Giải Toán 10 - Tập 1 trang 90

🔍 Kiến thức cần nhớ

Các số đặc trưng của mẫu số liệu:

• Số trung bình (x̄): Tổng các giá trị chia cho số phần tử
• Trung vị (Me): Giá trị ở vị trí giữa khi sắp xếp tăng dần
• Mốt (Mo): Giá trị xuất hiện nhiều nhất
• Tứ phân vị: Q₁ (25%), Q₂ = Me (50%), Q₃ (75%)
• Khoảng biến thiên: R = x_max - x_min
• Khoảng tứ phân vị: IQR = Q₃ - Q₁
• Phương sai: s² = (1/n) × Σ(xᵢ - x̄)²
• Độ lệch chuẩn: s = √(s²)
• Độ chính xác d của cân: d = (độ chia nhỏ nhất)/2

---

⚙️ Bài tập

A – TRẮC NGHIỆM

---

Câu 5.17

Đề bài: Khi cân một bao gạo bằng một cân treo với thang chia 0,2 kg thì độ chính xác d là:

• A. 0,1 kg
• B. 0,2 kg
• C. 0,3 kg
• D. 0,4 kg

Cách 1 — Áp dụng công thức

Công thức: Độ chính xác d = (Độ chia nhỏ nhất)/2

Tính toán:

• Độ chia nhỏ nhất = 0,2 kg
• d = 0,2/2 = 0,1 kg

Đáp án: A. 0,1 kg ✓

Cách 2 — Suy luận nhanh

Độ chính xác luôn bằng một nửa độ chia → 0,2 ÷ 2 = 0,1 kg

💡 Mẹo nhớ: d = (độ chia)/2. Nhớ: "Chính xác bằng nửa chia"

---

Câu 5.18

Đề bài: Trong hai mẫu số liệu, mẫu nào có phương sai lớn hơn thì có độ lệch chuẩn lớn hơn, đúng hay sai?

• A. Đúng
• B. Sai

Cách 1 — Phân tích mối quan hệ

Công thức: s = √(s²)

Vì độ lệch chuẩn s là căn bậc hai của phương sai s², và hàm căn bậc hai là hàm đồng biến trên [0; +∞), nên:

• Nếu s₁² > s₂² (với s₁², s₂² ≥ 0) thì √(s₁²) > √(s₂²), tức s₁ > s₂

Đáp án: A. Đúng ✓

Cách 2 — Ví dụ cụ thể

• Mẫu 1: phương sai = 16 → độ lệch chuẩn = √16 = 4
• Mẫu 2: phương sai = 9 → độ lệch chuẩn = √9 = 3
• Phương sai lớn hơn (16 > 9) → độ lệch chuẩn lớn hơn (4 > 3) ✓

---

Câu 5.19

Đề bài: Có 25% giá trị của mẫu số liệu nằm giữa Q₁ và Q₃, đúng hay sai?

• A. Đúng
• B. Sai

Cách 1 — Phân tích định nghĩa tứ phân vị

Định nghĩa:

• Q₁ (tứ phân vị thứ nhất): 25% dữ liệu ≤ Q₁
• Q₃ (tứ phân vị thứ ba): 75% dữ liệu ≤ Q₃

Phần trăm giá trị nằm giữa Q₁ và Q₃:

= 75% - 25% = 50% (không phải 25%)

Đáp án: B. Sai ✓

Cách 2 — Hình dung phân bố

Chia dữ liệu thành 4 phần bằng nhau (mỗi phần 25%):

• Phần 1: từ min đến Q₁ (25%)
• Phần 2: từ Q₁ đến Q₂ (25%)
• Phần 3: từ Q₂ đến Q₃ (25%)
• Phần 4: từ Q₃ đến max (25%)

Giữa Q₁ và Q₃ có phần 2 + phần 3 = 50%

⚠️ Lưu ý thi: Khoảng tứ phân vị chứa 50% dữ liệu ở giữa, không phải 25%!

---

Câu 5.20

Đề bài: Số đặc trưng nào sau đây đo độ phân tán của mẫu số liệu?

• A. Số trung bình
• B. Mốt
• C. Trung vị
• D. Độ lệch chuẩn

Cách 1 — Phân loại số đặc trưng

Số đặc trưng đo xu thế trung tâm:

• Số trung bình (A)
• Mốt (B)
• Trung vị (C)

Số đặc trưng đo độ phân tán:

• Khoảng biến thiên
• Khoảng tứ phân vị
• Phương sai
• Độ lệch chuẩn (D) ✓

Đáp án: D. Độ lệch chuẩn ✓

Cách 2 — Loại trừ

A, B, C đều cho biết "giá trị đại diện/trung tâm" của dữ liệu, không đo sự phân tán.
Chỉ D (độ lệch chuẩn) đo mức độ "tản mát" của dữ liệu quanh giá trị trung bình.

---

Câu 5.21

Đề bài: Điểm trung bình môn học kì I một số môn học của bạn An là 8; 9; 7; 6; 5; 7; 3. Nếu An được cộng thêm mỗi môn 0,5 điểm chuyên cần thì các số đặc trưng nào sau đây của mẫu số liệu không thay đổi?

• A. Số trung bình
• B. Trung vị
• C. Độ lệch chuẩn
• D. Tứ phân vị

Cách 1 — Phân tích ảnh hưởng của phép cộng hằng số

Khi cộng thêm hằng số c vào mỗi giá trị (xᵢ → xᵢ + c):

Giải thích: Độ lệch chuẩn đo khoảng cách từ các giá trị đến trung bình. Khi tất cả giá trị cùng tăng c, trung bình cũng tăng c, nên khoảng cách (xᵢ - x̄) không đổi.

Đáp án: C. Độ lệch chuẩn ✓

Cách 2 — Tính cụ thể

Dữ liệu ban đầu: 8; 9; 7; 6; 5; 7; 3 (n = 7)

• x̄ = (8 + 9 + 7 + 6 + 5 + 7 + 3)/7 = 45/7 ≈ 6,43

Dữ liệu sau khi cộng 0,5: 8,5; 9,5; 7,5; 6,5; 5,5; 7,5; 3,5

• x̄' = (8,5 + 9,5 + 7,5 + 6,5 + 5,5 + 7,5 + 3,5)/7 = 48,5/7 ≈ 6,93

Độ lệch chuẩn không đổi vì (xᵢ + 0,5) - x̄' = xᵢ + 0,5 - (x̄ + 0,5) = xᵢ - x̄

💡 Mẹo nhớ: - Cộng/trừ hằng số → độ phân tán KHÔNG đổi - Nhân/chia hằng số k → độ lệch chuẩn nhân/chia |k|

---

B – TỰ LUẬN

---

Câu 5.22

Đề bài: Lương khởi điểm của 5 sinh viên vừa tốt nghiệp tại một trường đại học (đơn vị triệu đồng) là:
3,5 9,2 9,2 9,5 10,5

a) Giải thích tại sao nên dùng trung vị để thể hiện mức lương khởi điểm của sinh viên tốt nghiệp từ trường đại học này.

b) Nên dùng khoảng biến thiên hay khoảng tứ phân vị để đo độ phân tán? Vì sao?

---

Câu a)

Cách 1 — Phân tích số trung bình và trung vị

Bước 1: Sắp xếp dữ liệu tăng dần: 3,5; 9,2; 9,2; 9,5; 10,5

Bước 2: Tính số trung bình

x̄ = (3,5 + 9,2 + 9,2 + 9,5 + 10,5)/5 = 41,9/5 = 8,38 triệu đồng

Bước 3: Tìm trung vị
n = 5 (lẻ) → Me = giá trị thứ (5+1)/2 = 3
Me = 9,2 triệu đồng

Bước 4: Nhận xét và giải thích

Giá trị 3,5 triệu là giá trị ngoại lệ (outlier), thấp bất thường so với các giá trị còn lại.

• Số trung bình (8,38 triệu) bị kéo xuống bởi giá trị ngoại lệ, không phản ánh đúng mức lương phổ biến.
• Trung vị (9,2 triệu) không bị ảnh hưởng bởi giá trị ngoại lệ, đại diện tốt hơn cho mức lương khởi điểm điển hình.

Kết luận: Nên dùng trung vị vì nó ít bị ảnh hưởng bởi giá trị ngoại lệ, phản ánh chính xác hơn mức lương khởi điểm của phần lớn sinh viên.

Cách 2 — So sánh trực quan

4/5 sinh viên có lương từ 9,2 đến 10,5 triệu. Chỉ 1 sinh viên có lương 3,5 triệu (ngoại lệ).

• Trung bình = 8,38 triệu → thấp hơn lương của 4/5 sinh viên!
• Trung vị = 9,2 triệu → nằm trong khoảng lương phổ biến ✓

---

Câu b)

Cách 1 — So sánh hai độ đo

Tính khoảng biến thiên:

R = x_max - x_min = 10,5 - 3,5 = 7 triệu đồng

Tính khoảng tứ phân vị:
Dữ liệu: 3,5; 9,2; 9,2; 9,5; 10,5 (n = 5)

• Q₁ = giá trị thứ (5+1)/4 = 1,5 → Q₁ = (3,5 + 9,2)/2 = 6,35
• Q₃ = giá trị thứ 3×(5+1)/4 = 4,5 → Q₃ = (9,5 + 10,5)/2 = 10

IQR = Q₃ - Q₁ = 10 - 6,35 = 3,65 triệu đồng

Phân tích:

• Khoảng biến thiên R = 7 triệu bị ảnh hưởng mạnh bởi giá trị ngoại lệ 3,5
• Khoảng tứ phân vị IQR = 3,65 triệu phản ánh độ phân tán của 50% dữ liệu ở giữa

Kết luận: Nên dùng khoảng tứ phân vị vì nó không bị ảnh hưởng bởi giá trị ngoại lệ, cho thấy độ phân tán thực sự của mức lương.

Cách 2 — Nguyên tắc chung

Khi có giá trị ngoại lệ:

• Dùng trung vị thay vì trung bình
• Dùng khoảng tứ phân vị thay vì khoảng biến thiên

💡 Mẹo nhớ: Có ngoại lệ → dùng "tứ" (trung vị, tứ phân vị) để "vô hiệu hóa" ngoại lệ!

---

Câu 5.23

Đề bài: Điểm Toán và điểm Tiếng Anh của 11 học sinh lớp 10 được cho trong bảng sau:

Hãy so sánh mức độ học đều của học sinh trong môn Tiếng Anh và môn Toán thông qua các số đặc trưng: khoảng biến thiên, khoảng tứ phân vị, độ lệch chuẩn.

---

Cách 1 — Tính toán chi tiết từng môn

MÔN TOÁN:

Bước 1: Sắp xếp tăng dần
5; 31; 37; 43; 43; 57; 62; 63; 78; 80; 91 (n = 11)

Bước 2: Tính khoảng biến thiên

R_Toán = x_max - x_min = 91 - 5 = 86 điểm

Bước 3: Tìm tứ phân vị

• Q₂ (trung vị) = giá trị thứ 6 = 57
• Q₁ = trung vị nửa dưới (5; 31; 37; 43; 43) = 37
• Q₃ = trung vị nửa trên (62; 63; 78; 80; 91) = 78

Bước 4: Tính khoảng tứ phân vị

IQR_Toán = Q₃ - Q₁ = 78 - 37 = 41 điểm

Bước 5: Tính độ lệch chuẩn

x̄_Toán = (62 + 91 + 43 + 31 + 57 + 63 + 80 + 37 + 43 + 5 + 78)/11 = 590/11 ≈ 53,64

Tính phương sai:

s²_Toán = [(62-53,64)² + (91-53,64)² + (43-53,64)² + (31-53,64)² + (57-53,64)² + (63-53,64)² + (80-53,64)² + (37-53,64)² + (43-53,64)² + (5-53,64)² + (78-53,64)²]/11

= [69,87 + 1395,19 + 113,21 + 513,03 + 11,29 + 87,61 + 694,58 + 276,82 + 113,21 + 2365,01 + 593,67]/11

= 6233,49/11 ≈ 566,68

s_Toán = √566,68 ≈ 23,81 điểm

---

MÔN TIẾNG ANH:

Bước 1: Sắp xếp tăng dần
37; 41; 49; 55; 57; 62; 64; 65; 65; 70; 73 (n = 11)

Bước 2: Tính khoảng biến thiên

R_TA = 73 - 37 = 36 điểm

Bước 3: Tìm tứ phân vị

• Q₂ (trung vị) = giá trị thứ 6 = 62
• Q₁ = trung vị nửa dưới (37; 41; 49; 55; 57) = 49
• Q₃ = trung vị nửa trên (64; 65; 65; 70; 73) = 65

Bước 4: Tính khoảng tứ phân vị

IQR_TA = 65 - 49 = 16 điểm

Bước 5: Tính độ lệch chuẩn

x̄_TA = (65 + 57 + 55 + 37 + 62 + 70 + 73 + 49 + 65 + 41 + 64)/11 = 638/11 ≈ 58

s²_TA = [(65-58)² + (57-58)² + (55-58)² + (37-58)² + (62-58)² + (70-58)² + (73-58)² + (49-58)² + (65-58)² + (41-58)² + (64-58)²]/11

= [49 + 1 + 9 + 441 + 16 + 144 + 225 + 81 + 49 + 289 + 36]/11

= 1340/11 ≈ 121,82

s_TA = √121,82 ≈ 11,04 điểm

---

BẢNG SO SÁNH:

KẾT LUẬN:

Cả ba số đặc trưng đo độ phân tán của môn Toán đều lớn hơn môn Tiếng Anh:

• R_Toán = 86 > R_TA = 36
• IQR_Toán = 41 > IQR_TA = 16
• s_Toán ≈ 23,81 > s_TA ≈ 11,04

→ Học sinh học môn Tiếng Anh đều hơn môn Toán (điểm Tiếng Anh ít phân tán hơn, tập trung hơn quanh giá trị trung bình).

Cách 2 — Dùng máy tính Casio fx-580VN X

💡 Mẹo bấm máy:

Nhập dữ liệu:

1. Bấm MENU → chọn 6: Statistics → chọn 1: 1-Variable
2. Nhập từng giá trị, mỗi giá trị bấm = để xác nhận

Xem kết quả:

• Bấm OPTN → 1: 1-Variable Calc
• Xem: x̄ (trung bình), σx hoặc sx (độ lệch chuẩn), minX, maxX

Tính R: R = maxX - minX (tính nhẩm)

---

Câu 5.24

Đề bài: Bảng sau cho biết dân số của các tỉnh/thành phố Đồng bằng Bắc Bộ năm 2018 (đơn vị triệu người):

a) Tìm số trung bình và trung vị của mẫu số liệu trên.
b) Giải thích tại sao số trung bình và trung vị lại có sự sai khác nhiều.
c) Nên sử dụng số trung bình hay trung vị để đại diện cho dân số của các tỉnh thuộc Đồng bằng Bắc Bộ?

---

Câu a)

Cách 1 — Tính toán thủ công

Bước 1: Liệt kê dữ liệu
7,52; 1,09; 1,25; 1,27; 1,81; 2,01; 1,19; 1,79; 0,81; 1,85; 0,97 (n = 11)

Bước 2: Tính số trung bình

x̄ = (7,52 + 1,09 + 1,25 + 1,27 + 1,81 + 2,01 + 1,19 + 1,79 + 0,81 + 1,85 + 0,97)/11
x̄ = 21,56/11 ≈ 1,96 triệu người

Bước 3: Tìm trung vị
Sắp xếp tăng dần: 0,81; 0,97; 1,09; 1,19; 1,25; 1,27; 1,79; 1,81; 1,85; 2,01; 7,52

n = 11 (lẻ) → Me = giá trị thứ (11+1)/2 = 6

Me = 1,27 triệu người

Cách 2 — Dùng máy tính

💡 Mẹo bấm máy: MENU → 6 → 1 → nhập 11 giá trị → OPTN → 1 → xem x̄

---

Câu b)

Giải thích sự sai khác:

Số trung bình (1,96 triệu) lớn hơn nhiều so với trung vị (1,27 triệu) vì:

• Hà Nội có dân số 7,52 triệu người - đây là giá trị ngoại lệ (outlier), lớn hơn rất nhiều so với các tỉnh còn lại.
• 10 tỉnh/thành phố còn lại có dân số từ 0,81 đến 2,01 triệu.
• Giá trị ngoại lệ Hà Nội kéo số trung bình lên cao, nhưng không ảnh hưởng đến trung vị.

Kết luận: Sự sai khác lớn giữa trung bình và trung vị là dấu hiệu cho thấy mẫu số liệu có giá trị ngoại lệ.

---

Câu c)

Nên sử dụng TRUNG VỊ để đại diện cho dân số các tỉnh thuộc Đồng bằng Bắc Bộ.

Lý do:

1. Hà Nội là thủ đô với quy mô dân số đặc biệt (7,52 triệu), vượt trội so với các tỉnh khác.
2. Số trung bình (1,96 triệu) không đại diện đúng cho dân số điển hình - thực tế có đến 8/11 tỉnh có dân số dưới 1,96 triệu.
3. Trung vị (1,27 triệu) phản ánh chính xác hơn mức dân số phổ biến của các tỉnh trong vùng.

⚠️ Lưu ý thi: Khi có giá trị ngoại lệ, luôn ưu tiên dùng trung vị!

---

Câu 5.25

Đề bài: Hai mẫu số liệu sau đây cho biết số lượng trường Trung học phổ thông ở mỗi tỉnh/thành phố thuộc Đồng bằng sông Hồng và Đồng bằng sông Cửu Long năm 2017:

• Đồng bằng sông Hồng: 187; 34; 35; 46; 54; 57; 37; 39; 23; 57; 27
• Đồng bằng sông Cửu Long: 33; 34; 33; 29; 24; 39; 42; 24; 23; 19; 24; 15; 26

a) Tính số trung bình, trung vị, các tứ phân vị, mốt, khoảng biến thiên, khoảng tứ phân vị, độ lệch chuẩn cho mỗi mẫu số liệu trên.

b) Tại sao số trung bình của hai mẫu số liệu có sự sai khác nhiều trong khi trung vị thì không?

c) Tại sao khoảng biến thiên và độ lệch chuẩn của hai mẫu số liệu khác nhau nhiều trong khi khoảng tứ phân vị thì không?

---

Câu a)

ĐỒNG BẰNG SÔNG HỒNG (n = 11):

Bước 1: Sắp xếp tăng dần
23; 27; 34; 35; 37; 39; 46; 54; 57; 57; 187

Bước 2: Tính số trung bình

x̄ = (187 + 34 + 35 + 46 + 54 + 57 + 37 + 39 + 23 + 57 + 27)/11 = 596/11 ≈ 54,18 trường

Bước 3: Tìm