vẽ:
- F₁ hướng xuống ⟹ F₁ có thành phần: (0; -F₁) = (0; -20)
- F₂ hướng sang phải ⟹ F₂ có thành phần: (F₂; 0)
- F₃ tạo với phương ngang (F₂) một góc 120°
Góc giữa F₃ và trục Ox dương là 120°, nên:
- Thành phần theo Ox: F₃ₓ = |F₃| × cos(120°) = |F₃| × (-1/2) = -|F₃|/2
- Thành phần theo Oy: F₃ᵧ = |F₃| × sin(120°) = |F₃| × (√3/2) = |F₃|√3/2
Bước 3: Áp dụng điều kiện cân bằng
F₁ + F₂ + F₃ = 0
Theo phương Ox:
0 + |F₂| + (-|F₃|/2) = 0
⟹ |F₂| = |F₃|/2 ... (1)
Theo phương Oy:
-20 + 0 + |F₃|√3/2 = 0
⟹ |F₃|√3/2 = 20
⟹ |F₃| = 40/√3 = 40√3/3 ≈ 23,09 N
Bước 4: Tính |F₂|
Từ (1): |F₂| = |F₃|/2 = (40√3/3)/2 = 20√3/3 ≈ 11,55 N
Kết quả:
- |F₂| = 20√3/3 ≈ 11,55 N
- |F₃| = 40√3/3 ≈ 23,09 N
Cách 2 — Phương pháp định lý hàm số sin trong tam giác lực
Bước 1: Xây dựng tam giác lực
Vì F₁ + F₂ + F₃ = 0, ta có thể dựng tam giác lực bằng cách đặt các vectơ nối đuôi nhau.
Bước 2: Xác định các góc trong tam giác lực
Từ hình vẽ:
- Góc giữa F₁ và F₂ = 90°
- Góc giữa F₂ và F₃ = 120°
- Góc giữa F₃ và F₁ = 360° - 90° - 120° = 150°
Trong tam giác lực, góc đối diện với mỗi cạnh là góc bù của góc giữa hai vectơ kia:
- Góc đối diện F₁: 180° - 120° = 60°
- Góc đối diện F₂: 180° - 150° = 30°
- Góc đối diện F₃: 180° - 90° = 90°
Bước 3: Áp dụng định lý sin
|F₁|/sin(60°) = |F₂|/sin(30°) = |F₃|/sin(90°)
Ta có:
- sin(60°) = √3/2
- sin(30°) = 1/2
- sin(90°) = 1
Từ đó:
20/(√3/2) = |F₂|/(1/2) = |F₃|/1
⟹ 40/√3 = |F₃|
⟹ |F₃| = 40√3/3 ≈ 23,09 N
⟹ |F₂| = (40/√3) × (1/2) = 20/√3
⟹ |F₂| = 20√3/3 ≈ 11,55 N
💡 Mẹo bấm máy (Casio fx-580VN X): - Tính 40√3/3: Bấm40×√3÷3=→ 23,094... - Tính 20√3/3: Bấm20×√3÷3=→ 11,547...
⚠️ Lưu ý thi: - Dạng bài cân bằng 3 lực rất hay gặp trong đề thi - Cách 2 (định lý sin) nhanh hơn khi đã xác định được các góc trong tam giác lực - Cần nhớ: góc trong tam giác lực = 180° - góc giữa hai vectơ tương ứng
Hoạt động 1 (HĐ1) - Trang 60
Đề bài: Trên trục số Ox, gọi A là điểm biểu diễn số 1 và đặt OA = i (H.4.32a). Gọi M là điểm biểu diễn số 4, N là điểm biểu diễn số -3/2. Hãy biểu thị mỗi vectơ OM, ON theo vectơ i.
Cách 1 — Phương pháp cơ bản (theo định nghĩa)
Bước 1: Xác định vị trí các điểm trên trục số
- O ở vị trí 0 (gốc tọa độ)
- A ở vị trí 1, và OA = i (vectơ đơn vị)
- M ở vị trí 4
- N ở vị trí -3/2
Bước 2: Biểu diễn vectơ OM
Điểm M biểu diễn số 4, nghĩa là M cách O một khoảng 4 đơn vị về phía dương.
Vì OA = i biểu diễn 1 đơn vị, nên:
OM = 4 × i = 4i
Bước 3: Biểu diễn vectơ ON
Điểm N biểu diễn số -3/2, nghĩa là N cách O một khoảng 3/2 đơn vị về phía âm.
Theo quy tắc: OM = x₀ × i khi M biểu diễn số x₀
Do đó: ON = (-3/2) × i = -3i/2
Cách 2 — Phương pháp trực tiếp (áp dụng công thức)
Theo định nghĩa trong sách giáo khoa:
Điểm M trên trục biểu diễn số x₀ nếu OM = x₀ × i
Áp dụng trực tiếp:
- M biểu diễn số 4 ⟹ OM = 4i
- N biểu diễn số -3/2 ⟹ ON = -3i/2 (hoặc viết -1,5i)
Kết quả:
- OM = 4i
- ON = -3/2 × i = -3i/2
💡 Mẹo nhớ: - Vectơ từ gốc O đến điểm biểu diễn số x₀ luôn bằng x₀ nhân với vectơ đơn vị i - Dấu âm cho biết vectơ ngược hướng với vectơ đơn vị i
🎯 Ghi nhớ: - Bài toán cân bằng lực: F₁ + F₂ + F₃ = 0 → dùng phân tích thành phần hoặc định lý sin - Trên trục số: điểm M biểu diễn số x₀ thì OM = x₀ × i - Vectơ đơn vị i có độ dài bằng 1 và cùng hướng với chiều dương của trục