Giải Toán tập 2 trang 24
Lời giải chi tiết SGK Lớp 11 · Môn ToĂ¡n · Trang 24–25
🔍 Kiến thức cần nhớ
Bất phương trình mũ
- Với a > 1: a^x > a^b ⇔ x > b
- Với 0 < a < 1: a^x > a^b ⇔ x < b
Bất phương trình lôgarit
- Với a > 1: log_a(x) > b ⇔ x > a^b
- Với 0 < a < 1: log_a(x) > b ⇔ 0 < x < a^b
- Nếu a > 1: log_a(u) > log_a(v) ⇔ u > v > 0
- Nếu 0 < a < 1: log_a(u) > log_a(v) ⇔ 0 < u < v
⚙️ Bài tập
Luyện tập 3
Đề bài: Giải các bất phương trình sau:
- a) 0,1^(2x-1) ≤ 0,1^(2-x)
- b) 3·2^(x+1) ≤ 1
Câu a) 0,1^(2x-1) ≤ 0,1^(2-x)
Cách 1 — Phương pháp cơ bản (so sánh số mũ)
Bước 1: Nhận xét cơ số
- Cơ số a = 0,1 với 0 < 0,1 < 1
Bước 2: Áp dụng tính chất
- Vì 0 < a < 1 nên: a^m ≤ a^n ⇔ m ≥ n
Bước 3: Giải bất phương trình
0,1^(2x-1) ≤ 0,1^(2-x)
⇔ 2x - 1 ≥ 2 - x
⇔ 2x + x ≥ 2 + 1
⇔ 3x ≥ 3
⇔ x ≥ 1
Đáp số: x ≥ 1 hay S = [1; +∞)
Cách 2 — Phương pháp đổi biến
Đặt t = 0,1^x (t > 0)
Ta có:
- 0,1^(2x-1) = 0,1^(2x) · 0,1^(-1) = (0,1^x)^2 · 10 = 10t²
- 0,1^(2-x) = 0,1² · 0,1^(-x) = 0,01 · (1/t) = 0,01/t
Bất phương trình: 10t² ≤ 0,01/t
⇔ 10t³ ≤ 0,01 (vì t > 0)
⇔ t³ ≤ 0,001
⇔ t ≤ 0,1
⇔ 0,1^x ≤ 0,1^1
⇔ x ≥ 1 (vì 0 < 0,1 < 1)
Đáp số: x ≥ 1
Câu b) 3·2^(x+1) ≤ 1
Cách 1 — Phương pháp cơ bản
Bước 1: Biến đổi về dạng chuẩn
3·2^(x+1) ≤ 1
⇔ 2^(x+1) ≤ 1/3
Bước 2: Lấy lôgarit cơ số 2 hai vế
x + 1 ≤ log₂(1/3)
⇔ x ≤ log₂(1/3) - 1
⇔ x ≤ -log₂(3) - 1
⇔ x ≤ -(log₂(3) + 1)
⇔ x ≤ -log₂(6)
Bước 3: Tính giá trị
log₂(6) = log₂(2·3) = 1 + log₂(3) ≈ 1 + 1,585 ≈ 2,585
Đáp số: x ≤ -log₂(6) ≈ -2,585 hay S = (-∞; -log₂(6)]
Cách 2 — Phương pháp biến đổi trực tiếp
3·2^(x+1) ≤ 1
⇔ 3·2·2^x ≤ 1
⇔ 6·2^x ≤ 1
⇔ 2^x ≤ 1/6
⇔ 2^x ≤ 2^(-log₂6)
⇔ x ≤ -log₂(6)
Đáp số: x ≤ -log₂(6)
💡 Mẹo bấm máy: Để tính log₂(6), bấm: log(6) ÷ log(2) = được kết quả ≈ 2,585
HĐ4. Nhận biết nghiệm của bất phương trình lôgarit
Đề bài: Cho đồ thị của các hàm số y = log₂(x) và y = 2 như Hình 6.8. Tìm khoảng giá trị của x mà đồ thị hàm số y = log₂(x) nằm phía trên đường thẳng y = 2 và từ đó suy ra tập nghiệm của bất phương trình log₂(x) > 2.
Cách 1 — Phương pháp đồ thị
Bước 1: Phân tích đồ thị
- Đường cong y = log₂(x) đi qua điểm (1; 0), (2; 1), (4; 2)
- Đường thẳng y = 2 là đường nằm ngang
Bước 2: Tìm giao điểm
log₂(x) = 2 ⇔ x = 2² = 4
Bước 3: Xác định khoảng
Từ đồ thị, y = log₂(x) nằm phía trên đường y = 2 khi x > 4
Đáp số: Tập nghiệm của bất phương trình log₂(x) > 2 là x > 4 hay S = (4; +∞)
Cách 2 — Phương pháp đại số
log₂(x) > 2
- Điều kiện: x > 0
- Vì cơ số 2 > 1, nên: log₂(x) > 2 ⇔ x > 2² ⇔ x > 4
Đáp số: x > 4
💡 Mẹo nhớ: Với cơ số a > 1, hàm log₂(x) đồng biến, nên log_a(x) > b ⇔ x > a^b
Luyện tập 4
Đề bài: Giải các bất phương trình sau:
- a) log_(1/7)(x + 1) > log₇(2 - x)
- b) 2log(2x + 1) > 3
Câu a) log_(1/7)(x + 1) > log₇(2 - x)
Cách 1 — Phương pháp đổi cơ số
Bước 1: Tìm điều kiện
- x + 1 > 0 ⇔ x > -1
- 2 - x > 0 ⇔ x < 2
- Điều kiện: -1 < x < 2
Bước 2: Đổi cơ số
Ta có: log_(1/7)(x + 1) = -log₇(x + 1)
Bất phương trình trở thành:
-log₇(x + 1) > log₇(2 - x)
⇔ log₇(2 - x) + log₇(x + 1) < 0
⇔ log₇[(2 - x)(x + 1)] < 0
⇔ log₇[(2 - x)(x + 1)] < log₇(1)
Bước 3: So sánh
Vì cơ số 7 > 1:
(2 - x)(x + 1) < 1
Bước 4: Giải bất phương trình bậc 2
(2 - x)(x + 1) < 1
⇔ 2x + 2 - x² - x < 1
⇔ -x² + x + 2 < 1
⇔ -x² + x + 1 < 0
⇔ x² - x - 1 > 0
Nghiệm: x < (1 - √5)/2 hoặc x > (1 + √5)/2
Bước 5: Kết hợp điều kiện
- (1 - √5)/2 ≈ -0,618
- (1 + √5)/2 ≈ 1,618
Kết hợp với -1 < x < 2:
- -1 < x < (1 - √5)/2 hoặc (1 + √5)/2 < x < 2
Đáp số: S = (-1; (1-√5)/2) ∪ ((1+√5)/2; 2)
Cách 2 — Kiểm tra nhanh bằng máy tính
💡 Mẹo bấm máy: Dùng chức năng TABLE để kiểm tra giá trị hai vế tại các điểm x = 0, 1, 1.5 để xác định khoảng nghiệm.
Câu b) 2log(2x + 1) > 3
Cách 1 — Phương pháp cơ bản
Bước 1: Tìm điều kiện
2x + 1 > 0 ⇔ x > -1/2
Bước 2: Giải bất phương trình
2log(2x + 1) > 3
⇔ log(2x + 1) > 3/2
⇔ log(2x + 1) > log(10^(3/2))
⇔ 2x + 1 > 10^(3/2) (vì cơ số 10 > 1)
⇔ 2x + 1 > 10√10
⇔ 2x > 10√10 - 1
⇔ x > (10√10 - 1)/2
Bước 3: Tính giá trị
10√10 ≈ 10 × 3,162 ≈ 31,62
⇒ x > (31,62 - 1)/2 ≈ 15,31
Đáp số: x > (10√10 - 1)/2 ≈ 15,31
Cách 2 — Viết gọn
2log(2x + 1) > 3
⇔ log(2x + 1)² > 3
⇔ (2x + 1)² > 10³ = 1000
⇔ 2x + 1 > √1000 (vì 2x + 1 > 0)
⇔ x > (√1000 - 1)/2 = (10√10 - 1)/2
Đáp số: x > (10√10 - 1)/2
💡 Mẹo bấm máy: Bấm √1000 = được ≈ 31,623, rồi tính (31,623 - 1) ÷ 2 ≈ 15,31
Vận dụng (Áp suất khí quyển)
Đề bài: Áp suất khí quyển p (tính bằng kilopascal, viết tắt là kPa) ở độ cao h (so với mực nước biển, tính bằng km) được tính theo công thức: ln(p/100) = -h/7
a) Tính áp suất khí quyển ở độ cao 4 km.
b) Ở độ cao trên 10 km thì áp suất khí quyển sẽ như thế nào?
Câu a) Tính áp suất khí quyển ở độ cao 4 km
Cách 1 — Phương pháp thế trực tiếp
Bước 1: Thay h = 4 vào công thức
ln(p/100) = -4/7
Bước 2: Giải phương trình
p/100 = e^(-4/7)
p = 100·e^(-4/7)
Bước 3: Tính giá trị
e^(-4/7) = e^(-0,5714...) ≈ 0,5647
p ≈ 100 × 0,5647 ≈ 56,47 kPa
Đáp số: Áp suất khí quyển ở độ cao 4 km là khoảng 56,47 kPa
Cách 2 — Công thức tường minh
Từ ln(p/100) = -h/7, ta có: p = 100·e^(-h/7)
Thay h = 4: p = 100·e^(-4/7) ≈ 56,47 kPa
💡 Mẹo bấm máy: Bấm 100 × e^(-4÷7) = được kết quả ≈ 56,47
Câu b) Ở độ cao trên 10 km thì áp suất khí quyển sẽ như thế nào?
Cách 1 — Phương pháp giải bất phương trình
Bước 1: Lập bất phương trình
h > 10 km
Bước 2: Từ công thức p = 100·e^(-h/7)
Khi h > 10:
-h/7 < -10/7
⇒ e^(-h/7) < e^(-10/7)
⇒ p < 100·e^(-10/7)
Bước 3: Tính giá trị biên
p < 100·e^(-10/7) = 100·e^(-1,4286) ≈ 100 × 0,2397 ≈ 23,97 kPa
Đáp số: Ở độ cao trên 10 km, áp suất khí quyển nhỏ hơn khoảng 24 kPa
Cách 2 — Phân tích xu hướng
- Hàm p = 100·e^(-h/7) là hàm nghịch biến theo h
- Khi h tăng thì p giảm
- Tại h = 10: p ≈ 23,97 kPa
- Vậy khi h > 10 thì p < 23,97 kPa
Đáp số: Áp suất khí quyển nhỏ hơn khoảng 24 kPa
BÀI TẬP
Bài 6.20
Đề bài: Giải các phương trình sau:
- a) 3^(x-1) = 27
- b) 100^(2x²-3) = 0,1^(2x²-18)
- c) ³√(3e^(3x)) = 1
- d) 5^x = 3^(2x-1)
Câu a) 3^(x-1) = 27
Cách 1 — Phương pháp đưa về cùng cơ số
Bước 1: Viết 27 = 3³
3^(x-1) = 3³
Bước 2: So sánh số mũ
x - 1 = 3
x = 4
Đáp số: x = 4
Cách 2 — Dùng lôgarit
3^(x-1) = 27
⇔ (x-1)·log3 = log27
⇔ x - 1 = log27/log3 = log₃27 = 3
⇔ x = 4
Đáp số: x = 4
Câu b) 100^(2x²-3) = 0,1^(2x²-18)
Cách 1 — Phương pháp đưa về cùng cơ số
Bước 1: Đổi về cơ số 10
- 100 = 10²
- 0,1 = 10^(-1)
Bước 2: Viết lại phương trình
(10²)^(2x²-3) = (10^(-1))^(2x²-18)
10^(2(2x²-3)) = 10^(-(2x²-18))
10^(4x²-6) = 10^(-2x²+18)
Bước 3: So sánh số mũ
4x² - 6 = -2x² + 18
6x² = 24
x² = 4
x = ±2
Đáp số: x = 2 hoặc x = -2
Cách 2 — Kiểm tra nhanh
Thử x = 2:
- VT = 100^(8-3) = 100^5
- VP = 0,1^(8-18) = 0,1^(-10) = 10^10 = 100^5 ✓
Đáp số: x = ±2
Câu c) ³√(3e^(3x)) = 1
Cách 1 — Phương pháp cơ bản
Bước 1: Lập phương cả hai vế
(³√(3e^(3x)))³ = 1³
3e^(3x) = 1
Bước 2: Giải phương trình
e^(3x) = 1/3
Bước 3: Lấy ln hai vế
3x = ln(1/3) = -ln3
x = -ln3/3 = -(1/3)ln3
Đáp số: x = -ln3/3 ≈ -0,366
Cách 2 — Viết dạng mũ
³√(3e^(3x)) = 1
⇔ (3e^(3x))^(1/3) = 1
⇔ 3^(1/3) · e^x = 1
⇔ e^x = 3^(-1/3)
⇔ x = ln(3^(-1/3)) = -(1/3)ln3
Đáp số: x = -(1/3)ln3
💡 Mẹo bấm máy: Bấm -ln(3)÷3 = được ≈ -0,366
Câu d) 5^x = 3^(2x-1)
Cách 1 — Phương pháp lôgarit hóa
Bước 1: Lấy ln hai vế
ln(5^x) = ln(3^(2x-1))
x·ln5 = (2x-1)·ln3
Bước 2: Giải phương trình
x·ln5 = 2x·ln3 - ln3
x·ln5 - 2x·ln3 = -ln3
x(ln5 - 2ln3) = -ln3
x = -ln3/(ln5 - 2ln3)
x = -ln3/(ln5 - ln9)
x = -ln3/ln(5/9)
x = ln3/ln(9/5)
Bước 3: Tính giá trị
x = ln3/ln(9/5) = ln3/ln1,8 ≈ 1,099/0,588 ≈ 1,869
Đáp số: x = ln3/ln(9/5) ≈ 1,869
Cách 2 — Dùng log cơ số 5
5^x = 3^(2x-1)
⇔ x = (2x-1)·log₅3
⇔ x = 2x·log₅3 - log₅3
⇔ x(1 - 2log₅3) = -log₅3
⇔ x = log₅3/(2log₅3 - 1)
Đáp số: x = log₅3/(2log₅3 - 1)
Bài 6.21
Đề bài: Giải các phương trình sau:
- a) log(x + 1) = 2
- b) 2log₄(x) + log₂(x - 3) = 2
- c) ln(x) + ln(x - 1) = ln(4x)
- d) log₃(x² - 3x + 2) = log₃(2x - 4)
Câu a) log(x + 1) = 2
Cách 1 — Phương pháp định nghĩa
Bước 1: Điều kiện: x + 1 > 0 ⇔ x > -1
Bước 2: Áp dụng định nghĩa
log(x + 1) = 2
⇔ x + 1 = 10² = 100
⇔ x = 99
Bước 3: Kiểm tra: x = 99 > -1 ✓
Đáp số: x = 99
Cách 2 — Mũ hóa trực tiếp
10^(log(x+1)) = 10²
x + 1 = 100
x = 99
Đáp số: x = 99
Câu b) 2log₄(x) + log₂(x - 3) = 2
Cách 1 — Phương pháp đổi cơ số
Bước 1: Điều kiện
- x > 0
- x - 3 > 0 ⇔ x > 3
- Điều kiện: x > 3
Bước 2: Đổi cơ số
log₄(x) = log₂(x)/log₂(4) = log₂(x)/2
Bước 3: Thay vào phương trình
2 · log₂(x)/2 + log₂(x - 3) = 2
log₂(x) + log₂(x - 3) = 2
log₂[x(x - 3)] = 2
Bước 4: Giải
x(x - 3) = 2² = 4
x² - 3x - 4 = 0
(x - 4)(x + 1) = 0
x = 4 hoặc x = -1
Bước 5: Kiểm tra điều kiện
- x = 4 > 3 ✓
- x = -1 < 3 ✗
Đáp số: x = 4
Cách 2 — Đặt ẩn phụ
Đặt t = log₂(x), ta có log₄(x) = t/2
Phương trình: t + log₂(x-3) = 2
Từ t = log₂(x) ⇒ x = 2^t
Thay vào: t + log₂(2^t - 3) = 2
Thử t = 2: 2 + log₂(4-3) = 2 + log₂(1) = 2 + 0 = 2 ✓
Vậy t = 2, x = 2² = 4
Đáp số: x = 4
Câu c) ln(x) + ln(x - 1) = ln(4x)
Cách 1 — Phương pháp gộp logarit
Bước 1: Điều kiện
- x > 0
- x - 1 > 0 ⇔ x > 1
- 4x > 0 (tự thỏa khi x > 1)
- Điều kiện: x > 1
Bước 2: Gộp vế trái
ln[x(x - 1)] = ln(4x)
Bước 3: Bỏ ln (vì hai vế dương)
x(x - 1) = 4x
x² - x = 4x
x² - 5x = 0
x(x - 5) = 0
x = 0 hoặc x = 5
Bước 4: Kiểm tra điều kiện
- x = 0 < 1 ✗
- x = 5 > 1 ✓
Đáp số: x = 5
Cách 2 — Rút gọn sớm
ln(x) + ln(x-1) = ln(4x)
⇔ ln(x) + ln(x-1) - ln(4x) = 0
⇔ ln[(x(x-1))/(4x)] = 0
⇔ ln[(x-1)/4] = 0
⇔ (x-1)/4 = 1
⇔ x - 1 = 4
⇔ x = 5
Đáp số: x = 5
Câu d) log₃(x² - 3x + 2) = log₃(2x - 4)
Cách 1 — Phương pháp cơ bản
Bước 1: Điều kiện
- x² - 3x + 2 > 0
- 2x - 4 > 0 ⇔ x > 2
Phân tích: x² - 3x + 2 = (x-1)(x-2)
(x-1)(x-2) > 0 ⇔ x < 1 hoặc x > 2
Điều kiện chung: x > 2
Bước 2: Bỏ log (cùng cơ số)
x² - 3x + 2 = 2x - 4
x² - 5x + 6 = 0
(x - 2)(x - 3) = 0
x = 2 hoặc x = 3
Bước 3: Kiểm tra điều kiện
- x = 2: không thỏa x > 2 ✗
- x = 3 > 2 ✓
Đáp số: x = 3
Cách 2 — Phân tích nhân tử
Nhận xét: x² - 3x + 2 = (x-1)(x-2) và 2x - 4 = 2(x-2)
log₃[(x-1)(x-2)] = log₃[2(x-2)]
Với x > 2: (x-1)(x-2) = 2(x-2)
⇔ (x-2)(x-1-2) = 0
⇔ (x-2)(x-3) = 0
Vì x > 2 nên x = 3
Đáp số: x = 3
Bài 6.22
Đề bài: Giải các bất phương trình sau:
- a) 0,1^(2-x) > 0,1^(4+2x)
- b) 2·5^(2x+1) ≤ 3
- c) log₃(x + 7) ≥ -1
- d) log₀,₅(x + 7) ≥ log₀,₅(2x - 1)
Câu a) 0,1^(2-x) > 0,1^(4+2x)
Cách 1 — Phương pháp cơ bản
Bước 1: Nhận xét cơ số
0 < 0,1 < 1
Bước 2: Áp dụng tính chất
Vì 0 < a < 1: a^m > a^n ⇔ m < n
0,1^(2-x) > 0,1^(4+2x)
⇔ 2 - x < 4 + 2x
⇔ -3x < 2
⇔ x > -2/3
Đáp số: x > -2/3 hay S = (-2/3; +∞)
Cách 2 — Kiểm tra
Thử x = 0: 0,1² = 0,01; 0,1⁴ = 0,0001
0,01 > 0,0001 ✓
Đáp số: x > -2/3
Câu b) 2·5^(2x+1) ≤ 3
Cách 1 — Phương pháp cơ bản
Bước 1: Biến đổi
2·5^(2x+1) ≤ 3
5^(2x+1) ≤ 3/