Giải Toán 10 - Tập 1 trang 18
Lời giải chi tiết SGK Lớp 10 · Môn ToĂ¡n · Trang 18–19
🔍 Kiến thức cần nhớ
1. Giao của hai tập hợp
- Định nghĩa: Tập hợp gồm các phần tử thuộc cả hai tập hợp S và T gọi là giao của hai tập hợp S và T, kí hiệu là S ∩ T.
- Công thức: S ∩ T = {x | x ∈ S và x ∈ T}
2. Hợp của hai tập hợp
- Định nghĩa: Tập hợp gồm các phần tử thuộc tập hợp S hoặc thuộc tập hợp T gọi là hợp của hai tập hợp S và T, kí hiệu là S ∪ T.
- Công thức: S ∪ T = {x | x ∈ S hoặc x ∈ T}
3. Hiệu của hai tập hợp
- Định nghĩa: Hiệu của hai tập hợp S và T là tập hợp gồm các phần tử thuộc S nhưng không thuộc T, kí hiệu là S \ T.
- Công thức: S \ T = {x | x ∈ S và x ∉ T}
- Phần bù: Nếu T ⊂ S thì S \ T được gọi là phần bù của T trong S, kí hiệu là C_S T.
- Chú ý: C_S S = ∅
4. Công thức số phần tử
- n(A ∪ B) = n(A) + n(B) − n(A ∩ B)
⚙️ Bài tập
Luyện tập 5
Đề bài: Cho các tập hợp C = [1; 5], D = [−2; 3]. Hãy xác định tập hợp C ∩ D.
Cách 1 — Phương pháp biểu diễn trên trục số
Bước 1: Biểu diễn từng tập hợp trên trục số
- C = [1; 5]: Tập hợp các số thực x thỏa mãn 1 ≤ x ≤ 5
- D = [−2; 3]: Tập hợp các số thực x thỏa mãn −2 ≤ x ≤ 3
Bước 2: Tìm phần chung (giao)
- Giao của hai tập hợp là phần trục số mà cả hai tập hợp cùng bao phủ.
Trục số:
-2 1 3 5
─────●══════●═══════●───────●─────
| | | |
D──────────────┘ |
C───────────────┘
└───────┘
Phần chung: [1; 3]Bước 3: Kết luận
- C ∩ D = [1; 3]
Cách 2 — Phương pháp bất đẳng thức
Phân tích:
- x ∈ C ⟺ 1 ≤ x ≤ 5
- x ∈ D ⟺ −2 ≤ x ≤ 3
Tìm giao:
- x ∈ C ∩ D ⟺ x ∈ C và x ∈ D
- ⟺ (1 ≤ x ≤ 5) và (−2 ≤ x ≤ 3)
- ⟺ max(1, −2) ≤ x ≤ min(5, 3)
- ⟺ 1 ≤ x ≤ 3
Kết luận: C ∩ D = [1; 3]
💡 Mẹo nhớ: Giao của hai đoạn [a; b] và [c; d] là [max(a, c); min(b, d)] nếu max(a, c) ≤ min(b, d), ngược lại giao bằng ∅.
Luyện tập 6
Đề bài: Hãy biểu diễn tập hợp A ∪ B bằng biểu đồ Ven, với A, B được cho trong HĐ1.
(Dựa trên ngữ cảnh: A là tập hợp thành viên tham gia Chuyên đề 1, B là tập hợp thành viên tham gia Chuyên đề 2)
Cách 1 — Vẽ biểu đồ Ven cơ bản
Bước 1: Xác định các tập hợp
- Giả sử A = {Nam, Hương, Chi, Tú, Bình, Ngân, Khánh} (tham gia Chuyên đề 1)
- Giả sử B = {Ngân, Khánh, Hân, Hiền, Lam} (tham gia Chuyên đề 2)
Bước 2: Xác định giao A ∩ B
- A ∩ B = {Ngân, Khánh} (những người tham gia cả hai chuyên đề)
Bước 3: Vẽ biểu đồ Ven
┌─────────────────────────────────┐
│ A ∪ B │
│ ┌───────────┬───────────┐ │
│ │ A │ B │ │
│ │ │ │ │
│ │ Nam │ Hân │ │
│ │ Hương │ Hiền │ │
│ │ Chi ┌──┴──┐ Lam │ │
│ │ Tú │Ngân │ │ │
│ │ Bình │Khánh│ │ │
│ │ └──┬──┘ │ │
│ └───────────┴───────────┘ │
└─────────────────────────────────┘Bước 4: Kết luận
- A ∪ B = {Nam, Hương, Chi, Tú, Bình, Ngân, Khánh, Hân, Hiền, Lam}
- Phần tô màu (hợp) bao gồm toàn bộ vùng của cả hai hình tròn.
Cách 2 — Mô tả bằng lời
Biểu đồ Ven của A ∪ B:
- Vẽ hai hình tròn (hoặc elip) chồng lên nhau
- Hình tròn bên trái đại diện cho tập A
- Hình tròn bên phải đại diện cho tập B
- Phần giao nhau (ở giữa) chứa các phần tử thuộc cả A và B
- A ∪ B là toàn bộ vùng được bao phủ bởi ít nhất một trong hai hình tròn (tô màu toàn bộ cả hai vòng tròn)
Luyện tập 7
Đề bài: Tìm phần bù của các tập hợp sau trong ℝ:
a) (−∞; −2)
b) [−5; +∞)
Câu a) Tìm phần bù của (−∞; −2) trong ℝ
Cách 1 — Định nghĩa phần bù
Phân tích:
- Tập hợp A = (−∞; −2) gồm tất cả các số thực nhỏ hơn −2
- Phần bù C_ℝ A = ℝ \ A gồm tất cả các số thực không nhỏ hơn −2
Giải:
- x ∈ C_ℝ A ⟺ x ∉ A
- ⟺ x không thỏa mãn x < −2
- ⟺ x ≥ −2
Kết luận: C_ℝ (−∞; −2) = [−2; +∞)
Cách 2 — Sử dụng trục số
Trục số:
-2
──────────●═════════════════▶
A │ Phần bù của A
(−∞; −2) │ [−2; +∞)Kết luận: C_ℝ (−∞; −2) = [−2; +∞)
Câu b) Tìm phần bù của [−5; +∞) trong ℝ
Cách 1 — Định nghĩa phần bù
Phân tích:
- Tập hợp B = [−5; +∞) gồm tất cả các số thực lớn hơn hoặc bằng −5
- Phần bù C_ℝ B = ℝ \ B gồm tất cả các số thực không thuộc B
Giải:
- x ∈ C_ℝ B ⟺ x ∉ B
- ⟺ x không thỏa mãn x ≥ −5
- ⟺ x < −5
Kết luận: C_ℝ [−5; +∞) = (−∞; −5)
Cách 2 — Sử dụng trục số
Trục số:
-5
══════════○──────────────────▶
Phần bù │ B
(−∞; −5) │ [−5; +∞)Kết luận: C_ℝ [−5; +∞) = (−∞; −5)
💡 Mẹo nhớ: - Phần bù của (−∞; a) trong ℝ là [a; +∞) - Phần bù của (−∞; a] trong ℝ là (a; +∞) - Phần bù của [a; +∞) trong ℝ là (−∞; a) - Phần bù của (a; +∞) trong ℝ là (−∞; a]
⚠️ Lưu ý thi: Chú ý dấu ngoặc vuông/tròn đổi ngược khi lấy phần bù!
Bài Vận dụng
Đề bài: Lớp 10A có 24 bạn tham gia thi đấu bóng đá và cầu lông, trong đó có 16 bạn thi đấu bóng đá và 11 bạn thi đấu cầu lông. Giả sử các trận bóng đá và cầu lông không tổ chức đồng thời. Hỏi có bao nhiêu bạn lớp 10A tham gia thi đấu cả bóng đá và cầu lông?
Cách 1 — Sử dụng công thức số phần tử hợp
Đặt ẩn:
- Gọi A là tập hợp các bạn thi đấu bóng đá → n(A) = 16
- Gọi B là tập hợp các bạn thi đấu cầu lông → n(B) = 11
- A ∪ B là tập hợp các bạn tham gia ít nhất một môn → n(A ∪ B) = 24
- A ∩ B là tập hợp các bạn thi đấu cả hai môn → n(A ∩ B) = ?
Áp dụng công thức:
- n(A ∪ B) = n(A) + n(B) − n(A ∩ B)
Thay số:
- 24 = 16 + 11 − n(A ∩ B)
- 24 = 27 − n(A ∩ B)
- n(A ∩ B) = 27 − 24 = 3
Kết luận: Có 3 bạn tham gia thi đấu cả bóng đá và cầu lông.
Cách 2 — Sử dụng biểu đồ Ven
Đặt ẩn:
- Gọi x là số bạn tham gia cả hai môn (x ≥ 0)
Phân tích:
- Số bạn chỉ thi đấu bóng đá: 16 − x
- Số bạn chỉ thi đấu cầu lông: 11 − x
- Số bạn thi đấu cả hai: x
Biểu đồ Ven:
┌─────────────┬─────────────┐
│ Bóng đá │ Cầu lông │
│ │ │
│ 16 − x │ 11 − x │
│ ┌───┴───┐ │
│ │ x │ │
│ └───┬───┘ │
└─────────────┴─────────────┘Lập phương trình:
- Tổng số bạn tham gia = (16 − x) + x + (11 − x) = 24
- 27 − x = 24
- x = 3
Kiểm tra điều kiện:
- x = 3 ≥ 0 ✓
- 16 − x = 13 ≥ 0 ✓
- 11 − x = 8 ≥ 0 ✓
Kết luận: Có 3 bạn tham gia thi đấu cả bóng đá và cầu lông.
💡 Mẹo nhớ: Công thức n(A ∪ B) = n(A) + n(B) − n(A ∩ B) rất hay dùng trong các bài toán đếm liên quan đến hai tập hợp.
⚠️ Lưu ý thi: Dạng bài "đếm số phần tử với điều kiện giao/hợp" thường xuyên xuất hiện trong đề thi. Nhớ kiểm tra điều kiện x ≥ 0 và các giá trị phải hợp lý.
🎯 Ghi nhớ
- Giao (S ∩ T): Phần tử thuộc cả hai tập hợp
- Hợp (S ∪ T): Phần tử thuộc ít nhất một tập hợp
- Hiệu (S \ T): Phần tử thuộc S nhưng không thuộc T
- Phần bù (C_S T): Hiệu S \ T khi T ⊂ S
- Công thức quan trọng: n(A ∪ B) = n(A) + n(B) − n(A ∩ B)
- Khi làm bài với khoảng/đoạn, vẽ trục số để hình dung trực quan
- Khi lấy phần bù, đảo dấu ngoặc tại điểm biên