Giải Toán 10 - Tập 1 trang 64
Lời giải chi tiết SGK Lớp 10 · Môn ToĂ¡n · Trang 64–65
Hai trang ảnh em gửi thực ra mang số trang 63 và 64 (góc dưới), nằm trong bài về tọa độ của vectơ và điểm trong mặt phẳng $Oxy$. Mình sẽ giải toàn bộ nội dung có trên trang nhé.
Tóm tắt lý thuyết
Với hai điểm $M(x; y)$ và $N(x'; y')$:
- Tọa độ vectơ: $\overrightarrow{MN} = (x' - x;\ y' - y)$
- Khoảng cách: $MN = \left|\overrightarrow{MN}\right| = \sqrt{(x'-x)^2 + (y'-y)^2}$
Hai công thức quan trọng (phần Chú ý):
- Trung điểm $M$ của đoạn $AB$: $\left(\dfrac{x_A + x_B}{2};\ \dfrac{y_A + y_B}{2}\right)$
- Trọng tâm $G$ của tam giác $ABC$: $\left(\dfrac{x_A + x_B + x_C}{3};\ \dfrac{y_A + y_B + y_C}{3}\right)$
Ví dụ 3: Tọa độ vectơ, khoảng cách và hình thoi
Đề: Cho ba điểm $A(1; -2)$, $B(3; 2)$, $C(7; 4)$.
a) Tìm tọa độ $\overrightarrow{AB}$, $\overrightarrow{BC}$. So sánh khoảng cách từ $B$ tới $A$ và $C$.
b) Ba điểm $A, B, C$ có thẳng hàng không?
c) Tìm điểm $D(x; y)$ để $ABCD$ là hình thoi.
Lời giải
a) Tính tọa độ vectơ:
$$\overrightarrow{AB} = (3-1;\ 2-(-2)) = (2;\ 4)$$
$$\overrightarrow{BC} = (7-3;\ 4-2) = (4;\ 2)$$
Khoảng cách:
$$AB = \sqrt{2^2 + 4^2} = 2\sqrt{5}; \qquad BC = \sqrt{4^2 + 2^2} = 2\sqrt{5}$$
Vậy hai khoảng cách này bằng nhau.
b) Xét hai vectơ $\overrightarrow{AB} = (2; 4)$ và $\overrightarrow{BC} = (4; 2)$. Vì
$$\frac{2}{4} \neq \frac{4}{2}$$
nên hai vectơ không cùng phương, do đó $A, B, C$ không thẳng hàng.
c) Vì $A, B, C$ không thẳng hàng và $BA = BC$ (tam giác cân tại $B$), nên $ABCD$ là hình thoi khi và chỉ khi $\overrightarrow{AD} = \overrightarrow{BC}$.
Ta có $\overrightarrow{AD} = (x - 1;\ y + 2)$ và $\overrightarrow{BC} = (4; 2)$, suy ra:
$$\begin{cases} x - 1 = 4 \\ y + 2 = 2 \end{cases} \Leftrightarrow \begin{cases} x = 5 \\ y = 0 \end{cases}$$
Vậy $D(5; 0)$.
Luyện tập 2: Thẳng hàng và hình bình hành
Đề: Cho hai điểm $A(2; 1)$, $B(3; 3)$.
a) Các điểm $O, A, B$ có thẳng hàng không?
b) Tìm điểm $M(x; y)$ để $OABM$ là hình bình hành.
Lời giải
a) Với $O(0; 0)$:
$$\overrightarrow{OA} = (2; 1), \qquad \overrightarrow{OB} = (3; 3)$$
Xét tỉ lệ: $\dfrac{2}{3} \neq \dfrac{1}{3}$ nên hai vectơ không cùng phương. Vậy $O, A, B$ không thẳng hàng.
b) $OABM$ là hình bình hành khi và chỉ khi $\overrightarrow{OA} = \overrightarrow{MB}$ (cặp cạnh đối song song và bằng nhau, đi theo thứ tự đỉnh $O \to A \to B \to M$).
Ta có $\overrightarrow{MB} = (3 - x;\ 3 - y)$, nên:
$$\begin{cases} 3 - x = 2 \\ 3 - y = 1 \end{cases} \Leftrightarrow \begin{cases} x = 1 \\ y = 2 \end{cases}$$
Vậy $M(1; 2)$.
Kiểm tra nhanh: $\overrightarrow{OM} = (1;2)$ và $\overrightarrow{AB} = (1;2)$, đúng là $\overrightarrow{OM} = \overrightarrow{AB}$, khẳng định $OABM$ là hình bình hành.
Ví dụ 4: Trung điểm và trọng tâm
Đề: Cho ba điểm không thẳng hàng $A(1; 3)$, $B(-2; 6)$, $C(5; 1)$.
a) Tìm tọa độ trung điểm $I$ của đoạn $AB$.
b) Tìm tọa độ trọng tâm $G$ của tam giác $ABC$.
Lời giải
a) Điểm $I(x; y)$ là trung điểm $AB$ khi và chỉ khi $\overrightarrow{IA} + \overrightarrow{IB} = \vec{0}$.
Ta có:
$$\overrightarrow{IA} = (1 - x;\ 3 - y), \qquad \overrightarrow{IB} = (-2 - x;\ 6 - y)$$
$$\overrightarrow{IA} + \overrightarrow{IB} = (-1 - 2x;\ 9 - 2y)$$
Suy ra:
$$\begin{cases} -1 - 2x = 0 \\ 9 - 2y = 0 \end{cases} \Leftrightarrow \begin{cases} x = -\dfrac{1}{2} \\ y = \dfrac{9}{2} \end{cases}$$
Vậy $I\left(-\dfrac{1}{2};\ \dfrac{9}{2}\right)$.
b) Điểm $G(x; y)$ là trọng tâm tam giác $ABC$ khi và chỉ khi $\overrightarrow{GA} + \overrightarrow{GB} + \overrightarrow{GC} = \vec{0}$.
Ta có:
$$\overrightarrow{GA} = (1 - x;\ 3 - y), \quad \overrightarrow{GB} = (-2 - x;\ 6 - y), \quad \overrightarrow{GC} = (5 - x;\ 1 - y)$$
$$\overrightarrow{GA} + \overrightarrow{GB} + \overrightarrow{GC} = (4 - 3x;\ 10 - 3y)$$
Suy ra:
$$\begin{cases} 4 - 3x = 0 \\ 10 - 3y = 0 \end{cases} \Leftrightarrow \begin{cases} x = \dfrac{4}{3} \\ y = \dfrac{10}{3} \end{cases}$$
Vậy $G\left(\dfrac{4}{3};\ \dfrac{10}{3}\right)$.
Lưu ý: ta có thể áp dụng trực tiếp công thức ở phần Chú ý cho nhanh. Ví dụ trọng tâm: $x_G = \dfrac{1 + (-2) + 5}{3} = \dfrac{4}{3}$, $y_G = \dfrac{3 + 6 + 1}{3} = \dfrac{10}{3}$, ra cùng kết quả.
Vận dụng: Xác định tâm bão lúc 9 giờ
Đề: Trong 12 giờ, tâm bão di chuyển thẳng đều từ $A(13{,}8;\ 108{,}3)$ tới $B(14{,}1;\ 106{,}3)$. Tìm tọa độ $M(x; y)$ của tâm bão tại thời điểm 9 giờ.
Lời giải
Vì bão di chuyển thẳng đều trong 12 giờ, đến thời điểm 9 giờ nó đi được $\dfrac{9}{12} = \dfrac{3}{4}$ quãng đường $AB$. Do đó:
$$\overrightarrow{AM} = \frac{3}{4}\,\overrightarrow{AB}$$
Tính $\overrightarrow{AB} = (14{,}1 - 13{,}8;\ 106{,}3 - 108{,}3) = (0{,}3;\ -2)$.
Suy ra:
$$\overrightarrow{AM} = \frac{3}{4}(0{,}3;\ -2) = (0{,}225;\ -1{,}5)$$
Tọa độ $M$:
$$x = x_A + 0{,}225 = 13{,}8 + 0{,}225 = 14{,}025$$
$$y = y_A - 1{,}5 = 108{,}3 - 1{,}5 = 106{,}8$$
Vậy tâm bão lúc 9 giờ ở vị trí $M(14{,}025;\ 106{,}8)$.
Phần Chú ý cuối trang chỉ là ghi chú về phép chiếu bản đồ: do Trái Đất cong nên khi vẽ lên mặt phẳng luôn có sai số, phạm vi càng hẹp thì càng chính xác. Trong bài này ta chỉ xét đoạn đường ngắn của tâm bão nên có thể coi như chuyển động thẳng.