Giải Toán 10 - Tập 1 trang 10
Lời giải chi tiết SGK Lớp 10 · Môn ToĂ¡n · Trang 10–11
🔍 Kiến thức cần nhớ
1. Mệnh đề đảo
- Mệnh đề Q ⇒ P được gọi là mệnh đề đảo của mệnh đề P ⇒ Q
- Lưu ý: Mệnh đề đảo của một mệnh đề đúng không nhất thiết là đúng
2. Mệnh đề tương đương
- Mệnh đề "P nếu và chỉ nếu Q" được gọi là mệnh đề tương đương, ký hiệu: P ⇔ Q
- Mệnh đề P ⇔ Q đúng khi cả hai mệnh đề P ⇒ Q và Q ⇒ P đều đúng
- Các cách phát biểu tương đương:
- "P tương đương với Q"
- "P là điều kiện cần và đủ để có Q"
- "P khi và chỉ khi Q"
3. Mệnh đề có chứa ký hiệu ∀, ∃
- Ký hiệu ∀ đọc là "với mọi"
- Ký hiệu ∃ đọc là "tồn tại"
- Mệnh đề phủ định:
- Phủ định của "∀n ∈ ℕ, n·1 = n" là "∃n ∈ ℕ, n·1 ≠ n"
⚙️ Bài tập
Luyện tập 3
Đề bài: Cho các mệnh đề P: "a và b chia hết cho c"; Q: "a + b chia hết cho c".
a) Hãy phát biểu định lí P ⇒ Q. Nêu giả thiết, kết luận của định lí và phát biểu định lí này dưới dạng điều kiện cần, điều kiện đủ.
b) Hãy phát biểu mệnh đề đảo của mệnh đề P ⇒ Q rồi xác định tính đúng sai của mệnh đề đảo này.
Cách 1 — Phương pháp trực tiếp
Câu a)
Bước 1: Phát biểu định lí P ⇒ Q
Định lí P ⇒ Q: "Nếu a và b chia hết cho c thì a + b chia hết cho c"
Bước 2: Xác định giả thiết và kết luận
- Giả thiết (GT): a và b chia hết cho c
- Kết luận (KL): a + b chia hết cho c
Bước 3: Phát biểu dưới dạng điều kiện cần, điều kiện đủ
- Điều kiện đủ: "a và b chia hết cho c" là điều kiện đủ để "a + b chia hết cho c"
- Điều kiện cần: "a + b chia hết cho c" là điều kiện cần để "a và b chia hết cho c"
Câu b)
Bước 1: Phát biểu mệnh đề đảo Q ⇒ P
Mệnh đề đảo Q ⇒ P: "Nếu a + b chia hết cho c thì a và b chia hết cho c"
Bước 2: Xác định tính đúng sai
Mệnh đề đảo này SAI.
Phản ví dụ: Lấy a = 3, b = 5, c = 4
- a + b = 3 + 5 = 8 chia hết cho 4 ✓
- Nhưng a = 3 không chia hết cho 4 ✗
- Và b = 5 không chia hết cho 4 ✗
Vậy mệnh đề đảo là sai.
Cách 2 — Phương pháp sử dụng định nghĩa chia hết
Câu a)
Từ định nghĩa: a ⋮ c ⇔ a = c·k₁ (k₁ ∈ ℤ) và b ⋮ c ⇔ b = c·k₂ (k₂ ∈ ℤ)
⇒ a + b = c·k₁ + c·k₂ = c·(k₁ + k₂)
Vì k₁ + k₂ ∈ ℤ nên a + b ⋮ c
Điều này chứng minh định lí P ⇒ Q là đúng.
Câu b)
Phản ví dụ đơn giản: a = 1, b = 1, c = 2
- a + b = 2 ⋮ 2 ✓
- a = 1 không chia hết cho 2 ✗
💡 Mẹo nhớ: Mệnh đề đảo thường SAI khi điều kiện đầu "mạnh hơn" điều kiện sau. Việc a và b cùng chia hết cho c là yêu cầu mạnh, còn a + b chia hết cho c là yêu cầu yếu hơn.
⚠️ Lưu ý thi: Khi chứng minh mệnh đề sai, chỉ cần đưa ra MỘT phản ví dụ là đủ!
Luyện tập 4
Đề bài: Phát biểu điều kiện cần và đủ để số tự nhiên n chia hết cho 2.
Cách 1 — Phương pháp cơ bản
Bước 1: Xác định mệnh đề P và Q
- P: "n là số tự nhiên chia hết cho 2"
- Q: "n là số chẵn" (hay "n có chữ số tận cùng là 0, 2, 4, 6, 8")
Bước 2: Kiểm tra tính tương đương
- P ⇒ Q: Nếu n chia hết cho 2 thì n là số chẵn → ĐÚNG
- Q ⇒ P: Nếu n là số chẵn thì n chia hết cho 2 → ĐÚNG
Bước 3: Phát biểu điều kiện cần và đủ
Đáp án: "Số tự nhiên n chia hết cho 2 khi và chỉ khi n là số chẵn"
Hay: "Điều kiện cần và đủ để số tự nhiên n chia hết cho 2 là n có chữ số tận cùng bằng 0, 2, 4, 6 hoặc 8"
Cách 2 — Sử dụng ký hiệu toán học
Phát biểu: n ⋮ 2 ⇔ n = 2k với k ∈ ℕ
Hay: n ⋮ 2 ⇔ n có chữ số tận cùng ∈ {0, 2, 4, 6, 8}
💡 Mẹo nhớ: Điều kiện cần và đủ = Mệnh đề tương đương (⇔) = "khi và chỉ khi"
Luyện tập 5
Đề bài: Phát biểu bằng lời mệnh đề sau và cho biết mệnh đề đó đúng hay sai.
∀x ∈ ℝ, x² + 1 ≤ 0
Cách 1 — Phương pháp phân tích trực tiếp
Bước 1: Phát biểu bằng lời
"Với mọi số thực x, bình phương của x cộng với 1 nhỏ hơn hoặc bằng 0"
Hay: "Mọi số thực đều có bình phương cộng 1 không dương"
Bước 2: Xác định tính đúng sai
Ta có: ∀x ∈ ℝ thì x² ≥ 0
⇒ x² + 1 ≥ 0 + 1 = 1 > 0
Vậy x² + 1 > 0 với mọi x ∈ ℝ, do đó x² + 1 ≤ 0 là vô lý.
Kết luận: Mệnh đề SAI
Cách 2 — Phương pháp phản ví dụ
Chỉ cần kiểm tra một giá trị: Lấy x = 0
x² + 1 = 0² + 1 = 1 > 0 (không thỏa mãn ≤ 0)
Vậy mệnh đề sai.
⚠️ Lưu ý thi: x² + 1 > 0 với mọi x ∈ ℝ là một tính chất quan trọng, hay gặp trong các bài toán khảo sát hàm số và giải phương trình!
Luyện tập 6
Đề bài: Trong tiết học môn Toán, Nam phát biểu: "Mọi số thực đều có bình phương khác 1".
Mai phát biểu: "Có một số thực mà bình phương của nó bằng 1".
a) Hãy cho biết bạn nào phát biểu đúng.
b) Dùng ký hiệu ∀, ∃ để viết lại các phát biểu của Nam và Mai dưới dạng mệnh đề.
Cách 1 — Phương pháp phân tích logic
Câu a)
Phân tích phát biểu của Nam: "Mọi số thực đều có bình phương khác 1"
Kiểm tra: Lấy x = 1 thì x² = 1 ⇒ Không thỏa "khác 1"
Hoặc lấy x = -1 thì x² = 1 ⇒ Không thỏa "khác 1"
⇒ Nam phát biểu SAI
Phân tích phát biểu của Mai: "Có một số thực mà bình phương của nó bằng 1"
Tìm số thực x sao cho x² = 1:
- x = 1: 1² = 1 ✓
- x = -1: (-1)² = 1 ✓
Tồn tại số thực (thực tế là 2 số: 1 và -1) có bình phương bằng 1.
⇒ Mai phát biểu ĐÚNG
Câu b)
Phát biểu của Nam dưới dạng ký hiệu:
∀x ∈ ℝ, x² ≠ 1
Phát biểu của Mai dưới dạng ký hiệu:
∃x ∈ ℝ, x² = 1
Cách 2 — Phương pháp nhận dạng mệnh đề phủ định
Nhận xét quan trọng: Phát biểu của Mai chính là phủ định của phát biểu của Nam!
- Nam: ∀x ∈ ℝ, x² ≠ 1
- Mai: ∃x ∈ ℝ, x² = 1
Theo quy tắc phủ định: Phủ định của "∀x, P(x)" là "∃x, ¬P(x)"
Vì hai mệnh đề phủ định nhau nên một đúng, một sai.
Do tồn tại x = 1 (hoặc x = -1) thỏa mãn x² = 1 nên Mai đúng, Nam sai.
💡 Mẹo nhớ: - Phủ định của ∀ là ∃ - Phủ định của ∃ là ∀ - Phủ định của = là ≠, của ≤ là >, của < là ≥
⚠️ Lưu ý thi: Đây là dạng bài thường gặp! Khi thấy hai phát biểu có dạng "Mọi... đều..." và "Có một... mà...", hãy kiểm tra xem chúng có phải là phủ định của nhau không.
🎯 Ghi nhớ
- Mệnh đề đảo: Q ⇒ P là đảo của P ⇒ Q. Mệnh đề đảo của mệnh đề đúng có thể sai!
- Mệnh đề tương đương: P ⇔ Q đúng khi cả P ⇒ Q và Q ⇒ P đều đúng
- Ký hiệu lượng từ:
- ∀ (với mọi) - yêu cầu đúng với TẤT CẢ phần tử
- ∃ (tồn tại) - chỉ cần đúng với ÍT NHẤT MỘT phần tử
- Quy tắc phủ định:
- Phủ định của "∀x, P(x)" là "∃x, ¬P(x)"
- Phủ định của "∃x, P(x)" là "∀x, ¬P(x)"