Giải Toán 10 - Tập 1 trang 80

Hai trang này thuộc bài "Các số đặc trưng đo xu thế trung tâm" – phần Số trung bình, Trung vị và Tứ phân vị.

Tóm tắt lý thuyết

Số trung bình: là trung bình cộng các giá trị trong mẫu, cho biết vị trí trung tâm và dùng để đại diện cho mẫu số liệu.

Trung vị (ký hiệu thường là $M_e$):

• Sắp xếp số liệu theo thứ tự không giảm.
• Nếu số giá trị $n$ lẻ: trung vị là giá trị chính giữa.
• Nếu $n$ chẵn: trung vị là trung bình cộng của hai giá trị chính giữa.
• Trung vị không bị ảnh hưởng bởi giá trị bất thường, nên khi mẫu có giá trị quá lớn hoặc quá bé thì dùng trung vị thay cho số trung bình.

Tứ phân vị $Q_1, Q_2, Q_3$: chia mẫu đã sắp xếp thành 4 phần bằng nhau (mỗi phần 25% số liệu).

• $Q_2$ chính là trung vị của cả mẫu.
• $Q_1$ là trung vị của nửa số liệu bên trái $Q_2$.
• $Q_3$ là trung vị của nửa số liệu bên phải $Q_2$.
• Nếu $n$ lẻ thì khi tìm $Q_1, Q_3$ ta bỏ giá trị $Q_2$ ra.

---

Bài Luyện tập 1: Thời gian chạy 100 m

Đề: Bảng thời gian chạy cự li 100 m (giây):

Tính thời gian chạy trung bình.

Lời giải:

Tổng số bạn: $n = 5 + 7 + 10 + 8 + 6 = 36$ (bạn).

Thời gian chạy trung bình:

$$\bar{x} = \frac{12\cdot 5 + 13\cdot 7 + 14\cdot 10 + 15\cdot 8 + 16\cdot 6}{36} = \frac{60 + 91 + 140 + 120 + 96}{36} = \frac{507}{36} \approx 14{,}08 \text{ (giây)}.$$

Vậy thời gian chạy trung bình cự li 100 m của cả lớp khoảng 14,08 giây.

---

Bài HĐ3: Thu nhập trong công ty

Đề: Công ty gồm 1 giám đốc thu nhập 20 triệu/tháng và 5 nhân viên thu nhập 4 triệu/tháng.
a) Tính thu nhập trung bình của các thành viên.
b) Thu nhập trung bình có phản ánh đúng thu nhập của nhân viên không?

Lời giải:

a) Tổng số thành viên là 6. Thu nhập trung bình:

$$\bar{x} = \frac{20 + 4\cdot 5}{6} = \frac{20 + 20}{6} = \frac{40}{6} \approx 6{,}67 \text{ (triệu đồng)}.$$

b) Không phản ánh đúng. Thực tế 5/6 thành viên (nhân viên) chỉ nhận 4 triệu, nhưng số trung bình lại là 6,67 triệu – cao hơn hẳn lương nhân viên. Nguyên nhân là lương giám đốc (20 triệu) là giá trị bất thường, kéo số trung bình lên cao. Trường hợp này nên dùng trung vị để đại diện.

---

Bài Ví dụ 2 (giải thích)

Đề: Tìm trung vị cho lương của giám đốc và nhân viên ở HĐ3.

Lời giải:

Sắp xếp theo thứ tự không giảm: $4\ \ 4\ \ \underline{4\ \ 4}\ \ 4\ \ 20$.

Vì $n = 6$ chẵn, trung vị là trung bình cộng hai giá trị chính giữa (vị trí thứ 3 và 4):

$$M_e = \frac{4 + 4}{2} = 4 \text{ (triệu đồng)}.$$

Ở đây trung vị bằng 4 phản ánh đúng thu nhập của đa số thành viên. Dù lương giám đốc đổi thành 30, 40, 50… thì trung vị vẫn là 4, còn số trung bình thay đổi liên tục – điều này cho thấy trung vị không bị ảnh hưởng bởi giá trị bất thường.

---

Bài Luyện tập 2: Chiều dài 7 con cá voi

Đề: Chiều dài (feet) của 7 con cá voi trưởng thành:
$$48\quad 53\quad 51\quad 31\quad 53\quad 112\quad 52.$$
Tìm số trung bình và trung vị. Số nào đại diện tốt hơn?

Lời giải:

Số trung bình:

$$\bar{x} = \frac{48 + 53 + 51 + 31 + 53 + 112 + 52}{7} = \frac{400}{7} \approx 57{,}14 \text{ (feet)}.$$

Sắp xếp theo thứ tự không giảm:

$$31\quad 48\quad 51\quad \mathbf{52}\quad 53\quad 53\quad 112.$$

Vì $n = 7$ lẻ nên trung vị là giá trị chính giữa (vị trí thứ 4):

$$M_e = 52 \text{ (feet)}.$$

So sánh: giá trị 112 là bất thường (lớn hơn hẳn các con còn lại), nó kéo số trung bình lên 57,14 – cao hơn chiều dài của 6/7 con. Vì vậy trung vị 52 đại diện tốt hơn cho chiều dài của 7 con cá voi.

---

Bài HĐ4: Phân loại 12 thí sinh

Đề: Điểm (thang 100) của 12 thí sinh cao điểm nhất:
$$58\ \ 74\ \ 92\ \ 81\ \ 97\ \ 88\ \ 75\ \ 69\ \ 87\ \ 69\ \ 75\ \ 77.$$
Mỗi giải Nhất, Nhì, Ba, Tư trao cho 25% số thí sinh (3 thí sinh). Hãy xác định các ngưỡng điểm để phân loại.

Lời giải:

Sắp xếp theo thứ tự không giảm:

$$58\ \ 69\ \ 69\ \ 74\ \ 75\ \ 75\ \ 77\ \ 81\ \ 87\ \ 88\ \ 92\ \ 97.$$

Với $n = 12$:

Trung vị $Q_2$ là trung bình của giá trị thứ 6 và thứ 7:

$$Q_2 = \frac{75 + 77}{2} = 76.$$

Nửa bên trái (6 giá trị): $58\ 69\ 69\ 74\ 75\ 75$, nên:

$$Q_1 = \frac{69 + 74}{2} = 71{,}5.$$

Nửa bên phải (6 giá trị): $77\ 81\ 87\ 88\ 92\ 97$, nên:

$$Q_3 = \frac{87 + 88}{2} = 87{,}5.$$

Ý nghĩa phân loại (mỗi nhóm 25%):

• Giải Nhất: điểm từ $Q_3 = 87{,}5$ trở lên → gồm 88, 92, 97.
• Giải Nhì: điểm từ $Q_2 = 76$ đến dưới $Q_3$ → gồm 77, 81, 87.
• Giải Ba: điểm từ $Q_1 = 71{,}5$ đến dưới $Q_2$ → gồm 74, 75, 75.
• Giải Tư: điểm dưới $Q_1$ → gồm 58, 69, 69.

Vậy ba ngưỡng điểm cần dùng là $Q_1 = 71{,}5$, $Q_2 = 76$, $Q_3 = 87{,}5$.

---

Bài Ví dụ 3 (giải thích)

Đề: Hàm lượng Natri (mg) trong 100 g của 20 loại ngũ cốc:
$$0\ \ 340\ \ 70\ \ 140\ \ 200\ \ 180\ \ 210\ \ 150\ \ 100\ \ 130$$
$$140\ \ 180\ \ 190\ \ 160\ \ 290\ \ 50\ \ 220\ \ 180\ \ 200\ \ 210.$$
Tìm các tứ phân vị.

Lời giải:

Sắp xếp theo thứ tự không giảm ($n = 20$):

$$0\ 50\ 70\ 100\ 130\ 140\ 140\ 150\ 160\ \underline{180}\ \mid\ \underline{180}\ 180\ 190\ 200\ 200\ 210\ 210\ 220\ 290\ 340.$$

Vì $n = 20$ chẵn, $Q_2$ là trung bình hai giá trị chính giữa (thứ 10 và 11):

$$Q_2 = \frac{180 + 180}{2} = 180.$$

Nửa bên trái (10 giá trị): $0\ 50\ 70\ 100\ 130\ 140\ 140\ 150\ 160\ 180$:

$$Q_1 = \frac{130 + 140}{2} = 135.$$

Nửa bên phải (10 giá trị): $180\ 180\ 190\ 200\ 200\ 210\ 210\ 220\ 290\ 340$:

$$Q_3 = \frac{200 + 210}{2} = 205.$$

(Phần tìm $Q_3$ sách trình bày tiếp ở trang sau, mình bổ sung để bài trọn vẹn.)

Ý nghĩa: 25% loại ngũ cốc có hàm lượng Natri dưới 135 mg, 50% dưới 180 mg, và 75% dưới 205 mg trong mỗi 100 g.

---