Giải Toán tập 2 trang 20
Lời giải chi tiết SGK Lớp 11 · Môn ToĂ¡n · Trang 20–21
Lưu ý nhỏ trước khi bắt đầu: hai ảnh thầy nhận được thực ra là trang 19 (cuối bài học về hàm số mũ – lôgarit, có phần Bài tập) và trang 20 (mở đầu Bài 21). Thầy sẽ giải trọn vẹn toàn bộ nội dung xuất hiện trên hai trang này nhé.
Tóm tắt lý thuyết
Trang 19 khép lại bài học bằng ví dụ vẽ đồ thị hàm lôgarit và phần Vận dụng, sau đó là cụm Bài tập 6.15 – 6.19.
Trang 20 mở đầu Bài 21: Phương trình, bất phương trình mũ và lôgarit. Kiến thức cốt lõi:
Phương trình mũ cơ bản dạng $a^x = b$ (với $0 < a \ne 1$):
- Nếu $b > 0$: có nghiệm duy nhất $x = \log_a b$.
- Nếu $b \le 0$: vô nghiệm.
Phương pháp đưa về cùng cơ số:
$$0 < a \ne 1 \;\Rightarrow\; a^u = a^v \Leftrightarrow u = v.$$
Bài 6.15: Vẽ đồ thị hàm số mũ
Đề: a) $y = 3^x$; b) $y = \left(\dfrac{1}{3}\right)^x$.
Lập bảng giá trị:
| $x$ | $-2$ | $-1$ | $0$ | $1$ | $2$ |
|---|---|---|---|---|---|
| $y = 3^x$ | $\frac19$ | $\frac13$ | $1$ | $3$ | $9$ |
| $y = \left(\frac13\right)^x$ | $9$ | $3$ | $1$ | $\frac13$ | $\frac19$ |
Nhận xét cách vẽ:
- a) $y = 3^x$ là hàm đồng biến (cơ số $3 > 1$): đồ thị đi lên, luôn nằm trên trục hoành, cắt $Oy$ tại $(0;1)$, nhận trục $Ox$ làm tiệm cận ngang.
- b) $y = \left(\frac13\right)^x$ là hàm nghịch biến (cơ số $0 < \frac13 < 1$): đồ thị đi xuống, cắt $Oy$ tại $(0;1)$, nhận trục $Ox$ làm tiệm cận ngang.
Hai đồ thị đối xứng nhau qua trục tung $Oy$ (vì $\left(\frac13\right)^x = 3^{-x}$).
Bài 6.16: Vẽ đồ thị hàm số lôgarit
Đề: a) $y = \log x$; b) $y = \log_{\frac13} x$.
Cả hai có tập xác định $x > 0$.
| $x$ | $\frac{1}{100}$ | $\frac{1}{10}$ | $1$ | $10$ | $100$ |
|---|---|---|---|---|---|
| $y = \log x$ | $-2$ | $-1$ | $0$ | $1$ | $2$ |
| $x$ | $\frac19$ | $\frac13$ | $1$ | $3$ | $9$ |
|---|---|---|---|---|---|
| $y = \log_{\frac13} x$ | $2$ | $1$ | $0$ | $-1$ | $-2$ |
Nhận xét:
- a) $y = \log x$ (cơ số $10 > 1$): đồng biến, đồ thị đi lên, cắt $Ox$ tại $(1;0)$, nhận trục $Oy$ làm tiệm cận đứng.
- b) $y = \log_{\frac13} x$ (cơ số $0 < \frac13 < 1$): nghịch biến, đồ thị đi xuống, cắt $Ox$ tại $(1;0)$, nhận trục $Oy$ làm tiệm cận đứng.
Bài 6.17: Tìm tập xác định
Đề: a) $y = \log|x+3|$; b) $y = \ln(4 - x^2)$.
a) Biểu thức $\log$ xác định khi biểu thức bên trong dương:
$$|x+3| > 0 \Leftrightarrow x + 3 \ne 0 \Leftrightarrow x \ne -3.$$
Tập xác định: $D = \mathbb{R} \setminus \{-3\}$.
b) Điều kiện:
$$4 - x^2 > 0 \Leftrightarrow x^2 < 4 \Leftrightarrow -2 < x < 2.$$
Tập xác định: $D = (-2; 2)$.
Bài 6.18: Chất phóng xạ phân rã
Đề: Khối lượng chất còn lại sau $t$ ngày là $m(t) = 13e^{-0,015t}$ (kg).
a) Tìm khối lượng tại $t = 0$. b) Sau 45 ngày còn lại bao nhiêu?
a) Thay $t = 0$:
$$m(0) = 13e^{0} = 13 \text{ (kg)}.$$
Đây chính là khối lượng ban đầu.
b) Thay $t = 45$:
$$m(45) = 13e^{-0,015 \cdot 45} = 13e^{-0,675} \approx 13 \cdot 0,5092 \approx 6,62 \text{ (kg)}.$$
Vậy sau 45 ngày còn lại khoảng 6,62 kg.
Bài 6.19: Khả năng ghi nhớ của nhóm học sinh
Đề: $M(t) = 75 - 20\ln(t+1)$, $0 \le t \le 12$ (đơn vị %). Tính khả năng nhớ trung bình sau 6 tháng.
Thay $t = 6$:
$$M(6) = 75 - 20\ln(6+1) = 75 - 20\ln 7.$$
Với $\ln 7 \approx 1,9459$:
$$M(6) \approx 75 - 20 \cdot 1,9459 = 75 - 38,92 \approx 36,08\;(\%).$$
Vậy sau 6 tháng, khả năng nhớ trung bình còn khoảng 36,08%.
HĐ1 (Trang 20): Nhận biết nghiệm của phương trình mũ
Đề: Xét phương trình $2^{x+1} = \dfrac{1}{4}$.
a) Viết $\frac14$ thành lũy thừa của 2 thì phương trình trở thành phương trình nào?
b) So sánh số mũ của 2 ở hai vế để tìm $x$.
a) Vì $\dfrac{1}{4} = \dfrac{1}{2^2} = 2^{-2}$ nên phương trình trở thành:
$$2^{x+1} = 2^{-2}.$$
b) Hai vế cùng cơ số $2$ nên số mũ bằng nhau:
$$x + 1 = -2 \Leftrightarrow x = -3.$$
Vậy phương trình có nghiệm $x = -3$. Đây là minh họa cho phương pháp đưa về cùng cơ số: $a^u = a^v \Leftrightarrow u = v$.
Toàn bộ bài tập trên hai trang đã được giải xong. Nếu thầy chụp đúng trang 21 (phần ví dụ và bài tập của Bài 21), em gửi lại để mình giải tiếp phần phương trình – bất phương trình nhé.