Giải Toán 10 - Tập 1 trang 14
Lời giải chi tiết SGK Lớp 10 · Môn ToĂ¡n · Trang 14–15
🔍 Kiến thức cần nhớ
1. Cách mô tả tập hợp
- Cách 1: Liệt kê các phần tử của tập hợp
- Cách 2: Chỉ ra tính chất đặc trưng cho các phần tử của tập hợp
2. Ký hiệu
- a ∈ S: phần tử a thuộc tập hợp S
- a ∉ S: phần tử a không thuộc tập hợp S
- n(S): số phần tử của tập hợp S
3. Tập rỗng
- Tập hợp không chứa phần tử nào được gọi là tập rỗng, kí hiệu là ∅
4. Tập hợp con
- Nếu mọi phần tử của tập hợp T đều là phần tử của tập hợp S thì ta nói T là tập hợp con của S, viết là T ⊂ S
- Quy ước: Tập rỗng là tập con của mọi tập hợp
5. Hai tập hợp bằng nhau
- Hai tập hợp S và T được gọi là bằng nhau nếu mỗi phần tử của T cũng là phần tử của S và ngược lại
- Kí hiệu: S = T
- Nếu S ⊂ T và T ⊂ S thì S = T
⚙️ Bài tập
HĐ2 (Hoạt động 2)
Đề bài: Cho tập hợp:
C = {châu Á; châu Âu; châu Đại Dương; châu Mỹ; châu Nam Cực; châu Phi}
a) Hãy chỉ ra tính chất đặc trưng cho các phần tử của tập hợp C.
b) Tập hợp C có bao nhiêu phần tử?
Cách 1 — Phương pháp trực tiếp
a) Tính chất đặc trưng:
Quan sát các phần tử của tập hợp C, ta thấy đây là các châu lục trên Trái Đất.
Tính chất đặc trưng: C là tập hợp các châu lục trên thế giới.
Ta có thể viết: C = {x | x là một châu lục trên Trái Đất}
b) Số phần tử của tập hợp C:
Đếm các phần tử trong tập hợp C:
- châu Á
- châu Âu
- châu Đại Dương
- châu Mỹ
- châu Nam Cực
- châu Phi
Kết luận: Tập hợp C có 6 phần tử, hay n(C) = 6.
Cách 2 — Phương pháp liên hệ kiến thức địa lý
Theo kiến thức địa lý, Trái Đất có 6 châu lục (một số tài liệu chia châu Mỹ thành Bắc Mỹ và Nam Mỹ thành 7 châu).
Tập hợp C liệt kê đúng 6 châu lục nên:
- Tính chất đặc trưng: các châu lục trên Trái Đất
- Số phần tử: n(C) = 6
💡 Mẹo nhớ: Khi tìm tính chất đặc trưng, hãy tự hỏi "Các phần tử này có điểm gì chung?"
Luyện tập 1
Đề bài: Gọi X là tập nghiệm của phương trình:
x² − 24x + 143 = 0
Các mệnh đề sau đúng hay sai?
a) 13 ∈ X
b) 11 ∉ X
c) n(X) = 2
Cách 1 — Giải phương trình bậc hai bằng công thức nghiệm
Bước 1: Giải phương trình x² − 24x + 143 = 0
Phương trình có dạng ax² + bx + c = 0 với a = 1, b = −24, c = 143
Tính biệt thức Delta:
Δ = b² − 4ac = (−24)² − 4×1×143 = 576 − 572 = 4 > 0
Phương trình có 2 nghiệm phân biệt:
x₁ = (−b + √Δ)/(2a) = (24 + 2)/2 = 26/2 = 13
x₂ = (−b − √Δ)/(2a) = (24 − 2)/2 = 22/2 = 11
Bước 2: Viết tập nghiệm
X = {11; 13}
Bước 3: Xét các mệnh đề
a) 13 ∈ X
- 13 là nghiệm của phương trình, nên 13 thuộc tập X
- Mệnh đề ĐÚNG ✓
b) 11 ∉ X
- 11 là nghiệm của phương trình, nên 11 ∈ X
- Mệnh đề "11 ∉ X" khẳng định 11 không thuộc X, điều này sai
- Mệnh đề SAI ✗
c) n(X) = 2
- Tập X có 2 phần tử là 11 và 13
- Mệnh đề ĐÚNG ✓
Cách 2 — Phương pháp Viète (nhanh)
Với phương trình x² − 24x + 143 = 0, áp dụng hệ thức Viète:
- Tổng hai nghiệm: x₁ + x₂ = 24
- Tích hai nghiệm: x₁ × x₂ = 143
Nhận xét: 143 = 11 × 13 và 11 + 13 = 24 ✓
Vậy hai nghiệm là 11 và 13, tức X = {11; 13}
Kết luận:
- a) ĐÚNG
- b) SAI
- c) ĐÚNG
💡 Mẹo bấm máy (Casio fx-580VN X): - Bấm: MODE → 5 (EQN) → 3 (ax² + bx + c = 0) - Nhập: a = 1, b = −24, c = 143 - Máy cho kết quả: x₁ = 13, x₂ = 11
⚠️ Lưu ý thi: Khi đề cho tập nghiệm của phương trình, nhớ giải phương trình trước rồi mới xét các mệnh đề!
HĐ3 (Hoạt động 3)
Đề bài: Gọi H là tập hợp các bạn tham gia Chuyên đề 2 trong tình huống mở đầu có tên bắt đầu bằng chữ H. Các phần tử của tập hợp H có là phần tử của tập hợp B trong HĐ1 không?
Cách 1 — Phân tích trực tiếp
Phân tích đề bài:
- Tập H: các bạn tham gia Chuyên đề 2 có tên bắt đầu bằng chữ H
- Tập B (từ HĐ1): tập hợp các bạn tham gia Chuyên đề 2
Lập luận:
- Mọi phần tử của tập H đều là bạn tham gia Chuyên đề 2 (vì H chỉ lọc ra những bạn có tên bắt đầu bằng chữ H từ nhóm Chuyên đề 2)
- Do đó, mọi phần tử của H đều thuộc B
Kết luận: Có, các phần tử của tập hợp H đều là phần tử của tập hợp B.
Hay nói cách khác: H ⊂ B (H là tập con của B)
Cách 2 — Dùng định nghĩa tập hợp con
Theo định nghĩa tập hợp con:
- Nếu mọi phần tử của tập H đều là phần tử của tập B thì H ⊂ B
Vì H được tạo bằng cách lọc từ B (chỉ lấy những bạn có tên bắt đầu bằng H), nên hiển nhiên:
- Mọi x ∈ H đều thỏa mãn x ∈ B
Kết luận: H là tập con của B, tức H ⊂ B.
💡 Mẹo nhớ: Khi một tập hợp được tạo bằng cách thêm điều kiện lọc từ tập khác, tập mới luôn là tập con của tập ban đầu.
HĐ4 (Hoạt động 4)
Đề bài: Sơn và Thu viết tập hợp các số chính phương nhỏ hơn 100 như sau:
- Sơn: S = {0; 1; 4; 9; 16; 25; 36; 49; 64; 81}
- Thu: T = {n ∈ ℕ | n là số chính phương; n < 100}
Hỏi bạn nào viết đúng?
Cách 1 — Kiểm tra từng tập hợp
Kiến thức cần nhớ: Số chính phương là số có dạng k² với k ∈ ℕ (k = 0, 1, 2, 3, ...)
Liệt kê các số chính phương nhỏ hơn 100:
- 0² = 0
- 1² = 1
- 2² = 4
- 3² = 9
- 4² = 16
- 5² = 25
- 6² = 36
- 7² = 49
- 8² = 64
- 9² = 81
- 10² = 100 (không thỏa mãn vì = 100, không nhỏ hơn 100)
Vậy các số chính phương nhỏ hơn 100 là: {0; 1; 4; 9; 16; 25; 36; 49; 64; 81}
Kiểm tra:
- Tập S của Sơn liệt kê đúng các số trên ✓
- Tập T của Thu mô tả bằng tính chất đặc trưng, cũng chính xác ✓
Kết luận: Cả hai bạn đều viết đúng.
Đây là hai cách mô tả khác nhau cho cùng một tập hợp, nên S = T.
Cách 2 — Dùng định nghĩa hai tập hợp bằng nhau
Để S = T, cần chứng minh:
- Mọi phần tử của S đều thuộc T: Mỗi số trong S đều là số chính phương và nhỏ hơn 100 ✓
- Mọi phần tử của T đều thuộc S: Mọi số chính phương nhỏ hơn 100 đều được liệt kê trong S ✓
Vậy S = T, cả hai bạn đều đúng.
⚠️ Lưu ý thi: Có hai cách viết tập hợp (liệt kê và chỉ tính chất đặc trưng) đều hợp lệ nếu mô tả đúng cùng một tập hợp.
🎯 Ghi nhớ
- Hai cách mô tả tập hợp: Liệt kê phần tử hoặc nêu tính chất đặc trưng
- Ký hiệu quan trọng: ∈ (thuộc), ∉ (không thuộc), ⊂ (tập con), ∅ (tập rỗng)
- Số phần tử: Kí hiệu n(S) là số phần tử của tập S
- Tập con: T ⊂ S khi mọi phần tử của T đều thuộc S
- Hai tập bằng nhau: S = T khi S ⊂ T và T ⊂ S
- Tập rỗng: Là tập con của mọi tập hợp