Giải Toán 10 - Tập 1 trang 84
Lời giải chi tiết SGK Lớp 10 · Môn ToĂ¡n · Trang 84–85
Tóm tắt lý thuyết (Bài 14: Các số đặc trưng đo độ phân tán)
Bài học giới thiệu các số đo độ phân tán của mẫu số liệu:
- Khoảng biến thiên
- Khoảng tứ phân vị
- Phương sai
- Độ lệch chuẩn
Khoảng biến thiên, kí hiệu là $R$, là hiệu giữa giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất trong mẫu số liệu:
$$R = x_{\max} - x_{\min}$$
Ý nghĩa: $R$ càng lớn thì mẫu số liệu càng phân tán (kém ổn định).
Bài 5.9: Số học sinh giỏi Quốc gia của 10 trường
Đề: Số lượng học sinh giỏi Quốc gia năm học 2018 – 2019 của 10 trường THPT:
$$0\quad 0\quad 4\quad 0\quad 0\quad 0\quad 10\quad 0\quad 6\quad 0$$
Sắp xếp theo thứ tự không giảm:
$$0,\ 0,\ 0,\ 0,\ 0,\ 0,\ 0,\ 4,\ 6,\ 10$$
a) Số trung bình, mốt, các tứ phân vị
Số trung bình:
$$\bar{x} = \frac{4 + 10 + 6}{10} = \frac{20}{10} = 2$$
Mốt: giá trị $0$ xuất hiện 7 lần (nhiều nhất), nên
$$M_o = 0$$
Tứ phân vị (n = 10, chẵn):
- Trung vị $Q_2$ = trung bình hai giá trị thứ 5 và thứ 6:
$$Q_2 = \frac{0 + 0}{2} = 0$$
- Nửa số liệu bên trái (5 giá trị đầu): $0,0,0,0,0$ → trung vị là giá trị giữa:
$$Q_1 = 0$$
- Nửa số liệu bên phải (5 giá trị cuối): $0,0,4,6,10$ → trung vị là giá trị giữa:
$$Q_3 = 4$$
b) Vì sao $Q_1$ và trung vị trùng nhau?
Vì trong mẫu có quá nhiều số 0 (tới 7 trên 10 giá trị). Cả nửa số liệu bên trái và vị trí giữa của mẫu đều rơi vào các giá trị 0, nên $Q_1 = Q_2 = 0$. Khi một giá trị chiếm tỉ lệ áp đảo, các đặc trưng vị trí thấp dễ trùng nhau.
Bài 5.10: Số chỗ ngồi của các sân vận động
Đề:
| Sân vận động | Cẩm Phả | Thiên Trường | Hàng Đẫy | Thanh Hoá | Mỹ Đình |
|---|---|---|---|---|---|
| Số chỗ ngồi | 20 120 | 21 315 | 23 405 | 20 120 | 37 546 |
Hỏi: Các giá trị số trung bình, trung vị, mốt bị ảnh hưởng thế nào nếu bỏ đi số liệu của Sân Mỹ Đình?
Khi còn đủ 5 sân
Sắp xếp: $20\,120,\ 20\,120,\ 21\,315,\ 23\,405,\ 37\,546$
Số trung bình:
$$\bar{x} = \frac{20120+21315+23405+20120+37546}{5} = \frac{122506}{5} = 24\,501{,}2$$
Trung vị (giá trị thứ 3): $M_e = 21\,315$
Mốt: $M_o = 20\,120$ (xuất hiện 2 lần)
Khi bỏ Mỹ Đình (37 546)
Còn lại: $20\,120,\ 20\,120,\ 21\,315,\ 23\,405$
Số trung bình:
$$\bar{x}' = \frac{20120+21315+23405+20120}{4} = \frac{84960}{4} = 21\,240$$
Trung vị (trung bình hai giá trị giữa):
$$M_e' = \frac{20120 + 21315}{2} = 20\,717{,}5$$
Mốt: vẫn là $M_o' = 20\,120$
Kết luận
| Đặc trưng | Đủ 5 sân | Bỏ Mỹ Đình | Mức ảnh hưởng |
|---|---|---|---|
| Trung bình | 24 501,2 | 21 240 | Giảm mạnh (≈ 3 261) |
| Trung vị | 21 315 | 20 717,5 | Giảm nhẹ |
| Mốt | 20 120 | 20 120 | Không đổi |
Nhận xét: Mỹ Đình là giá trị bất thường (lớn vượt trội). Khi bỏ nó đi, số trung bình thay đổi nhiều nhất vì trung bình rất nhạy với giá trị ngoại lệ; trung vị thay đổi ít; còn mốt hoàn toàn không bị ảnh hưởng.
HĐ1: So sánh độ ổn định của Leicester City và Everton
Đề: Điểm số 5 mùa giải Ngoại hạng Anh (2014–2015 đến 2018–2019):
- Leicester City: $41,\ 81,\ 44,\ 47,\ 52$
- Everton: $47,\ 47,\ 61,\ 49,\ 54$
Cổ động viên cho rằng Everton thi đấu ổn định hơn. Em có đồng ý không?
Giải bằng khoảng biến thiên:
- Leicester City: $R = 81 - 41 = 40$
- Everton: $R = 61 - 47 = 14$
Vì khoảng biến thiên của Everton ($14$) nhỏ hơn nhiều so với Leicester City ($40$), mẫu số liệu của Everton ít phân tán hơn.
Kết luận: Đồng ý với nhận định. Everton thi đấu ổn định hơn Leicester City.
Ví dụ 1 (phần dẫn nhập)
Đề (mới nêu số liệu, phần giải nằm ở trang sau):
- Tổ 1: $7,\ 8,\ 8,\ 9,\ 8,\ 8,\ 8$
- Tổ 2: $10,\ 6,\ 8,\ 9,\ 9,\ 7,\ 8,\ 7,\ 8$
Đây là ví dụ mở đầu để tính khoảng biến thiên, phần lời giải chi tiết tiếp tục ở trang kế tiếp. Tạm tính nhanh để em hình dung:
- Tổ 1: $R = 9 - 7 = 2$
- Tổ 2: $R = 10 - 6 = 4$
Tổ 1 có điểm đồng đều hơn Tổ 2.
Nếu em gửi tiếp ảnh trang 85 thật, cô sẽ giải nốt phần còn lại của Ví dụ 1 và các nội dung sau nhé.