Giải Toán 10 - Tập 1 trang 82
Lời giải chi tiết SGK Lớp 10 · Môn ToĂ¡n · Trang 82–83
🔍 Kiến thức cần nhớ
Tứ phân vị
- Q₁ (Tứ phân vị thứ nhất): Trung vị của nửa số liệu bên trái Q₂
- Q₂ (Tứ phân vị thứ hai): Trung vị của mẫu số liệu
- Q₃ (Tứ phân vị thứ ba): Trung vị của nửa số liệu bên phải Q₂
Mốt (Mode)
- Định nghĩa: Mốt của mẫu số liệu là giá trị xuất hiện với tần số lớn nhất
- Ý nghĩa: Dùng mốt để đo xu thế trung tâm khi mẫu số liệu có nhiều giá trị trùng nhau
- Lưu ý:
- Mốt có thể không duy nhất (có thể có 2 hoặc nhiều mốt)
- Khi các giá trị xuất hiện với tần số như nhau thì mẫu số liệu không có mốt
⚙️ Bài tập
Luyện tập 3
Đề bài: Bảng sau đây cho biết số lần học tiếng Anh trên Internet trong một tuần của một số học sinh lớp 10:
| Số lần | 0 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 |
|---|---|---|---|---|---|---|
| Số học sinh | 2 | 4 | 6 | 12 | 8 | 3 |
Hãy tìm các tứ phân vị cho mẫu số liệu này.
Cách 1 — Phương pháp cơ bản (liệt kê dữ liệu)
Bước 1: Xác định tổng số phần tử
Tổng số học sinh: n = 2 + 4 + 6 + 12 + 8 + 3 = 35
Bước 2: Liệt kê mẫu số liệu theo thứ tự tăng dần
Dữ liệu gồm 35 giá trị:
- Giá trị 0: xuất hiện 2 lần → vị trí 1, 2
- Giá trị 1: xuất hiện 4 lần → vị trí 3, 4, 5, 6
- Giá trị 2: xuất hiện 6 lần → vị trí 7, 8, 9, 10, 11, 12
- Giá trị 3: xuất hiện 12 lần → vị trí 13, 14, 15, 16, 17, 18, 19, 20, 21, 22, 23, 24
- Giá trị 4: xuất hiện 8 lần → vị trí 25, 26, 27, 28, 29, 30, 31, 32
- Giá trị 5: xuất hiện 3 lần → vị trí 33, 34, 35
Bước 3: Tìm Q₂ (trung vị)
Với n = 35 (lẻ), trung vị là giá trị ở vị trí thứ (35 + 1)/2 = 18
Vị trí 18 thuộc nhóm giá trị 3 (vị trí 13-24)
→ Q₂ = 3
Bước 4: Tìm Q₁
Nửa dữ liệu bên trái Q₂ gồm 17 giá trị (vị trí 1 đến 17)
Trung vị của 17 giá trị này ở vị trí (17 + 1)/2 = 9
Vị trí 9 thuộc nhóm giá trị 2 (vị trí 7-12)
→ Q₁ = 2
Bước 5: Tìm Q₃
Nửa dữ liệu bên phải Q₂ gồm 17 giá trị (vị trí 19 đến 35)
Trung vị của 17 giá trị này ở vị trí thứ 9 (tính từ vị trí 19)
Vị trí 19 + 8 = 27 thuộc nhóm giá trị 4 (vị trí 25-32)
→ Q₃ = 4
Kết luận: Q₁ = 2, Q₂ = 3, Q₃ = 4
Cách 2 — Phương pháp dùng tần số tích lũy
Bước 1: Lập bảng tần số tích lũy
| Số lần | Tần số | Tần số tích lũy |
|---|---|---|
| 0 | 2 | 2 |
| 1 | 4 | 6 |
| 2 | 6 | 12 |
| 3 | 12 | 24 |
| 4 | 8 | 32 |
| 5 | 3 | 35 |
Bước 2: Xác định vị trí các tứ phân vị
Với n = 35:
- Vị trí Q₂: (35 + 1)/2 = 18
- Vị trí Q₁: (17 + 1)/2 = 9 (trong 17 phần tử đầu)
- Vị trí Q₃: 18 + 9 = 27 (vị trí thứ 9 trong 17 phần tử sau)
Bước 3: Tra bảng tần số tích lũy
- Vị trí 9: tần số tích lũy của giá trị 1 là 6, của giá trị 2 là 12 → Q₁ = 2
- Vị trí 18: tần số tích lũy của giá trị 2 là 12, của giá trị 3 là 24 → Q₂ = 3
- Vị trí 27: tần số tích lũy của giá trị 3 là 24, của giá trị 4 là 32 → Q₃ = 4
Kết luận: Q₁ = 2, Q₂ = 3, Q₃ = 4
💡 Mẹo bấm máy (Casio fx-580VN X): - Vào MODE → STAT → 1-VAR - Nhập dữ liệu: 0 (FREQ: 2), 1 (FREQ: 4), 2 (FREQ: 6), 3 (FREQ: 12), 4 (FREQ: 8), 5 (FREQ: 3) - Bấm AC → SHIFT → STAT → Var để xem Q₁, Q₂, Q₃
HĐ5 (Hoạt động 5)
Đề bài: Một cửa hàng giày thể thao đã thống kê cỡ giày của một số khách hàng nam được chọn ngẫu nhiên cho kết quả như sau:
38, 39, 39, 38, 40, 41, 39, 39, 38, 39, 39, 40, 39, 39
a) Tính cỡ giày trung bình. Số trung bình này có ý nghĩa gì với cửa hàng không?
b) Cửa hàng nên nhập cỡ giày nào với số lượng nhiều nhất?
Câu a)
Cách 1 — Tính trực tiếp
Bước 1: Đếm số phần tử
n = 14 (có 14 giá trị)
Bước 2: Tính tổng
Tổng = 38 + 39 + 39 + 38 + 40 + 41 + 39 + 39 + 38 + 39 + 39 + 40 + 39 + 39
Tổng = 38×3 + 39×8 + 40×2 + 41×1 = 114 + 312 + 80 + 41 = 547
Bước 3: Tính trung bình
Trung bình = 547/14 ≈ 39,07
Ý nghĩa: Số trung bình 39,07 không phải là một cỡ giày thực tế (cỡ giày là số nguyên hoặc nửa số nguyên như 39, 39.5, 40). Do đó, số trung bình không có nhiều ý nghĩa thực tiễn với cửa hàng trong việc quyết định nhập hàng.
Cách 2 — Lập bảng tần số
| Cỡ giày | 38 | 39 | 40 | 41 |
|---|---|---|---|---|
| Tần số | 3 | 8 | 2 | 1 |
Trung bình = (38×3 + 39×8 + 40×2 + 41×1)/14 = 547/14 ≈ 39,07
Câu b)
Phân tích: Để xác định cỡ giày nên nhập nhiều nhất, ta cần tìm mốt của mẫu số liệu.
Bước 1: Lập bảng tần số
| Cỡ giày | 38 | 39 | 40 | 41 |
|---|---|---|---|---|
| Tần số | 3 | 8 | 2 | 1 |
Bước 2: Xác định mốt
Giá trị 39 xuất hiện nhiều nhất (8 lần)
→ Mốt = 39
Kết luận: Cửa hàng nên nhập cỡ giày 39 với số lượng nhiều nhất vì đây là cỡ giày được khách hàng mua nhiều nhất.
💡 Mẹo nhớ: Với dữ liệu về kích cỡ, số lượng sản phẩm, mốt thường có ý nghĩa thực tiễn hơn số trung bình vì phản ánh nhu cầu thực tế của khách hàng.
Vận dụng
Đề bài: Hãy tính các số đặc trưng đo xu thế trung tâm cho mẫu số liệu về điểm khảo sát của lớp A và lớp B ở đầu bài học để phân tích và so sánh hiệu quả học tập của hai phương pháp này.
Lưu ý: Đề bài yêu cầu tham khảo dữ liệu ở đầu bài học (không có trong hình ảnh). Tuy nhiên, ta có thể trình bày phương pháp chung:
Phương pháp giải:
- Tính số trung bình của lớp A và lớp B:
- x̄ = (Tổng các giá trị)/(Số phần tử)
- Tìm trung vị của mỗi lớp:
- Sắp xếp dữ liệu tăng dần
- Nếu n lẻ: trung vị = giá trị ở vị trí (n+1)/2
- Nếu n chẵn: trung vị = trung bình cộng của hai giá trị ở vị trí n/2 và n/2 + 1
- Tìm mốt của mỗi lớp:
- Giá trị xuất hiện nhiều nhất
- So sánh và kết luận:
- Lớp nào có trung bình cao hơn → phương pháp đó hiệu quả hơn về mặt tổng thể
- So sánh trung vị để đánh giá xu thế trung tâm
- Mốt cho biết điểm số phổ biến nhất
Bài 5.7
Đề bài: Tìm số trung bình, trung vị, mốt và tứ phân vị của mỗi mẫu số liệu sau đây:
Câu a)
Đề bài: Số điểm mà năm vận động viên bóng rổ ghi được trong một trận đấu: 9, 8, 15, 8, 20
Cách 1 — Phương pháp cơ bản
Bước 1: Sắp xếp dữ liệu tăng dần
8, 8, 9, 15, 20 (n = 5)
Bước 2: Tính số trung bình
x̄ = (8 + 8 + 9 + 15 + 20)/5 = 60/5 = 12
Bước 3: Tìm trung vị (Q₂)
Với n = 5 (lẻ), trung vị ở vị trí (5+1)/2 = 3
→ Trung vị Q₂ = 9
Bước 4: Tìm mốt
Giá trị 8 xuất hiện 2 lần (nhiều nhất)
→ Mốt = 8
Bước 5: Tìm Q₁ và Q₃
- Nửa trái (không tính Q₂): 8, 8 → Q₁ = (8 + 8)/2 = 8
- Nửa phải (không tính Q₂): 15, 20 → Q₃ = (15 + 20)/2 = 17,5
Kết luận:
- Số trung bình: 12
- Trung vị: 9
- Mốt: 8
- Tứ phân vị: Q₁ = 8, Q₂ = 9, Q₃ = 17,5
Cách 2 — Phương pháp nhanh
Dữ liệu đã sắp xếp: 8, 8, 9, 15, 20
- Trung bình = 60/5 = 12
- Trung vị = giá trị giữa = 9
- Mốt = 8 (xuất hiện 2 lần)
- Q₁ = trung vị của {8, 8} = 8
- Q₃ = trung vị của {15, 20} = 17,5
Câu b)
Đề bài: Giá của một số loại giày (đơn vị nghìn đồng): 350, 300, 650, 300, 450, 500, 300, 250
Cách 1 — Phương pháp cơ bản
Bước 1: Sắp xếp dữ liệu tăng dần
250, 300, 300, 300, 350, 450, 500, 650 (n = 8)
Bước 2: Tính số trung bình
x̄ = (250 + 300 + 300 + 300 + 350 + 450 + 500 + 650)/8 = 3100/8 = 387,5 (nghìn đồng)
Bước 3: Tìm trung vị (Q₂)
Với n = 8 (chẵn), trung vị = (giá trị vị trí 4 + giá trị vị trí 5)/2
Q₂ = (300 + 350)/2 = 325 (nghìn đồng)
Bước 4: Tìm mốt
Giá trị 300 xuất hiện 3 lần (nhiều nhất)
→ Mốt = 300 (nghìn đồng)
Bước 5: Tìm Q₁ và Q₃
- Nửa trái: 250, 300, 300, 300 → Q₁ = (300 + 300)/2 = 300
- Nửa phải: 350, 450, 500, 650 → Q₃ = (450 + 500)/2 = 475
Kết luận:
- Số trung bình: 387,5 nghìn đồng
- Trung vị: 325 nghìn đồng
- Mốt: 300 nghìn đồng
- Tứ phân vị: Q₁ = 300, Q₂ = 325, Q₃ = 475 (nghìn đồng)
Câu c)
Đề bài: Số kênh được chiếu của một số hãng truyền hình cáp: 36, 38, 33, 34, 32, 30, 34, 35
Cách 1 — Phương pháp cơ bản
Bước 1: Sắp xếp dữ liệu tăng dần
30, 32, 33, 34, 34, 35, 36, 38 (n = 8)
Bước 2: Tính số trung bình
x̄ = (30 + 32 + 33 + 34 + 34 + 35 + 36 + 38)/8 = 272/8 = 34
Bước 3: Tìm trung vị (Q₂)
Q₂ = (34 + 34)/2 = 34
Bước 4: Tìm mốt
Giá trị 34 xuất hiện 2 lần (nhiều nhất)
→ Mốt = 34
Bước 5: Tìm Q₁ và Q₃
- Nửa trái: 30, 32, 33, 34 → Q₁ = (32 + 33)/2 = 32,5
- Nửa phải: 34, 35, 36, 38 → Q₃ = (35 + 36)/2 = 35,5
Kết luận:
- Số trung bình: 34
- Trung vị: 34
- Mốt: 34
- Tứ phân vị: Q₁ = 32,5; Q₂ = 34; Q₃ = 35,5
💡 Nhận xét: Khi trung bình = trung vị = mốt, dữ liệu có phân bố khá đối xứng.
Bài 5.8
Đề bài: Hãy chọn số đặc trưng đo xu thế trung tâm của mỗi mẫu số liệu sau. Giải thích và tính giá trị của số đặc trưng đó.
Câu a)
Đề bài: Số mặt trăng đã biết của các hành tinh:
| Hành tinh | Thủy tinh | Kim tinh | Trái Đất | Hỏa tinh | Mộc tinh | Thổ tinh | Thiên Vương tinh | Hải Vương tinh |
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| Số mặt trăng | 0 | 0 | 1 | 2 | 63 | 34 | 27 | 13 |
Phân tích và giải
Bước 1: Sắp xếp dữ liệu
0, 0, 1, 2, 13, 27, 34, 63 (n = 8)
Bước 2: Tính các số đặc trưng
- Trung bình: x̄ = (0 + 0 + 1 + 2 + 13 + 27 + 34 + 63)/8 = 140/8 = 17,5
- Trung vị: Q₂ = (2 + 13)/2 = 7,5
- Mốt: Giá trị 0 xuất hiện 2 lần → Mốt = 0
Bước 3: Chọn số đặc trưng phù hợp
Chọn: Trung vị = 7,5
Giải thích:
- Dữ liệu có phân bố không đối xứng với giá trị 63 (Mộc tinh) rất lớn so với các giá trị khác → đây là giá trị ngoại lai (outlier)
- Trung bình = 17,5 bị ảnh hưởng nhiều bởi giá trị ngoại lai này
- Mốt = 0 không đại diện cho xu thế trung tâm vì chỉ có 2/8 hành tinh
- Trung vị = 7,5 phản ánh tốt hơn xu thế trung tâm vì không bị ảnh hưởng bởi giá trị cực đoan
Câu b)
Đề bài: Số đường chuyền thành công trong một trận đấu của một số cầu thủ bóng đá: 32, 24, 20, 14, 23
Phân tích và giải
Bước 1: Sắp xếp dữ liệu
14, 20, 23, 24, 32 (n = 5)
Bước 2: Tính các số đặc trưng
- Trung bình: x̄ = (14 + 20 + 23 + 24 + 32)/5 = 113/5 = 22,6
- Trung vị: Vị trí (5+1)/2 = 3 → Trung vị = 23
- Mốt: Không có giá trị nào lặp lại → Không có mốt
Bước 3: Chọn số đặc trưng phù hợp
Chọn: Số trung bình = 22,6 hoặc Trung vị = 23
Giải thích:
- Dữ liệu không có giá trị ngoại lai rõ rệt
- Phân bố tương đối đều
- Cả trung bình (22,6) và trung vị (23) đều phản ánh tốt xu thế trung tâm
- Không có mốt nên không thể dùng mốt
Câu c)
Đề bài: Chỉ số IQ của một nhóm học sinh: 60, 72, 63, 83, 68, 74, 90, 86, 74, 80
Phân tích và giải
Bước 1: Sắp xếp dữ liệu
60, 63, 68, 72, 74, 74, 80, 83, 86, 90 (n = 10)
Bước 2: Tính các số đặc trưng
- Trung bình: x̄ = (60 + 63 + 68 + 72 + 74 + 74 + 80 + 83 + 86 + 90)/10 = 750/10 = 75
- Trung vị: Q₂ = (74 + 74)/2 = 74
- Mốt: Giá trị 74 xuất hiện 2 lần → Mốt = 74
Bước 3: Chọn số đặc trưng phù hợp
Chọn: Số trung bình = 75 hoặc Trung vị = 74
Giải thích:
- Dữ liệu IQ thường có phân bố chuẩn
- Không có giá trị ngoại lai đáng kể
- Trung bình = 75 và trung vị = 74 gần nhau → dữ liệu phân bố khá đối xứng
- Số trung bình thường được dùng phổ biến nhất cho dữ liệu IQ
Câu d)
Đề bài: Các sai số trong một phép đo: 10, 15, 18, 15, 14, 13, 42, 15, 12, 14, 42
Phân tích và giải
Bước 1: Sắp xếp dữ liệu
10, 12, 13, 14, 14, 15, 15, 15, 18, 42, 42 (n = 11)
Bước 2: Tính các số đặc trưng
- Trung bình: x̄ = (10 + 12 + 13 + 14 + 14 + 15 + 15 + 15 + 18 + 42 + 42)/11 = 210/11 ≈ 19,09
- Trung vị: Vị trí (11+1)/2 = 6 → Trung vị = 15
- Mốt: Giá trị 15 xuất hiện 3 lần (nhiều nhất) → Mốt = 15
Bước 3: Chọn số đặc trưng phù hợp
Chọn: Trung vị = 15 hoặc Mốt = 15
Giải thích:
- Dữ liệu có 2 giá trị ngoại lai: 42 và 42 (lớn hơn nhiều so với các giá trị khác)
- Trung bình = 19,09 bị kéo lên bởi các giá trị 42
- Trung vị = 15 và Mốt = 15 không bị ảnh hưởng bởi giá trị ngoại lai
- Trong phép đo, sai số lớn (42) có thể do lỗi đo lường → nên dùng trung vị hoặc mốt
⚠️ Lưu ý thi: Khi dữ liệu có giá trị ngoại lai (outlier), nên chọn trung vị thay vì trung bình vì trung vị không bị ảnh hưởng bởi các giá trị cực đoan.
🎯 Ghi nhớ: - Số trung bình: Phù hợp khi dữ liệu phân bố đều, không có giá trị ngoại lai - Trung vị: Phù hợp khi có giá trị ngoại lai hoặc dữ liệu lệch - Mốt: Phù hợp với dữ liệu định tính hoặc khi cần biết giá trị phổ biến nhất - Tứ phân vị: Cho biết sự phân bố của 25%, 50%, 75% dữ liệu