Giải Toán 10 - Tập 1 trang 88

🔍 Kiến thức cần nhớ

1. Phương sai và độ lệch chuẩn

• Phương sai (s²): Đo mức độ phân tán của dữ liệu quanh giá trị trung bình
• Độ lệch chuẩn (s): Căn bậc hai của phương sai, s = √(s²)
• Công thức: s² = [Σ(xᵢ - x̄)²]/n hoặc s² = (Σxᵢ²)/n - x̄²

2. Giá trị bất thường (Outlier)

• Giá trị bất thường là giá trị quá lớn hoặc quá nhỏ so với đa số các giá trị khác
• Dùng biểu đồ hộp để phát hiện giá trị bất thường
• Quy tắc: Giá trị được xem là bất thường nếu:
• Lớn hơn Q₃ + 1,5 × Δ_Q
• Hoặc bé hơn Q₁ - 1,5 × Δ_Q
• Trong đó: Δ_Q = Q₃ - Q₁ (khoảng tứ phân vị)

---

⚙️ Bài tập

---

Luyện tập 3

Đề bài: Dùng đồng hồ đo thời gian có độ chia nhỏ nhất đến 0,001 giây để đo 7 lần thời gian rơi tự do của một vật bắt đầu từ điểm A (v_A = 0) đến điểm B. Kết quả đo như sau:

| 0,398 | 0,399 | 0,408 | 0,410 | 0,406 | 0,405 | 0,402 |

Hãy tính phương sai và độ lệch chuẩn cho mẫu số liệu này. Qua các đại lượng này, em có nhận xét gì về độ chính xác của phép đo trên?

---

Cách 1 — Phương pháp cơ bản (dùng công thức)

Bước 1: Tính giá trị trung bình x̄

x̄ = (0,398 + 0,399 + 0,408 + 0,410 + 0,406 + 0,405 + 0,402) / 7

x̄ = 2,828 / 7 = 0,404 (giây)

Bước 2: Tính phương sai s²

Tổng (xᵢ - x̄)² = 0,000122

s² = 0,000122 / 7 ≈ 0,0000174 (giây²)

Bước 3: Tính độ lệch chuẩn s

s = √(0,0000174) ≈ 0,00417 (giây) ≈ 0,004 (giây)

---

Cách 2 — Phương pháp nhanh (dùng công thức tính nhanh)

Dùng công thức: s² = (Σxᵢ²)/n - x̄²

Bước 1: Tính Σxᵢ² = 0,398² + 0,399² + ... + 0,402² = 1,142494

Bước 2: Tính x̄ = 2,828/7 = 0,404

Bước 3: s² = 1,142494/7 - 0,404² = 0,163213 - 0,163216 ≈ 0,0000174

Bước 4: s = √0,0000174 ≈ 0,004 (giây)

---

Nhận xét về độ chính xác:

• Độ lệch chuẩn s ≈ 0,004 giây rất nhỏ so với giá trị trung bình 0,404 giây
• Các giá trị đo được tập trung gần nhau (dao động trong khoảng 0,398 đến 0,410)
• Kết luận: Phép đo có độ chính xác cao, sai số ngẫu nhiên nhỏ

💡 Mẹo bấm máy Casio fx-580VN X: - Vào MODE → STAT → 1-VAR - Nhập lần lượt: 0.398 = 0.399 = 0.408 = 0.410 = 0.406 = 0.405 = 0.402 = - Nhấn AC → SHIFT → STAT → Var - Chọn σx để lấy độ lệch chuẩn (mẫu tổng thể)

---

Luyện tập 4

Đề bài: Một mẫu số liệu có tứ phân vị thứ nhất là 56 và tứ phân vị thứ ba là 84. Hãy kiểm tra xem trong hai giá trị 10 và 100 giá trị nào được xem là giá trị bất thường.

---

Cách 1 — Phương pháp cơ bản (dùng định nghĩa)

Bước 1: Xác định các tứ phân vị

• Q₁ = 56
• Q₃ = 84

Bước 2: Tính khoảng tứ phân vị Δ_Q

Δ_Q = Q₃ - Q₁ = 84 - 56 = 28

Bước 3: Tính các ngưỡng phát hiện giá trị bất thường

• Ngưỡng dưới: Q₁ - 1,5 × Δ_Q = 56 - 1,5 × 28 = 56 - 42 = 14
• Ngưỡng trên: Q₃ + 1,5 × Δ_Q = 84 + 1,5 × 28 = 84 + 42 = 126

Bước 4: Kiểm tra từng giá trị

• Giá trị 10: 10 < 14 (bé hơn ngưỡng dưới) → Là giá trị bất thường ✓
• Giá trị 100: 14 ≤ 100 ≤ 126 (nằm trong khoảng bình thường) → Không phải giá trị bất thường ✗

---

Cách 2 — Phương pháp trực quan (vẽ sơ đồ)

Giá trị bất thường  |  Giá trị bình thường  |  Giá trị bất thường
      < 14          |      14 ─── 126       |       > 126
                    
     10 ●           |    56(Q₁)  84(Q₃)     |
     (bất thường)   |        ● 100          |
                    |    (bình thường)      |

Kết luận:

• 10 là giá trị bất thường (vì 10 < 14)
• 100 không phải giá trị bất thường (vì 14 ≤ 100 ≤ 126)

💡 Mẹo nhớ: Giá trị bất thường nằm ngoài "hàng rào" [Q₁ - 1,5Δ_Q ; Q₃ + 1,5Δ_Q]

---

BÀI TẬP (Trang 88)

---

Bài 5.11

Đề bài: Mỗi khẳng định sau đúng hay sai?

---

(1) Nếu các giá trị của mẫu số liệu càng tập trung quanh giá trị trung bình thì độ lệch chuẩn càng lớn.

Trả lời: SAI ✗

Giải thích: Độ lệch chuẩn đo mức độ phân tán của dữ liệu. Nếu các giá trị càng tập trung quanh giá trị trung bình thì độ lệch chuẩn càng nhỏ (không phải càng lớn).

---

(2) Khoảng biến thiên chỉ sử dụng thông tin của giá trị lớn nhất và bé nhất, bỏ qua thông tin của các giá trị còn lại.

Trả lời: ĐÚNG ✓

Giải thích: Khoảng biến thiên R = x_max - x_min, chỉ dùng giá trị lớn nhất và nhỏ nhất, không quan tâm đến các giá trị ở giữa.

---

(3) Khoảng tứ phân vị có sử dụng thông tin của giá trị lớn nhất, giá trị bé nhất.

Trả lời: SAI ✗

Giải thích: Khoảng tứ phân vị Δ_Q = Q₃ - Q₁ chỉ sử dụng thông tin của tứ phân vị thứ nhất (Q₁) và tứ phân vị thứ ba (Q₃), không sử dụng giá trị lớn nhất và bé nhất.

---

(4) Khoảng tứ phân vị chính là khoảng biến thiên của nửa dưới mẫu số liệu đã sắp xếp.

Trả lời: SAI ✗

Giải thích:

• Khoảng tứ phân vị Δ_Q = Q₃ - Q₁ là khoảng chứa 50% dữ liệu ở giữa (từ Q₁ đến Q₃)
• Khoảng biến thiên của nửa dưới là khoảng từ giá trị nhỏ nhất đến trung vị (Q₂)
• Hai khái niệm này khác nhau

---

(5) Các số đo độ phân tán đều không âm.

Trả lời: ĐÚNG ✓

Giải thích:

• Khoảng biến thiên R = x_max - x_min ≥ 0
• Khoảng tứ phân vị Δ_Q = Q₃ - Q₁ ≥ 0
• Phương sai s² = Σ(xᵢ - x̄)²/n ≥ 0 (tổng các bình phương)
• Độ lệch chuẩn s = √(s²) ≥ 0

Tất cả các số đo đều không âm.

⚠️ Lưu ý thi: Câu hỏi đúng/sai về định nghĩa rất hay xuất hiện. Cần nắm chắc bản chất của từng số đo.

---

Bài 5.12

Đề bài: Cho hai biểu đồ chấm điểm biểu diễn hai mẫu số liệu A, B như sau:

Mẫu A: Các giá trị: 3, 4, 4, 5, 5, 5, 6, 6, 6, 6, 7, 7, 7, 8, 8, 9

Mẫu B: Các giá trị: 3, 4, 5, 5, 6, 6, 6, 6, 6, 7, 7, 8, 9, 9, 9, 9

Không tính toán, hãy cho biết:

---

a) Hai mẫu số liệu này có cùng khoảng biến thiên và số trung bình không?

Trả lời:

Khoảng biến thiên:

• Mẫu A: R = 9 - 3 = 6
• Mẫu B: R = 9 - 3 = 6
• Hai mẫu có cùng khoảng biến thiên ✓

Số trung bình:

• Quan sát biểu đồ: Mẫu A có các giá trị tập trung nhiều ở vùng 5, 6, 7
• Mẫu B có các giá trị tập trung nhiều ở vùng 6, 7 và có nhiều giá trị 9
• Nhìn vào phân bố, mẫu B có xu hướng lệch về phía phải (giá trị lớn) hơn mẫu A
• Hai mẫu có thể KHÔNG cùng số trung bình (Mẫu B có trung bình lớn hơn)

---

b) Mẫu số liệu nào có phương sai lớn hơn?

Trả lời:

Quan sát biểu đồ:

• Mẫu A: Các giá trị phân bố khá đều, tập trung gần vùng giữa (5, 6, 7)
• Mẫu B: Các giá trị có xu hướng tập trung ở hai đầu (có nhiều giá trị 6 ở giữa nhưng cũng có nhiều giá trị 9 ở cuối)

Mẫu B có nhiều giá trị ở hai cực (3, 4 và 9, 9, 9, 9) hơn so với mẫu A, nghĩa là dữ liệu phân tán hơn.

Kết luận: Mẫu B có phương sai lớn hơn

💡 Mẹo nhớ: Nhìn biểu đồ chấm điểm, mẫu nào có các điểm "trải rộng" hơn thì phương sai lớn hơn.

---

Bài 5.13

Đề bài: Cho mẫu số liệu gồm 10 số dương không hoàn toàn giống nhau. Các số đo độ phân tán (khoảng biến thiên, khoảng tứ phân vị, độ lệch chuẩn) sẽ thay đổi như thế nào nếu:

---

a) Nhân mỗi giá trị của mẫu số liệu với 2.

Trả lời:

Gọi mẫu ban đầu: x₁, x₂, ..., x₁₀
Mẫu mới: 2x₁, 2x₂, ..., 2x₁₀

Khoảng biến thiên:

• Ban đầu: R = x_max - x_min
• Sau khi nhân 2: R' = 2x_max - 2x_min = 2(x_max - x_min) = 2R
• → Khoảng biến thiên tăng gấp 2 lần

Khoảng tứ phân vị:

• Ban đầu: Δ_Q = Q₃ - Q₁
• Sau khi nhân 2: Δ'_Q = 2Q₃ - 2Q₁ = 2(Q₃ - Q₁) = 2Δ_Q
• → Khoảng tứ phân vị tăng gấp 2 lần

Độ lệch chuẩn:

• Trung bình mới: x̄' = 2x̄
• s'² = Σ(2xᵢ - 2x̄)²/n = Σ4(xᵢ - x̄)²/n = 4s²
• s' = √(4s²) = 2s
• → Độ lệch chuẩn tăng gấp 2 lần

Kết luận: Khi nhân mỗi giá trị với 2, tất cả các số đo độ phân tán đều tăng gấp 2 lần.

---

b) Cộng mỗi giá trị của mẫu số liệu với 2.

Trả lời:

Mẫu mới: x₁ + 2, x₂ + 2, ..., x₁₀ + 2

Khoảng biến thiên:

• R' = (x_max + 2) - (x_min + 2) = x_max - x_min = R
• → Khoảng biến thiên không đổi

Khoảng tứ phân vị:

• Δ'_Q = (Q₃ + 2) - (Q₁ + 2) = Q₃ - Q₁ = Δ_Q
• → Khoảng tứ phân vị không đổi

Độ lệch chuẩn:

• Trung bình mới: x̄' = x̄ + 2
• s'² = Σ[(xᵢ + 2) - (x̄ + 2)]²/n = Σ(xᵢ - x̄)²/n = s²
• s' = s
• → Độ lệch chuẩn không đổi

Kết luận: Khi cộng mỗi giá trị với 2, tất cả các số đo độ phân tán đều không thay đổi.

💡 Mẹo nhớ: - Nhân với k → Các số đo độ phân tán nhân với |k| - Cộng với k → Các số đo độ phân tán không đổi (chỉ dịch chuyển, không thay đổi độ phân tán)

---

Bài 5.14

Đề bài: Từ mẫu số liệu về thuế thuốc lá của 51 thành phố tại một quốc gia, người ta tính được:

• Giá trị nhỏ nhất bằng 2,5
• Q₁ = 36; Q₂ = 60; Q₃ = 100
• Giá trị lớn nhất bằng 205

---

a) Tỉ lệ thành phố có thuế thuốc lá lớn hơn 36 là bao nhiêu?

Trả lời:

Q₁ = 36 là tứ phân vị thứ nhất, nghĩa là có 25% dữ liệu nhỏ hơn hoặc bằng 36.

Do đó, tỉ lệ thành phố có thuế thuốc lá lớn hơn 36 là:

100% - 25% = 75%

---

b) Chỉ ra hai giá trị sao cho có 50% giá trị của mẫu số liệu nằm giữa hai giá trị này.

Trả lời:

50% giá trị của mẫu số liệu nằm giữa Q₁ và Q₃.

Vậy hai giá trị cần tìm là: Q₁ = 36 và Q₃ = 100

(50% dữ liệu nằm trong khoảng từ 36 đến 100)

---

c) Tìm khoảng tứ phân vị của mẫu số liệu.

Trả lời:

Khoảng tứ phân vị:

Δ_Q = Q₃ - Q₁ = 100 - 36 = 64

⚠️ Lưu ý thi: Câu hỏi về ý nghĩa của các tứ phân vị rất phổ biến. Nhớ: Q₁ chia 25%, Q₂ chia 50%, Q₃ chia 75%.

---

Bài 5.15

Đề bài: Mẫu số liệu sau đây cho biết cân nặng của 10 trẻ sơ sinh (đơn vị kg):

Hãy tính khoảng biến thiên, khoảng tứ phân vị và độ lệch chuẩn cho mẫu số liệu này.

---

Cách 1 — Phương pháp cơ bản

Bước 1: Sắp xếp dữ liệu theo thứ tự tăng dần

2,593 ; 2,977 ; 3,155 ; 3,270 ; 3,387 ; 3,412 ; 3,813 ; 3,920 ; 4,042 ; 4,236

Bước 2: Tính khoảng biến thiên R

R = x_max - x_min = 4,236 - 2,593 = 1,643 (kg)

Bước 3: Tính các tứ phân vị

n = 10 (số chẵn)

• Q₂ (trung vị): Trung bình của giá trị thứ 5 và thứ 6

Q₂ = (3,387 + 3,412)/2 = 3,3995

• Q₁: Trung vị của nửa dưới (5 giá trị: 2,593 ; 2,977 ; 3,155 ; 3,270 ; 3,387)

Q₁ = giá trị thứ 3 = 3,155

• Q₃: Trung vị của nửa trên (5 giá trị: 3,412 ; 3,813 ; 3,920 ; 4,042 ; 4,236)

Q₃ = giá trị thứ 3 = 3,920

Bước 4: Tính khoảng tứ phân vị Δ_Q

Δ_Q = Q₃ - Q₁ = 3,920 - 3,155 = 0,765 (kg)

Bước 5: Tính độ lệch chuẩn

Trung bình: x̄ = (2,593 + 2,977 + 3,155 + 3,270 + 3,387 + 3,412 + 3,813 + 3,920 + 4,042 + 4,236)/10

x̄ = 34,805/10 = 3,4805

Σ(xᵢ - x̄)² = 2,3948

s² = 2,3948/10 = 0,23948

s = √0,23948 ≈ 0,489 (kg)

---

Cách 2 — Dùng máy tính Casio fx-580VN X

💡 Mẹo bấm máy: - MODE → STAT → 1-VAR - Nhập 10 giá trị - Nhấn AC → SHIFT → STAT → Var - x̄ = 3,4805; σx ≈ 0,489

Kết quả:

• Khoảng biến thiên: R = 1,643 kg
• Khoảng tứ phân vị: Δ_Q = 0,765 kg
• Độ lệch chuẩn: s ≈ 0,489 kg

---

Bài 5.16

Đề bài: Tỉ lệ thất nghiệp ở một số quốc gia vào năm 2007 (đơn vị %) được cho như sau:

Hãy tìm các giá trị bất thường (nếu có) của mẫu số liệu trên.

---

Cách 1 — Phương pháp cơ bản

Bước 1: Sắp xếp dữ liệu tăng dần

n = 15 giá trị:
3,2 ; 3,6 ; 4,4 ; 4,5 ; 5,0 ; 5,4 ; 6,0 ; 6,7 ; 7,0 ; 7,2 ; 7,7 ; 7,8 ; 8,4 ; 8,6 ; 8,7

Bước 2: Tìm các tứ phân vị

• Q₂ (trung vị): Giá trị thứ 8 = 6,7

• Q₁: Trung vị của 7 giá trị đầu (3,2 ; 3,6 ; 4,4 ; 4,5 ; 5,0 ; 5,4 ; 6,0)

Q₁ = giá trị thứ 4 = 4,5

• Q₃: Trung vị của 7 giá trị cuối (7,0 ; 7,2 ; 7,7 ; 7,8 ; 8,4 ; 8,6 ; 8,7)

Q₃ = giá trị thứ 4 = 7,8

Bước 3: Tính khoảng tứ phân vị

Δ_Q = Q₃ - Q₁ = 7,8 - 4,5 = 3,3

Bước 4: Tính ngưỡng phát hiện giá trị bất thường

• Ngưỡng dưới: Q₁ - 1,5 × Δ_Q = 4,5 - 1,5 × 3,3 = 4,5 - 4,95 = -0,45
• Ngưỡng trên: Q₃ + 1,5 × Δ_Q = 7,8 + 1,5 × 3,3 = 7,8 + 4,95 = 12,75

Bước 5: Kiểm tra giá trị bất thường

Khoảng giá trị bình thường: [-0,45 ; 12,75]

Kiểm tra tất cả các giá trị trong mẫu:

• Giá trị nhỏ nhất: 3,2 > -0,45 ✓
• Giá trị lớn nhất: 8,7 < 12,75 ✓

Tất cả các giá trị đều nằm trong khoảng [-0,45 ; 12,75].

**