Giải Toán 10 - Tập 1 trang 86

Tóm tắt lý thuyết

Khoảng biến thiên: $R = x_{\max} - x_{\min}$. Đơn giản nhưng chỉ dùng giá trị lớn nhất và nhỏ nhất nên dễ bị giá trị bất thường ảnh hưởng.

Khoảng tứ phân vị: $\Delta_Q = Q_3 - Q_1$. Đo độ phân tán của 50% số liệu chính giữa, ít bị ảnh hưởng bởi giá trị bất thường.

Phương sai và độ lệch chuẩn (dùng toàn bộ giá trị):

$$s^2 = \frac{(x_1 - \bar{x})^2 + (x_2 - \bar{x})^2 + \dots + (x_n - \bar{x})^2}{n}, \qquad s = \sqrt{s^2}.$$

Số liệu càng phân tán thì phương sai và độ lệch chuẩn càng lớn.

Bài Luyện tập 1: Khoảng biến thiên chiều cao

Đề: Mẫu chiều cao (cm): 163, 159, 172, 167, 165, 168, 170, 161. Tính khoảng biến thiên.

Lời giải:

• Giá trị lớn nhất: $172$
• Giá trị nhỏ nhất: $159$

$$R = 172 - 159 = 13 \text{ (cm)}.$$

Vậy khoảng biến thiên của mẫu là 13 cm.

Bài HĐ2: Nhiệt độ Hà Nội và Điện Biên

Đề:

• Hà Nội: 23, 25, 28, 28, 32, 33, 35
• Điện Biên: 16, 24, 26, 26, 26, 27, 28

a) Tính và so sánh khoảng biến thiên.

• Hà Nội: $R_{HN} = 35 - 23 = 12$
• Điện Biên: $R_{ĐB} = 28 - 16 = 12$

Hai khoảng biến thiên bằng nhau ($R_{HN} = R_{ĐB} = 12$), nhưng nhìn vào số liệu thì nhiệt độ Điện Biên thực ra tập trung hơn (phần lớn quanh 26–28).

b) Nhận xét về ảnh hưởng của giá trị 16:

Nếu bỏ giá trị 16, các giá trị Điện Biên còn lại là 24, 26, 26, 26, 27, 28, khi đó khoảng biến thiên chỉ còn $28 - 24 = 4$. Như vậy giá trị 16 (một giá trị bất thường, thấp hơn hẳn các ngày khác) đã làm khoảng biến thiên tăng vọt từ 4 lên 12. Điều này cho thấy khoảng biến thiên rất nhạy với giá trị bất thường.

c) Tính tứ phân vị và $Q_3 - Q_1$ (cả hai mẫu đều có 7 giá trị, $Q_2$ ở vị trí thứ 4):

Hà Nội: 23, 25, 28, | 28 |, 32, 33, 35

• Nửa trái: 23, 25, 28 → $Q_1 = 25$
• Nửa phải: 32, 33, 35 → $Q_3 = 33$
• $Q_3 - Q_1 = 33 - 25 = 8$

Điện Biên: 16, 24, 26, | 26 |, 26, 27, 28

• Nửa trái: 16, 24, 26 → $Q_1 = 24$
• Nửa phải: 26, 27, 28 → $Q_3 = 27$
• $Q_3 - Q_1 = 27 - 24 = 3$

Có thể dùng hiệu $Q_3 - Q_1$ để đo độ phân tán. Hiệu này của Điện Biên (3) nhỏ hơn của Hà Nội (8), cho thấy số liệu giữa của Điện Biên ít phân tán hơn. Ưu điểm là hiệu này không bị giá trị bất thường 16 làm sai lệch như khoảng biến thiên.

Bài Luyện tập 2: Khoảng tứ phân vị số bài hát

Đề: Số bài hát mỗi album: 12, 7, 10, 9, 12, 9, 10, 11, 10, 14. Tìm khoảng tứ phân vị.

Lời giải:

Sắp xếp theo thứ tự không giảm (10 giá trị):

$$7,\ 9,\ 9,\ 10,\ 10,\ 10,\ 11,\ 12,\ 12,\ 14.$$

Trung vị: vì có 10 giá trị nên $Q_2 = \dfrac{10 + 10}{2} = 10$ (hai giá trị giữa ở vị trí 5 và 6).

Nửa số liệu bên trái: 7, 9, 9, 10, 10 (5 giá trị), giá trị chính giữa là 9.

$$Q_1 = 9.$$

Nửa số liệu bên phải: 10, 11, 12, 12, 14 (5 giá trị), giá trị chính giữa là 12.

$$Q_3 = 12.$$

Vậy khoảng tứ phân vị:

$$\Delta_Q = Q_3 - Q_1 = 12 - 9 = 3.$$

Bài Ví dụ 3 (tham khảo): Phương sai và độ lệch chuẩn

Đây là ví dụ mẫu trong sách. Cô giải lại để em nắm cách trình bày.

Đề: Sĩ số 5 lớp khối 10: 43, 45, 46, 41, 40. Tìm phương sai và độ lệch chuẩn.

Số trung bình:

$$\bar{x} = \frac{43 + 45 + 46 + 41 + 40}{5} = 43.$$

Với $n = 5$:

$$s^2 = \frac{26}{5} = 5{,}2, \qquad s = \sqrt{5{,}2} \approx 2{,}28.$$

Vậy phương sai là 5,2 và độ lệch chuẩn xấp xỉ 2,28.