Giải Toán 10 - Tập 1 trang 98
Lời giải chi tiết SGK Lớp 10 · Môn ToĂ¡n · Trang 98–99
Đặc điểm của trang này: phần lớn là các hoạt động (HĐ) yêu cầu tự thu thập dữ liệu thực tế từ lớp học, nên bảng còn để trống. Mình sẽ hướng dẫn cách làm cho từng hoạt động, rồi giải trọn vẹn ví dụ mẫu có số liệu thật ở mục "Góc công nghệ thông tin".
Tóm tắt lý thuyết cần dùng
Với một mẫu số liệu, ta thường tính các số đặc trưng:
Số đo xu thế trung tâm:
- Số trung bình: $\bar{x} = \dfrac{x_1 + x_2 + \dots + x_n}{n}$
- Trung vị $M_e$ (giá trị giữa khi sắp thứ tự)
- Mốt $M_o$ (giá trị xuất hiện nhiều nhất)
- Tứ phân vị $Q_1, Q_2, Q_3$
Số đo độ phân tán:
- Khoảng biến thiên: $R = x_{\max} - x_{\min}$
- Khoảng tứ phân vị: $\Delta_Q = Q_3 - Q_1$
- Phương sai $s^2$ và độ lệch chuẩn $s = \sqrt{s^2}$
Bài HĐ1: Thu thập dữ liệu
Đề: Dùng phiếu khảo sát theo mẫu, thu thập ít nhất 30 phiếu và ghi lại dữ liệu theo bảng mẫu (Hình T.3) gồm các cột: STT, Giới tính, Thời gian dùng mạng xã hội (phút/ngày), Lợi ích, Bất lợi.
Hướng dẫn:
- Phát phiếu cho ít nhất 30 bạn.
- Mỗi phiếu ghi: giới tính, số phút dùng mạng/ngày, đánh số lựa chọn lợi ích và bất lợi mà bạn đó chọn.
- Đây là bước thu thập dữ liệu thực tế, không có đáp án cố định.
Bài HĐ2: Lợi ích và bất lợi của mạng xã hội
Đề:
- a) Lập bảng tần số ý kiến về lợi ích/bất lợi (Bảng T.1): Kết nối với bạn bè – Giải trí – Thu thập thông tin – Tìm hiểu thế giới xung quanh.
- b) Rút ra nhận xét từ bảng tần số.
Hướng dẫn:
- a) Đếm xem mỗi ý kiến có bao nhiêu bạn chọn, điền vào dòng "Số học sinh". Tổng các cột bằng số phiếu thu được.
- b) Nhận xét: ý kiến nào được chọn nhiều nhất, ít nhất → cho thấy đa số học sinh coi trọng lợi ích/bất lợi nào của mạng xã hội.
Bài HĐ3: Tính các số đặc trưng về thời gian sử dụng
Đề: Tính các số đo thống kê trong Bảng T.2 (Giá trị nhỏ nhất, $Q_1$, Số trung bình, Trung vị, $Q_3$, Mốt, Giá trị lớn nhất) cho mẫu số liệu về thời gian sử dụng mạng xã hội, rồi nêu nhận xét.
Hướng dẫn: Sắp xếp toàn bộ số liệu theo thứ tự tăng dần rồi áp dụng công thức từng đại lượng. Sau đó nhận xét: phần lớn học sinh dùng mạng khoảng bao nhiêu phút, có bạn dùng quá nhiều hay không (so sánh max với trung vị).
Bài HĐ4: So sánh học sinh nam và học sinh nữ
Đề:
- a) Tính số trung bình, trung vị, tứ phân vị thời gian dùng mạng cho hai nhóm nam – nữ để so sánh (Bảng T.3).
- b) Tính các số đo độ phân tán (khoảng biến thiên, khoảng tứ phân vị, độ lệch chuẩn) để so sánh sự biến động (Bảng T.4).
Hướng dẫn:
- Tách dữ liệu thành 2 nhóm theo giới tính rồi tính riêng từng nhóm.
- So sánh: nhóm nào trung bình/trung vị cao hơn thì dùng mạng nhiều hơn; nhóm nào độ lệch chuẩn (hoặc khoảng tứ phân vị) lớn hơn thì thời gian dùng phân tán, không đồng đều hơn.
Bài Góc công nghệ thông tin: Ví dụ mẫu có lời giải đầy đủ
Đây là phần có số liệu cụ thể, mình giải chi tiết để bạn kiểm tra lại kết quả máy tính.
Mẫu số liệu (thời gian dùng mạng, phút):
$$60,\ 90,\ 120,\ 60,\ 15,\ 50,\ 80,\ 30,\ 120,\ 90 \quad (n = 10)$$
1) Số trung bình
$$\bar{x} = \frac{60+90+120+60+15+50+80+30+120+90}{10} = \frac{715}{10} = 71{,}5$$
Khớp với màn hình máy tính: 71,5. ✓
2) Độ lệch chuẩn (theo công thức $\sigma$, chia cho $n$)
Tính tổng bình phương độ lệch so với $\bar{x} = 71{,}5$:
| $x_i$ | $x_i - \bar{x}$ | $(x_i-\bar{x})^2$ |
|---|---|---|
| 60 | -11,5 | 132,25 |
| 90 | 18,5 | 342,25 |
| 120 | 48,5 | 2352,25 |
| 60 | -11,5 | 132,25 |
| 15 | -56,5 | 3192,25 |
| 50 | -21,5 | 462,25 |
| 80 | 8,5 | 72,25 |
| 30 | -41,5 | 1722,25 |
| 120 | 48,5 | 2352,25 |
| 90 | 18,5 | 342,25 |
| Tổng | 11102,5 |
Phương sai và độ lệch chuẩn:
$$\sigma^2 = \frac{11102{,}5}{10} = 1110{,}25 \quad\Rightarrow\quad \sigma = \sqrt{1110{,}25} \approx 33{,}32041416$$
Khớp màn hình: σx = 33,32041416. ✓
3) Độ lệch chuẩn hiệu chỉnh (chia cho $n-1$)
$$\hat{s} = \sqrt{\frac{11102{,}5}{10-1}} = \sqrt{\frac{11102{,}5}{9}} = \sqrt{1233{,}61\ldots} \approx 35{,}12280045$$
Khớp kết quả sách: $\hat{s} = 35{,}12280045$. ✓
Vì sao có hai kết quả? Khi ấn SHIFT 1 4 3 máy tính cho $\sigma$ (chia cho $n$, độ lệch chuẩn của tổng thể), còn ấn SHIFT 1 4 4 cho $\hat{s}$ (chia cho $n-1$, độ lệch chuẩn mẫu hiệu chỉnh). Trong chương trình Toán 10, đại lượng chuẩn dùng để mô tả mẫu là $s$ với mẫu số $n$.
Tính thêm các số đặc trưng khác cho ví dụ này
Sắp xếp tăng dần: $15, 30, 50, 60, 60, 80, 90, 90, 120, 120$.
- Giá trị nhỏ nhất: $x_{\min} = 15$
- Giá trị lớn nhất: $x_{\max} = 120$
- Trung vị: $M_e = \dfrac{60+80}{2} = 70$ (trung bình hai số giữa)
- $Q_1$: trung vị nửa dưới $\{15,30,50,60,60\}$ là $50$
- $Q_3$: trung vị nửa trên $\{80,90,90,120,120\}$ là $90$
- Mốt: các giá trị $60, 90, 120$ đều xuất hiện 2 lần → mẫu có nhiều mốt
- Khoảng biến thiên: $R = 120 - 15 = 105$
- Khoảng tứ phân vị: $\Delta_Q = Q_3 - Q_1 = 90 - 50 = 40$
Tóm lại, các HĐ1–HĐ4 cần bạn thu thập số liệu thật của lớp rồi điền vào bảng, còn phần "Góc công nghệ thông tin" mình đã giải trọn vẹn để bạn đối chiếu với máy tính. Nếu bạn gửi bảng số liệu khảo sát thực tế, mình sẽ tính giúp toàn bộ các bảng T.1 đến T.4 luôn nhé.