Giải Toán tập 2 trang 22
Lời giải chi tiết SGK Lớp 11 · Môn ToĂ¡n · Trang 22–23
🔍 Kiến thức cần nhớ
1. Phương trình mũ
- Phương trình mũ cơ bản: a^x = b (a > 0, a ≠ 1)
- Phương pháp: Đưa về cùng cơ số hoặc lấy logarit hai vế
2. Phương trình logarit
- Phương trình logarit cơ bản: log_a(x) = b (0 < a ≠ 1)
- Nghiệm duy nhất: x = a^b
- Điều kiện: Số mũ logarit phải dương
3. Bất phương trình mũ
- Dạng a^x > b (hoặc ≥, <, ≤) với a > 0, a ≠ 1
- Nếu a > 1: a^u > a^v ⇔ u > v
- Nếu 0 < a < 1: a^u > a^v ⇔ u < v
⚙️ Bài tập
Luyện tập 1
Đề bài: Giải các phương trình sau:
- a) 2^(3x-1) = 1/2^(x+1)
- b) 2e^(2x) = 5
Câu a) 2^(3x-1) = 1/2^(x+1)
Cách 1 — Đưa về cùng cơ số
Bước 1: Biến đổi vế phải về dạng lũy thừa cơ số 2
Ta có: 1/2^(x+1) = 2^(-(x+1)) = 2^(-x-1)
Bước 2: Giải phương trình
Phương trình trở thành:
2^(3x-1) = 2^(-x-1)
Vì cơ số 2 > 1 nên:
3x - 1 = -x - 1
Bước 3: Giải phương trình bậc nhất
3x - 1 = -x - 1
⇔ 3x + x = -1 + 1
⇔ 4x = 0
⇔ x = 0
Kết luận: Phương trình có nghiệm duy nhất x = 0
Cách 2 — Kiểm tra nhanh bằng thử nghiệm
Thử x = 0:
- VT = 2^(3×0-1) = 2^(-1) = 1/2
- VP = 1/2^(0+1) = 1/2
Vì VT = VP nên x = 0 là nghiệm.
Do hàm mũ đơn điệu, phương trình chỉ có nghiệm duy nhất x = 0.
💡 Mẹo nhớ: Khi có dạng a^(f(x)) = 1/a^(g(x)), hãy viết lại thành a^(f(x)) = a^(-g(x)), rồi so sánh số mũ.
Câu b) 2e^(2x) = 5
Cách 1 — Lấy logarit tự nhiên hai vế
Bước 1: Biến đổi phương trình
2e^(2x) = 5
⇔ e^(2x) = 5/2
Bước 2: Lấy logarit tự nhiên (ln) hai vế
ln(e^(2x)) = ln(5/2)
⇔ 2x = ln(5/2)
⇔ x = ln(5/2)/2
Bước 3: Tính giá trị (nếu cần)
x = ln(5/2)/2 = (ln 5 - ln 2)/2
Kết luận: Phương trình có nghiệm duy nhất x = ln(5/2)/2 hoặc x = (ln 5 - ln 2)/2
Cách 2 — Sử dụng tính chất logarit
e^(2x) = 5/2 = 2.5
⇔ 2x = ln(2.5)
⇔ x = ln(2.5)/2 ≈ 0.458
Kết luận: x = ln(2.5)/2 ≈ 0.458
💡 Mẹo bấm máy (Casio fx-580VN X): - Bấm: ln(2.5) ÷ 2 = - Kết quả: ≈ 0.4581
⚠️ Lưu ý thi: Với phương trình chứa e, luôn dùng ln để lấy logarit. Kết quả có thể để dạng chính xác ln(5/2)/2 hoặc tính gần đúng tùy yêu cầu đề.
HĐ2 (Hoạt động 2) — Nhận biết nghiệm của phương trình logarit
Đề bài: Xét phương trình: 2log₂(x) = -3
- a) Từ phương trình trên, hãy tính log₂(x)
- b) Từ kết quả ở câu a và sử dụng định nghĩa logarit, hãy tìm x
Câu a) Tính log₂(x)
Cách 1 — Giải trực tiếp
Từ phương trình: 2log₂(x) = -3
Chia cả hai vế cho 2:
log₂(x) = -3/2
Kết luận: log₂(x) = -3/2
Cách 2 — Kiểm tra lại
Nếu log₂(x) = -3/2 thì 2log₂(x) = 2 × (-3/2) = -3 ✓
Câu b) Tìm x
Cách 1 — Sử dụng định nghĩa logarit
Từ log₂(x) = -3/2
Theo định nghĩa logarit: log_a(x) = b ⇔ x = a^b
Áp dụng: x = 2^(-3/2)
Bước tính:
x = 2^(-3/2) = 1/2^(3/2) = 1/(2 × √2) = 1/(2√2) = √2/4
Kết luận: x = 2^(-3/2) = √2/4 ≈ 0.354
Cách 2 — Biến đổi số mũ
x = 2^(-3/2) = (2^3)^(-1/2) = 8^(-1/2) = 1/√8 = 1/(2√2) = √2/4
💡 Mẹo bấm máy: - Bấm: 2 ^ (-3/2) = - Kết quả: ≈ 0.3536
Luyện tập 2
Đề bài: Giải các phương trình sau:
- a) 4 - log(3 - x) = 3
- b) log₂(x + 2) + log₂(x - 1) = 1
Câu a) 4 - log(3 - x) = 3
Cách 1 — Phương pháp cơ bản
Bước 1: Tìm điều kiện
Để log(3 - x) có nghĩa: 3 - x > 0 ⇔ x < 3
Bước 2: Biến đổi phương trình
4 - log(3 - x) = 3
⇔ -log(3 - x) = 3 - 4
⇔ -log(3 - x) = -1
⇔ log(3 - x) = 1
Bước 3: Giải phương trình logarit
log(3 - x) = 1 (logarit thập phân, cơ số 10)
Theo định nghĩa: 3 - x = 10^1 = 10
⇔ x = 3 - 10 = -7
Bước 4: Kiểm tra điều kiện
x = -7 < 3 ✓ (thỏa mãn điều kiện)
Kết luận: Phương trình có nghiệm duy nhất x = -7
Cách 2 — Giải nhanh
log(3 - x) = 1 ⇒ 3 - x = 10 ⇒ x = -7
⚠️ Lưu ý thi: Luôn nhớ kiểm tra điều kiện của logarit (số mũ > 0). Đây là lỗi sai phổ biến trong các bài thi!
Câu b) log₂(x + 2) + log₂(x - 1) = 1
Cách 1 — Sử dụng tính chất logarit của tích
Bước 1: Tìm điều kiện
- x + 2 > 0 ⇔ x > -2
- x - 1 > 0 ⇔ x > 1
Điều kiện: x > 1
Bước 2: Áp dụng tính chất log_a(M) + log_a(N) = log_a(M×N)
log₂(x + 2) + log₂(x - 1) = 1
⇔ log₂[(x + 2)(x - 1)] = 1
Bước 3: Giải phương trình logarit
log₂[(x + 2)(x - 1)] = 1
⇔ (x + 2)(x - 1) = 2^1 = 2
Bước 4: Khai triển và giải phương trình bậc hai
(x + 2)(x - 1) = 2
⇔ x² - x + 2x - 2 = 2
⇔ x² + x - 2 = 2
⇔ x² + x - 4 = 0
Bước 5: Áp dụng công thức nghiệm
Δ = 1² - 4×1×(-4) = 1 + 16 = 17
x = (-1 ± √17)/2
Vậy: x₁ = (-1 + √17)/2 ≈ 1.56
x₂ = (-1 - √17)/2 ≈ -2.56
Bước 6: Kiểm tra điều kiện x > 1
- x₁ = (-1 + √17)/2 ≈ 1.56 > 1 ✓ (thỏa mãn)
- x₂ = (-1 - √17)/2 ≈ -2.56 < 1 ✗ (loại)
Kết luận: Phương trình có nghiệm duy nhất x = (-1 + √17)/2
Cách 2 — Kiểm tra bằng máy tính
💡 Mẹo bấm máy (Casio fx-580VN X): - Vào MODE → EQUATION → ax² + bx + c = 0 - Nhập a = 1, b = 1, c = -4 - Kết quả: x₁ ≈ 1.562, x₂ ≈ -2.562 - Chọn x₁ vì thỏa điều kiện x > 1
⚠️ Lưu ý thi: Với phương trình logarit có tổng/hiệu, hãy nhớ: - Dùng tính chất gộp logarit - Luôn tìm điều kiện TRƯỚC khi giải - Kiểm tra nghiệm SAU khi giải
HĐ3 (Hoạt động 3) — Nhận biết nghiệm của bất phương trình mũ
Đề bài: Cho đồ thị của các hàm số y = 2^x và y = 4 như Hình 6.7. Tìm khoảng giá trị của x mà đồ thị hàm số y = 2^x nằm phía trên đường thẳng y = 4 và từ đó suy ra tập nghiệm của bất phương trình 2^x > 4.
Cách 1 — Quan sát đồ thị
Phân tích:
- Đường y = 2^x cắt đường y = 4 tại điểm có hoành độ x = 2 (vì 2² = 4)
- Đồ thị y = 2^x nằm phía trên đường y = 4 khi x > 2
Kết luận: Tập nghiệm của bất phương trình 2^x > 4 là x > 2 hay (2; +∞)
Cách 2 — Giải đại số
2^x > 4
⇔ 2^x > 2²
Vì cơ số 2 > 1, hàm mũ đồng biến, nên:
x > 2
Kết luận: Tập nghiệm S = (2; +∞)
💡 Mẹo nhớ: - Cơ số a > 1: a^u > a^v ⇔ u > v (giữ nguyên chiều) - Cơ số 0 < a < 1: a^u > a^v ⇔ u < v (đổi chiều)
🎯 Ghi nhớ: 1. Phương trình mũ: Đưa về cùng cơ số hoặc logarit hóa 2. Phương trình logarit: log_a(x) = b ⇔ x = a^b, luôn kiểm tra điều kiện 3. Bất phương trình mũ: Chiều bất đẳng thức phụ thuộc vào cơ số (a > 1 hay 0 < a < 1) 4. Quy tắc vàng: Luôn tìm điều kiện → Giải → Kiểm tra nghiệm với điều kiện