Giải Toán 10 - Tập 1 trang 62

🔍 Kiến thức cần nhớ

1. Tọa độ của vectơ

• Với mỗi vectơ u trên mặt phẳng Oxy, có duy nhất cặp số (x₀; y₀) sao cho u = x₀i + y₀j
• Ta viết u = (x₀; y₀) hoặc u(x₀; y₀)
• x₀ gọi là hoành độ, y₀ gọi là tung độ của u

2. Hai vectơ bằng nhau

u(x; y) = v(x'; y') ⟺ x = x' và y = y'

3. Biểu thức tọa độ của các phép toán vectơ

Cho u = (x; y) và v = (x'; y'):

• u + v = (x + x'; y + y')
• u - v = (x - x'; y - y')
• ku = (kx; ky) với k ∈ ℝ

4. Điều kiện cùng phương

Vectơ v(x'; y') cùng phương với vectơ u(x; y) ≠ 0 khi và chỉ khi tồn tại số k sao cho x' = kx, y' = ky (hay x'/x = y'/y nếu xy ≠ 0)

5. Độ dài vectơ

Nếu điểm M có tọa độ (x; y) thì vectơ OM có tọa độ (x; y) và |OM| = √(x² + y²)

---

⚙️ Bài tập

---

HĐ2. (Trang 61)

Đề bài: Trong Hình 4.33:

a) Hãy biểu thị mỗi vectơ OM, ON theo các vectơ i, j.

b) Hãy biểu thị vectơ MN theo các vectơ OM, ON, từ đó biểu thị vectơ MN theo các vectơ i, j.

(Hình 4.33: M(3; 5), N(-2; 5/2))

---

Cách 1 — Phương pháp cơ bản (đọc tọa độ từ đồ thị)

a) Biểu thị vectơ OM, ON theo i, j:

Từ hình vẽ, ta đọc được tọa độ các điểm:

• Điểm M có tọa độ (3; 5)
• Điểm N có tọa độ (-2; 5/2)

Do đó:

• OM = 3i + 5j
• ON = -2i + (5/2)j

b) Biểu thị vectơ MN:

Theo quy tắc hiệu:

MN = ON - OM

Thay vào:

MN = (-2i + (5/2)j) - (3i + 5j)

MN = (-2 - 3)i + (5/2 - 5)j

MN = -5i + (-5/2)j

MN = -5i - (5/2)j

---

Cách 2 — Phương pháp tọa độ

a) Vectơ OM có tọa độ bằng tọa độ điểm M: OM = (3; 5) = 3i + 5j

Vectơ ON có tọa độ bằng tọa độ điểm N: ON = (-2; 5/2) = -2i + (5/2)j

b) Tọa độ vectơ MN = ON - OM = (-2 - 3; 5/2 - 5) = (-5; -5/2)

Vậy MN = -5i - (5/2)j

💡 Mẹo nhớ: Vectơ AB = OB - OA (quy tắc hiệu - "điểm cuối trừ điểm đầu")

---

Luyện tập 1. (Trang 61)

Đề bài: Tìm tọa độ của 0 (vectơ không).

---

Cách 1 — Từ định nghĩa

Vectơ không 0 là vectơ có điểm đầu và điểm cuối trùng nhau.

Ta có: 0 = 0·i + 0·j

Vậy 0 = (0; 0)

---

Cách 2 — Sử dụng tính chất

Với mọi vectơ u, ta có u + 0 = u

Giả sử 0 = (a; b) và u = (x; y)

Thì u + 0 = (x + a; y + b) = (x; y)

Suy ra: x + a = x và y + b = y

Do đó: a = 0 và b = 0

Vậy 0 = (0; 0)

🎯 Ghi nhớ: Vectơ không có tọa độ là (0; 0)

---

HĐ3. (Trang 61)

Đề bài: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho u = (2; -3), v = (4; 1), a = (8; -12).

a) Hãy biểu thị mỗi vectơ u, v, a theo các vectơ i, j.

b) Tìm tọa độ của các vectơ u + v, 4u.
c) Tìm mối liên hệ giữa hai vectơ u, a.

---

Cách 1 — Phương pháp cơ bản

a) Biểu thị theo i, j:

• u = (2; -3) = 2i + (-3)j = 2i - 3j
• v = (4; 1) = 4i + 1j = 4i + j
• a = (8; -12) = 8i + (-12)j = 8i - 12j

b) Tìm tọa độ u + v và 4u:

• u + v = (2; -3) + (4; 1) = (2 + 4; -3 + 1) = (6; -2)

• 4u = 4·(2; -3) = (4·2; 4·(-3)) = (8; -12)

c) Mối liên hệ giữa u và a:

Ta thấy: a = (8; -12) = (4·2; 4·(-3)) = 4·(2; -3) = 4u

Vậy a = 4u, hay hai vectơ a và u cùng phương (và cùng hướng).

---

Cách 2 — Kiểm tra cùng phương bằng tỉ số

c) Để kiểm tra u và a có cùng phương không, ta kiểm tra tỉ số tọa độ:

u = (2; -3), a = (8; -12)

Ta có: 8/2 = 4 và (-12)/(-3) = 4

Vì hai tỉ số bằng nhau nên u và a cùng phương.

Hơn nữa: a = 4u (với k = 4 > 0 nên cùng hướng)

⚠️ Lưu ý thi: Khi kiểm tra cùng phương, cần đảm bảo tỉ số x'/x = y'/y. Nếu x = 0 hoặc y = 0 thì kiểm tra riêng từng thành phần.

---

HĐ4. (Trang 62)

Đề bài: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho điểm M(x₀; y₀). Gọi P, Q tương ứng là hình chiếu vuông góc của M trên trục hoành Ox và trục tung Oy (H.4.35).

a) Trên trục Ox, điểm P biểu diễn số nào? Biểu thị OP theo i và tính độ dài của OP theo x₀.

b) Trên trục Oy, điểm Q biểu diễn số nào? Biểu thị OQ theo j và tính độ dài của OQ theo y₀.

c) Dựa vào hình chữ nhật OPMQ, tính độ dài của OM theo x₀, y₀.

d) Biểu thị OM theo các vectơ i, j.

---

Cách 1 — Phương pháp hình học

a) Điểm P trên trục Ox:

P là hình chiếu vuông góc của M(x₀; y₀) trên trục Ox nên P có tọa độ (x₀; 0).

→ Điểm P biểu diễn số x₀ trên trục Ox.

Biểu thị: OP = x₀i + 0j = x₀i

Độ dài: |OP| = |x₀|

b) Điểm Q trên trục Oy:

Q là hình chiếu vuông góc của M(x₀; y₀) trên trục Oy nên Q có tọa độ (0; y₀).

→ Điểm Q biểu diễn số y₀ trên trục Oy.

Biểu thị: OQ = 0i + y₀j = y₀j

Độ dài: |OQ| = |y₀|

c) Độ dài OM từ hình chữ nhật OPMQ:

Trong hình chữ nhật OPMQ, đường chéo OM có độ dài:

|OM| = √(OP² + PM²) = √(OP² + OQ²)

|OM| = √(x₀² + y₀²)

d) Biểu thị OM theo i, j:

Theo quy tắc hình bình hành (hoặc quy tắc cộng vectơ):

OM = OP + PM = OP + OQ = x₀i + y₀j

---

Cách 2 — Phương pháp tọa độ trực tiếp

Vì M có tọa độ (x₀; y₀) và O là gốc tọa độ (0; 0), nên:

OM = (x₀ - 0; y₀ - 0) = (x₀; y₀) = x₀i + y₀j

Độ dài: |OM| = √(x₀² + y₀²)

💡 Mẹo nhớ: Độ dài vectơ u = (x; y) là |u| = √(x² + y²) (công thức Pythagore)

💡 Mẹo bấm máy: Casio fx-580VN X có thể tính √(a² + b²) trực tiếp bằng cách nhập: √(a² + b²) hoặc dùng chức năng VECTOR để tính độ dài.

---

HĐ5. (Trang 62)

Đề bài: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho các điểm M(x; y) và N(x'; y').
a) Tìm tọa độ của các vectơ OM, ON.

b) Biểu thị vectơ MN theo các vectơ OM, ON và tìm tọa độ của MN.
c) Tìm độ dài của vectơ MN.

---

Cách 1 — Phương pháp cơ bản

a) Tọa độ của OM và ON:

Vì O là gốc tọa độ (0; 0):

• OM = (x - 0; y - 0) = (x; y)
• ON = (x' - 0; y' - 0) = (x'; y')

b) Biểu thị MN và tìm tọa độ:

Theo quy tắc hiệu:

MN = ON - OM

Tọa độ: MN = (x'; y') - (x; y) = (x' - x; y' - y)

c) Độ dài vectơ MN:

|MN| = √((x' - x)² + (y' - y)²)

---

Cách 2 — Công thức tổng quát

Cho hai điểm A(x₁; y₁) và B(x₂; y₂), ta có:

• Vectơ AB = (x₂ - x₁; y₂ - y₁)
• Độ dài |AB| = √((x₂ - x₁)² + (y₂ - y₁)²)

Áp dụng với M(x; y) và N(x'; y'):

• MN = (x' - x; y' - y)
• |MN| = √((x' - x)² + (y' - y)²)

🎯 Ghi nhớ: - Vectơ AB = (xB - xA; yB - yA) — "tọa độ điểm cuối trừ tọa độ điểm đầu" - Độ dài (khoảng cách) AB = √((xB - xA)² + (yB - yA)²)

⚠️ Lưu ý thi: Đây là công thức khoảng cách giữa hai điểm, rất hay xuất hiện trong các bài thi. Cần nhớ chính xác thứ tự trừ và dấu bình phương.

💡 Mẹo bấm máy: Trên Casio fx-580VN X, để tính khoảng cách MN: Nhập: √((x' - x)² + (y' - y)²) với các giá trị cụ thể.

---

🎯 Tổng kết kiến thức trang 61-62