Giải Toán 10 - Tập 1 trang 12

🔍 Kiến thức cần nhớ

Mệnh đề

• Mệnh đề là câu khẳng định có thể xác định được tính đúng hoặc sai (không thể vừa đúng vừa sai).
• Câu hỏi, câu cảm thán, câu mệnh lệnh không phải mệnh đề.
• Mệnh đề kéo theo P ⇒ Q: "Nếu P thì Q"
• Mệnh đề tương đương P ⇔ Q: "P khi và chỉ khi Q"
• Mệnh đề đảo của P ⇒ Q là Q ⇒ P
• Mệnh đề phủ định của P ký hiệu ¬P (không P)
• Ký hiệu ∀ (với mọi), ∃ (tồn tại)

---

⚙️ Bài tập

---

Câu 1.1

Đề bài: Trong các câu sau, câu nào là mệnh đề?

• a) Trung Quốc là nước đông dân nhất thế giới;
• b) Bạn học trường nào?
• c) Không được làm việc riêng trong giờ học;
• d) Tôi sẽ sút bóng trúng xà ngang.

Cách 1 — Áp dụng định nghĩa mệnh đề

Phân tích: Mệnh đề là câu khẳng định có thể xác định đúng hoặc sai.

a) "Trung Quốc là nước đông dân nhất thế giới"

• Đây là câu khẳng định.
• Có thể xác định đúng/sai (thực tế đây là mệnh đề đúng vì Trung Quốc có dân số đông nhất thế giới).
• ✅ Là mệnh đề.

b) "Bạn học trường nào?"

• Đây là câu hỏi.
• Không thể xác định đúng hay sai.
• ❌ Không phải mệnh đề.

c) "Không được làm việc riêng trong giờ học"

• Đây là câu mệnh lệnh/khuyên bảo.
• Không thể xác định đúng hay sai.
• ❌ Không phải mệnh đề.

d) "Tôi sẽ sút bóng trúng xà ngang"

• Đây là câu nói về tương lai chưa xảy ra.
• Tại thời điểm nói, không thể xác định đúng hay sai.
• ❌ Không phải mệnh đề.

Cách 2 — Phương pháp loại trừ nhanh

Đáp án: Chỉ câu a) là mệnh đề.

💡 Mẹo nhớ: Câu hỏi, câu cảm thán, câu mệnh lệnh, câu dự đoán tương lai → Không phải mệnh đề

---

Câu 1.2

Đề bài: Xác định tính đúng sai của mỗi mệnh đề sau:

• a) π < 10/3
• b) Phương trình 3x + 7 = 0 có nghiệm;
• c) Có ít nhất một số cộng với chính nó bằng 0;
• d) 2022 là hợp số.

Cách 1 — Kiểm tra trực tiếp

a) π < 10/3

• π ≈ 3,14159...
• 10/3 ≈ 3,333...
• So sánh: 3,14159 < 3,333 → Đúng ✅

b) Phương trình 3x + 7 = 0 có nghiệm

• Giải: 3x + 7 = 0 ⇔ 3x = -7 ⇔ x = -7/3
• Phương trình có nghiệm x = -7/3 → Đúng ✅

c) Có ít nhất một số cộng với chính nó bằng 0

• Gọi số đó là a, cần tìm a sao cho: a + a = 0 ⇔ 2a = 0 ⇔ a = 0
• Số 0 cộng với chính nó bằng 0: 0 + 0 = 0 → Đúng ✅

d) 2022 là hợp số

• Hợp số là số tự nhiên > 1 có nhiều hơn 2 ước.
• 2022 = 2 × 1011 = 2 × 3 × 337
• 2022 chia hết cho 2, 3, 6, 337, 674, 1011...
• 2022 có nhiều hơn 2 ước → Đúng ✅

Cách 2 — Phương pháp nhanh

Đáp án: Tất cả các mệnh đề đều đúng.

💡 Mẹo bấm máy: Để kiểm tra câu a), bấm: π < 10 ÷ 3 = → máy hiển thị kết quả True/1

⚠️ Lưu ý thi: Hợp số là số tự nhiên > 1 có ít nhất một ước khác 1 và chính nó. Số chẵn > 2 luôn là hợp số.

---

Câu 1.3

Đề bài: Cho hai câu sau:

• P: "Tam giác ABC là tam giác vuông";
• Q: "Tam giác ABC có một góc bằng tổng hai góc còn lại".

Hãy phát biểu mệnh đề tương đương P ⇔ Q và xác định tính đúng sai của mệnh đề này.

Cách 1 — Phân tích chi tiết

Phát biểu mệnh đề P ⇔ Q:

"Tam giác ABC là tam giác vuông khi và chỉ khi tam giác ABC có một góc bằng tổng hai góc còn lại."

Xác định tính đúng sai:

Chiều thuận (P ⇒ Q): Nếu tam giác ABC vuông thì có một góc bằng tổng hai góc còn lại.

• Giả sử góc A = 90°
• Tổng ba góc: A + B + C = 180° → B + C = 90°
• Vậy A = B + C → Đúng ✅

Chiều đảo (Q ⇒ P): Nếu tam giác có một góc bằng tổng hai góc còn lại thì tam giác đó vuông.

• Giả sử A = B + C
• Mà A + B + C = 180° → A + A = 180° → A = 90°
• Tam giác có góc 90° → vuông → Đúng ✅

Kết luận: Mệnh đề P ⇔ Q là mệnh đề đúng.

Cách 2 — Lập luận đại số

Gọi ba góc của tam giác là A, B, C với A + B + C = 180°

• P đúng ⇔ có một góc = 90° ⇔ A = 90° (giả sử)
• Q đúng ⇔ A = B + C

Từ A + B + C = 180°:

• A = 90° ⇔ B + C = 90° ⇔ A = B + C

Vậy P ⇔ Q đúng.

💡 Mẹo nhớ: Trong tam giác vuông, góc vuông = 90° = tổng hai góc nhọn còn lại.

---

Câu 1.4

Đề bài: Phát biểu mệnh đề đảo của mỗi mệnh đề sau và xác định tính đúng sai của chúng:

• P: "Nếu số tự nhiên n có chữ số tận cùng là 5 thì n chia hết cho 5";
• Q: "Nếu tứ giác ABCD là hình chữ nhật thì tứ giác ABCD có hai đường chéo bằng nhau".

Cách 1 — Phân tích từng mệnh đề

Mệnh đề P: "Nếu số tự nhiên n có chữ số tận cùng là 5 thì n chia hết cho 5"

Mệnh đề đảo của P: "Nếu số tự nhiên n chia hết cho 5 thì n có chữ số tận cùng là 5"

Xác định tính đúng sai:

• Xét n = 10: 10 chia hết cho 5 nhưng tận cùng là 0, không phải 5.
• Phản ví dụ tồn tại → Mệnh đề đảo sai ❌

---

Mệnh đề Q: "Nếu tứ giác ABCD là hình chữ nhật thì tứ giác ABCD có hai đường chéo bằng nhau"

Mệnh đề đảo của Q: "Nếu tứ giác ABCD có hai đường chéo bằng nhau thì tứ giác ABCD là hình chữ nhật"

Xác định tính đúng sai:

• Xét hình thang cân: có hai đường chéo bằng nhau nhưng không phải hình chữ nhật.
• Phản ví dụ tồn tại → Mệnh đề đảo sai ❌

Cách 2 — Bảng tóm tắt

⚠️ Lưu ý thi: Số chia hết cho 5 có thể tận cùng là 0 hoặc 5. Đây là lỗi sai thường gặp!

---

Câu 1.5

Đề bài: Với hai số thực a và b, xét các mệnh đề P: "a² < b²" và Q: "0 < a < b".

• a) Hãy phát biểu mệnh đề P ⇒ Q.
• b) Hãy phát biểu mệnh đề đảo của mệnh đề ở câu a.
• c) Xác định tính đúng sai của mỗi mệnh đề ở câu a và câu b.

Cách 1 — Phân tích chi tiết

a) Phát biểu mệnh đề P ⇒ Q:

"Nếu a² < b² thì 0 < a < b"

Hoặc: "Với hai số thực a và b, nếu a² < b² thì 0 < a < b"

---

b) Phát biểu mệnh đề đảo (Q ⇒ P):

"Nếu 0 < a < b thì a² < b²"

Hoặc: "Với hai số thực a và b, nếu 0 < a < b thì a² < b²"

---

c) Xác định tính đúng sai:

Mệnh đề P ⇒ Q: "Nếu a² < b² thì 0 < a < b"

Kiểm tra:

• Xét a = -1, b = 2: a² = 1, b² = 4 → 1 < 4 (P đúng)
• Nhưng a = -1 < 0 → điều kiện 0 < a không thỏa mãn (Q sai)
• Phản ví dụ tồn tại → P ⇒ Q sai ❌

---

Mệnh đề Q ⇒ P: "Nếu 0 < a < b thì a² < b²"

Chứng minh:

• Giả sử 0 < a < b
• Vì a > 0 và b > 0, ta có thể nhân cả hai vế với số dương:
• Từ a < b, nhân với a > 0: a² < ab
• Từ a < b, nhân với b > 0: ab < b²
• Kết hợp: a² < ab < b² → a² < b²
• Q ⇒ P đúng ✅

Cách 2 — Bảng tóm tắt

💡 Mẹo nhớ: Với hai số dương, số lớn hơn có bình phương lớn hơn. Với số âm thì ngược lại!

---

Câu 1.6

Đề bài: Xác định tính đúng sai của mệnh đề sau và tìm mệnh đề phủ định của nó.

Q: "∃ n ∈ ℕ, n chia hết cho n + 1".

Cách 1 — Phân tích chi tiết

Ý nghĩa mệnh đề Q: "Tồn tại số tự nhiên n sao cho n chia hết cho n + 1"

Xác định tính đúng sai:

• Với n = 0: n + 1 = 1, và 0 ⋮ 1 (0 chia hết cho 1) → Đúng ✅
• Mệnh đề Q đúng (vì tìm được n = 0 thỏa mãn)

Mệnh đề phủ định của Q:

Phủ định của "∃ n ∈ ℕ, P(n)" là "∀ n ∈ ℕ, ¬P(n)"

¬Q: "∀ n ∈ ℕ, n không chia hết cho n + 1"

Hay: "Với mọi số tự nhiên n, n không chia hết cho n + 1"

Tính đúng sai của ¬Q: Vì Q đúng nên ¬Q sai.

Cách 2 — Phương pháp kiểm tra nhanh

Chỉ cần tìm 1 ví dụ thỏa mãn → Q đúng.

💡 Mẹo nhớ: Phủ định của ∃ là ∀, phủ định của ∀ là ∃

---

Câu 1.7

Đề bài: Dùng ký hiệu ∀, ∃ để viết các mệnh đề sau:

• P: "Mọi số tự nhiên đều có bình phương lớn hơn hoặc bằng chính nó";
• Q: "Có một số thực cộng với chính nó bằng 0".

Cách 1 — Chuyển đổi chi tiết

Mệnh đề P: "Mọi số tự nhiên đều có bình phương lớn hơn hoặc bằng chính nó"

• "Mọi" → ký hiệu ∀
• Số tự nhiên → n ∈ ℕ
• Bình phương ≥ chính nó → n² ≥ n

Viết ký hiệu: ∀ n ∈ ℕ, n² ≥ n

---

Mệnh đề Q: "Có một số thực cộng với chính nó bằng 0"

• "Có một" (tồn tại) → ký hiệu ∃
• Số thực → x ∈ ℝ
• Cộng với chính nó bằng 0 → x + x = 0

Viết ký hiệu: ∃ x ∈ ℝ, x + x = 0 hoặc ∃ x ∈ ℝ, 2x = 0

Cách 2 — Bảng chuyển đổi nhanh

Kết quả:

• P: ∀ n ∈ ℕ, n² ≥ n
• Q: ∃ x ∈ ℝ, x + x = 0

💡 Mẹo nhớ: - ∀ (A lộn ngược) = "All" = Với mọi - ∃ (E lộn ngược) = "Exists" = Tồn tại

---

Câu HĐ1 (Hoạt động 1 - Trang 12)

Đề bài: Trong tình huống trên, gọi A là tập hợp những thành viên tham gia Chuyên đề 1, B là tập hợp những thành viên tham gia Chuyên đề 2.

• a) Nam có là một phần tử của tập hợp A không? Ngân có là một phần tử của tập hợp B không?
• b) Hãy mô tả các tập hợp A và B bằng cách liệt kê các phần tử.

Cách 1 — Đọc thông tin từ hình vẽ

Từ Hình 1.1:

Chuyên đề 1: Nam, Tú, Khánh, Hương, Bình, Chi, Ngân

Chuyên đề 2: Hương, Khánh, Hiền, Chi, Bình, Lam, Tú, Hân

---

a) Nam có là phần tử của tập hợp A không? Ngân có là phần tử của tập hợp B không?

• Nam có trong danh sách Chuyên đề 1 → Nam ∈ A ✅
• Ngân có trong Chuyên đề 1 nhưng không có trong Chuyên đề 2 → Ngân ∉ B ✅

---

b) Mô tả tập hợp A và B bằng cách liệt kê:

A = {Nam, Tú, Khánh, Hương, Bình, Chi, Ngân}

B = {Hương, Khánh, Hiền, Chi, Bình, Lam, Tú, Hân}

Cách 2 — Trình bày gọn

💡 Mẹo nhớ: - x ∈ A: x là phần tử của A - x ∉ A: x không là phần tử của A

⚠️ Bonus: Câu hỏi trên hình: "Có bao nhiêu thành viên vắng mặt trong cả hai chuyên đề?" - Tổng 12 thành viên - Tham gia ít nhất 1 chuyên đề: Nam, Tú, Khánh, Hương, Bình, Chi, Ngân, Hiền, Lam, Hân = 10 người - Vắng cả hai: 12 - 10 = 2 người

---

🎯 Ghi nhớ: - Mệnh đề là câu khẳng định xác định được đúng/sai. - Câu hỏi, câu cảm thán, câu mệnh lệnh không phải mệnh đề. - P ⇒ Q: "Nếu P thì Q". Đảo: Q ⇒ P. - P ⇔ Q: "P khi và chỉ khi Q" (đúng khi cả hai chiều đều đúng). - Phủ định ∀ là ∃, phủ định ∃ là ∀. - Ký hiệu tập hợp: ∈ (thuộc), ∉ (không thuộc).