Giải Toán 10 - Tập 1 trang 16

🔍 Kiến thức cần nhớ

Các tập hợp số

• ℕ (số tự nhiên): ℕ = {0; 1; 2; 3; 4; ...}
• ℤ (số nguyên): ℤ = {...; -3; -2; -1; 0; 1; 2; 3; ...}
• ℚ (số hữu tỉ): Gồm các số viết được dưới dạng a/b với a, b ∈ ℤ, b ≠ 0
• ℝ (số thực): Gồm số hữu tỉ và số vô tỉ

Mối quan hệ

ℕ ⊂ ℤ ⊂ ℚ ⊂ ℝ

Các tập con thường dùng của ℝ

• Khoảng: (a; b), (a; +∞), (-∞; b), (-∞; +∞)
• Đoạn: [a; b]
• Nửa khoảng: [a; b), (a; b], [a; +∞), (-∞; b]

---

⚙️ Bài tập

---

Luyện tập 2

Đề bài: Giả sử C là tập hợp các hình bình hành có hai đường chéo vuông góc; D là tập hợp các hình vuông. Các mệnh đề sau đúng hay sai?

a) C ⊂ D;
b) C ⊃ D;
c) C = D.

Cách 1 — Phân tích tính chất hình học

Phân tích:

• Tập C: Hình bình hành có hai đường chéo vuông góc → Đây là hình thoi (vì hình bình hành có 2 đường chéo vuông góc là hình thoi)
• Tập D: Hình vuông

Mối quan hệ:

• Hình vuông là hình thoi đặc biệt (có thêm 4 góc vuông)
• Mọi hình vuông đều là hình thoi, nhưng không phải hình thoi nào cũng là hình vuông

Xét từng mệnh đề:

a) C ⊂ D → SAI

• C ⊂ D nghĩa là mọi hình thoi đều là hình vuông
• Điều này sai vì có những hình thoi không phải hình vuông (ví dụ: hình thoi có góc 60° và 120°)

b) C ⊃ D → ĐÚNG

• C ⊃ D nghĩa là D ⊂ C, tức mọi hình vuông đều là hình thoi
• Điều này đúng vì hình vuông có 2 đường chéo vuông góc nên là hình bình hành có 2 đường chéo vuông góc

c) C = D → SAI

• C = D nghĩa là tập hình thoi bằng tập hình vuông
• Điều này sai vì D ⊂ C nhưng D ≠ C

Cách 2 — Dùng ví dụ phản chứng

• Hình thoi có cạnh 5cm, góc 60°: thuộc C nhưng không thuộc D
• Hình vuông cạnh 4cm: thuộc cả C và D

→ D ⊂ C nhưng C ≠ D, nên chỉ b) đúng

🎯 Ghi nhớ: Hình vuông ⊂ Hình thoi ⊂ Hình bình hành

---

H05

Đề bài: Các mệnh đề sau đúng hay sai?
a) Mọi số nguyên đều viết được dưới dạng phân số;
b) Tập hợp các số thực chứa tập hợp các số hữu tỉ;
c) Tồn tại một số thực không là số hữu tỉ.

Cách 1 — Áp dụng định nghĩa các tập hợp số

a) Mọi số nguyên đều viết được dưới dạng phân số → ĐÚNG

Với mọi số nguyên n ∈ ℤ, ta có thể viết: n = n/1

Ví dụ: 5 = 5/1; -3 = -3/1; 0 = 0/1

Vì n ∈ ℤ và 1 ∈ ℤ, 1 ≠ 0 nên n/1 là phân số hợp lệ.

b) Tập hợp các số thực chứa tập hợp các số hữu tỉ → ĐÚNG

Ta có: ℚ ⊂ ℝ (số hữu tỉ là tập con của số thực)

Điều này đúng theo định nghĩa: ℝ = ℚ ∪ (tập số vô tỉ)

c) Tồn tại một số thực không là số hữu tỉ → ĐÚNG

Các số vô tỉ là số thực nhưng không phải số hữu tỉ.

Ví dụ: √2, √3, π, e đều là số thực nhưng không phải số hữu tỉ.

Cách 2 — Dùng sơ đồ Venn

Từ sơ đồ: ℕ ⊂ ℤ ⊂ ℚ ⊂ ℝ

• a) ℤ ⊂ ℚ → Đúng
• b) ℚ ⊂ ℝ → Đúng
• c) ℝ \ ℚ ≠ ∅ (tồn tại số vô tỉ) → Đúng

💡 Mẹo nhớ: Số vô tỉ = số thập phân vô hạn không tuần hoàn (√2 ≈ 1,41421356...)

---

Luyện tập 3

Đề bài: Cho tập hợp C = {-4; 0; 1; 2}. Các mệnh đề sau đúng hay sai?
a) C là tập con của ℤ;
b) C là tập con của ℕ;
c) C là tập con của ℝ.

Cách 1 — Kiểm tra từng phần tử

a) C ⊂ ℤ → ĐÚNG

Kiểm tra: -4 ∈ ℤ ✓, 0 ∈ ℤ ✓, 1 ∈ ℤ ✓, 2 ∈ ℤ ✓

Tất cả phần tử của C đều thuộc ℤ → C ⊂ ℤ

b) C ⊂ ℕ → SAI

Kiểm tra: -4 ∈ ℕ? → KHÔNG (vì ℕ = {0; 1; 2; 3; ...} chỉ gồm số không âm)

Vì -4 ∈ C nhưng -4 ∉ ℕ → C không phải tập con của ℕ

c) C ⊂ ℝ → ĐÚNG

Vì ℤ ⊂ ℝ và C ⊂ ℤ → C ⊂ ℝ

Hoặc kiểm tra trực tiếp: -4, 0, 1, 2 đều là số thực.

Cách 2 — Dùng mối quan hệ bao hàm

Ta có: ℕ ⊂ ℤ ⊂ ℚ ⊂ ℝ

• C có phần tử -4 < 0 → C ⊄ ℕ
• C ⊂ ℤ (tất cả là số nguyên) → C ⊂ ℤ ⊂ ℝ

⚠️ Lưu ý thi: Chỉ cần 1 phần tử không thuộc tập lớn hơn là đủ kết luận "không là tập con"

---

H06

Đề bài: Cho hai tập hợp C = {x ∈ ℝ | x ≥ 3} và D = {x ∈ ℝ | x > 3}. Các mệnh đề sau đúng hay sai?
a) C, D là các tập con của ℝ;
b) ∀x, x ∈ C ⇒ x ∈ D;
c) 3 ∈ C nhưng 3 ∉ D;
d) C = D.

Cách 1 — Phân tích định nghĩa tập hợp

Viết lại:

• C = [3; +∞) = {3, 3.1, 4, 5, ...} (bao gồm 3)
• D = (3; +∞) = {3.1, 4, 5, ...} (không bao gồm 3)

a) C, D là các tập con của ℝ → ĐÚNG

Cả C và D đều được định nghĩa là tập hợp các x ∈ ℝ thỏa điều kiện → C ⊂ ℝ và D ⊂ ℝ

b) ∀x, x ∈ C ⇒ x ∈ D → SAI

Phản ví dụ: x = 3

• 3 ∈ C (vì 3 ≥ 3) ✓
• 3 ∈ D? (cần 3 > 3) → KHÔNG ✗

Vậy tồn tại x ∈ C mà x ∉ D → mệnh đề sai

c) 3 ∈ C nhưng 3 ∉ D → ĐÚNG

• 3 ≥ 3 → 3 ∈ C ✓
• 3 > 3 là sai → 3 ∉ D ✓

d) C = D → SAI

Vì 3 ∈ C nhưng 3 ∉ D → C ≠ D

Thực tế: D ⊂ C và D ≠ C

Cách 2 — Biểu diễn trên trục số

C = [3; +∞):    [========→
                3

D = (3; +∞):    (========→
                3

Điểm khác biệt duy nhất: số 3 thuộc C nhưng không thuộc D.

💡 Mẹo nhớ: Dấu [ hoặc ] → bao gồm điểm mút (≤ hoặc ≥); Dấu ( hoặc ) → không bao gồm (< hoặc >)

---

Luyện tập 4

Đề bài: Hãy ghép mỗi dòng ở cột bên trái với một dòng thích hợp ở cột bên phải.

Cách 1 — Áp dụng định nghĩa khoảng, đoạn, nửa khoảng

1) x ∈ [2; 5]

[2; 5] là đoạn → bao gồm cả 2 đầu mút
→ 2 ≤ x ≤ 5 → Ghép với d)

2) x ∈ (2; 5]

(2; 5] là nửa khoảng → không gồm 2, có gồm 5
→ 2 < x ≤ 5 → Ghép với a)

3) x ∈ [7; +∞)

[7; +∞) là nửa khoảng → bao gồm 7, kéo dài đến +∞
→ x ≥ 7 → Ghép với b)

4) x ∈ (7; 10)

(7; 10) là khoảng → không gồm 7 và 10
→ 7 < x < 10 → Ghép với c)

Cách 2 — Quy tắc nhanh

Kết quả:

• 1 → d
• 2 → a
• 3 → b
• 4 → c

⚠️ Lưu ý thi: Đáp án e) (2 ≤ x < 5) tương ứng với [2; 5) - không có trong cột trái

---

H07

Đề bài: Viết tập hợp X gồm những thành viên tham gia cả hai chuyên đề 1 và 2 trong tình huống mở đầu. Tập X có phải là tập con của tập A không? Tập X có phải là tập con của tập B không? (A, B là các tập hợp trong HĐ1).

Cách giải — Sử dụng khái niệm giao của hai tập hợp

Lưu ý: Bài này yêu cầu tham khảo "tình huống mở đầu" và "HĐ1" ở các trang trước của sách. Tuy nhiên, dựa vào ngữ cảnh, ta có thể giải thích nguyên lý:

Nguyên lý:

• Tập A: Những người tham gia chuyên đề 1
• Tập B: Những người tham gia chuyên đề 2
• Tập X: Những người tham gia cả hai chuyên đề 1 và 2

Định nghĩa giao của hai tập hợp:
X = A ∩ B = {x | x ∈ A và x ∈ B}

Trả lời các câu hỏi:

X có phải là tập con của A không? → CÓ

Vì mọi phần tử của X đều thuộc A (theo định nghĩa giao), nên X ⊂ A.

X có phải là tập con của B không? → CÓ

Vì mọi phần tử của X đều thuộc B (theo định nghĩa giao), nên X ⊂ B.

🎯 Ghi nhớ: Với A ∩ B, ta luôn có: (A ∩ B) ⊂ A và (A ∩ B) ⊂ B

---

🎯 Tổng kết kiến thức trang 16-17

1. Mối quan hệ các tập số: ℕ ⊂ ℤ ⊂ ℚ ⊂ ℝ
2. Ký hiệu khoảng/đoạn:

• Ngoặc vuông [ ] → bao gồm điểm mút (≤, ≥)
• Ngoặc tròn ( ) → không bao gồm (<, >)

1. Giao của hai tập hợp: A ∩ B luôn là tập con của cả A và B