Giải Toán tập 2 trang 26

Đây là phần Bài tập cuối chương VI (Hàm số mũ và hàm số logarit), gồm phần trắc nghiệm và tự luận. Mình giải chi tiết từng câu nhé.

Tóm tắt lý thuyết cần dùng

• Lũy thừa: $x^\alpha \cdot x^\beta = x^{\alpha+\beta}$, $(x^\alpha)^\beta = x^{\alpha\beta}$, $(xy)^\alpha = x^\alpha y^\alpha$.
• Logarit: $\log_a(xy)=\log_a x+\log_a y$, $\log_a\frac{x}{y}=\log_a x-\log_a y$, $\log_a x^n = n\log_a x$, đổi cơ số $\log_a x = \dfrac{\log_b x}{\log_b a}$.
• Hàm mũ $y=a^x$ và hàm logarit $y=\log_a x$: đồng biến khi $a>1$, nghịch biến khi $0

---

A – TRẮC NGHIỆM

Bài 6.27: Tính chất lũy thừa

Đề: Cho $x,y>0$ và $\alpha,\beta$ tùy ý. Khẳng định nào sai?

Lần lượt kiểm tra:

• A. $x^\alpha\cdot x^\beta=x^{\alpha+\beta}$ — đúng.
• B. $x^\alpha\cdot y^\beta=(xy)^{\alpha+\beta}$ — sai (chỉ đúng khi $\alpha=\beta$).
• C. $(x^\alpha)^\beta=x^{\alpha\beta}$ — đúng.
• D. $(xy)^\alpha=x^\alpha y^\alpha$ — đúng.

Đáp án: B

Bài 6.28: Rút gọn biểu thức căn

Đề: Rút gọn $\sqrt{x\sqrt{x\sqrt{x}}}\ :\ x^{\frac{5}{8}}$ với $x>0$.

Đi từ trong ra ngoài:
$$\sqrt{x}=x^{1/2},\quad x\sqrt{x}=x^{3/2},\quad \sqrt{x^{3/2}}=x^{3/4}$$
$$x\cdot x^{3/4}=x^{7/4},\quad \sqrt{x^{7/4}}=x^{7/8}$$

Chia tiếp:
$$x^{7/8}:x^{5/8}=x^{2/8}=x^{1/4}=\sqrt[4]{x}$$

Đáp án: A

Bài 6.29: Logarit của tích lũy thừa

Đề: Cho $a,b>0$, $a\neq1$. Khẳng định nào đúng?

$$\log_a(a^3b^2)=\log_a a^3+\log_a b^2=3+2\log_a b$$

Đáp án: B

Bài 6.30: Tính chất logarit

Đề: Cho $a,b,x,y>0$, $a,b\neq1$. Khẳng định nào sai?

• A. $\log_a(xy)=\log_a x+\log_a y$ — đúng.
• B. $\log_a\frac{x}{y}=\log_a x-\log_a y$ — đúng.
• C. $\log_a\frac{1}{x}=\dfrac{1}{\log_a x}$ — sai, vì thực ra $\log_a\frac{1}{x}=-\log_a x$.
• D. $\log_a b\cdot\log_b x=\log_a x$ — đúng (công thức đổi cơ số).

Đáp án: C

Bài 6.31: Đổi cơ số logarit

Đề: Đặt $\log_2 5=a$, $\log_3 5=b$. Tính $\log_6 5$ theo $a,b$.

$$\log_6 5=\frac{1}{\log_5 6}=\frac{1}{\log_5 2+\log_5 3}=\frac{1}{\frac{1}{a}+\frac{1}{b}}=\frac{1}{\frac{a+b}{ab}}=\frac{ab}{a+b}$$

Đáp án: A

Bài 6.32: Hàm số mũ $y=2^x$

Đề: Khẳng định nào sai?

• A. TXĐ là $\mathbb{R}$ — đúng.
• B. Tập giá trị $(0;+\infty)$ — đúng.
• C. Đồ thị cắt trục $Ox$ tại đúng một điểm — sai (vì $2^x>0$ luôn, đồ thị không cắt $Ox$).
• D. Hàm đồng biến (vì cơ số $2>1$) — đúng.

Đáp án: C

Bài 6.33: Hàm đồng biến

Đề: Hàm nào đồng biến trên tập xác định?

• A. $y=\log_{0,5}x$: cơ số $<1$ → nghịch biến.
• B. $y=e^{-x}=(1/e)^x$: cơ số $<1$ → nghịch biến.
• C. $y=(1/3)^x$: nghịch biến.
• D. $y=\ln x$: cơ số $e>1$ → đồng biến.

Đáp án: D

Bài 6.34: So sánh cơ số qua đồ thị

Đề: Cho đồ thị $y=\log_a x$, $y=\log_b x$, $y=\log_c x$ như hình. Mệnh đề nào đúng?

Quan sát đồ thị:

• $y=\log_a x$ và $y=\log_b x$ đều đồng biến → $a,b>1$.
• $y=\log_c x$ nghịch biến → $0
• Với $x>1$, đồ thị $y=\log_a x$ nằm trên $y=\log_b x$, tức $\log_a x>\log_b x$ → cơ số $a$ nhỏ hơn $b$.

Vậy $b>a>c$.

Đáp án: B

---

B – TỰ LUẬN

Bài 6.35: Tính giá trị biểu thức

Đề: Cho $0$$B=\log_a\!\left(\frac{a^2\cdot\sqrt[3]{a}\cdot\sqrt[5]{a^4}}{\sqrt[4]{a}}\right)+a^{2\log_a\frac{\sqrt{105}}{30}}$$

Phần 1. Gộp số mũ của $a$:
$$2+\frac{1}{3}+\frac{4}{5}-\frac{1}{4}=\frac{120+20+48-15}{60}=\frac{173}{60}$$
Nên $\log_a\!\left(a^{173/60}\right)=\dfrac{173}{60}$.

Phần 2. Dùng $a^{\log_a M}=M$:
$$a^{2\log_a\frac{\sqrt{105}}{30}}=\left(\frac{\sqrt{105}}{30}\right)^2=\frac{105}{900}=\frac{7}{60}$$

Cộng lại:
$$B=\frac{173}{60}+\frac{7}{60}=\frac{180}{60}=3$$

Kết quả: $B=3$

Bài 6.36: Giải phương trình

a) $3^{1-2x}=4^x$

Lấy logarit hai vế:
$$(1-2x)\ln 3=x\ln 4\Rightarrow \ln 3=x(\ln 4+2\ln 3)=x\ln 36$$
$$x=\frac{\ln 3}{\ln 36}=\log_{36}3\approx0,307$$

b) $\log_3(x+1)+\log_3(x+4)=2$

Điều kiện: $x>-1$. Khi đó:
$$\log_3\big[(x+1)(x+4)\big]=2\Rightarrow (x+1)(x+4)=9$$
$$x^2+5x-5=0\Rightarrow x=\frac{-5\pm 3\sqrt5}{2}$$

So điều kiện: $x=\dfrac{-5+3\sqrt5}{2}\approx0,85$ (nhận), nghiệm còn lại $<-1$ (loại).

Nghiệm: $x=\dfrac{-5+3\sqrt5}{2}$

Bài 6.37: Tìm tập xác định

a) $y=\sqrt{4^x-2^{x+1}}$

Cần $4^x-2^{x+1}\ge0$. Đặt $t=2^x>0$:
$$t^2-2t\ge0\Rightarrow t(t-2)\ge0\Rightarrow t\ge2$$
$$2^x\ge2\Rightarrow x\ge1$$

TXĐ: $D=[1;+\infty)$

b) $y=\ln(1-\ln x)$

Cần $x>0$ và $1-\ln x>0\Rightarrow\ln x<1\Rightarrow x

TXĐ: $D=(0;e)$

Bài 6.38: Bài toán lạm phát

Công thức: $A=P\left(1-\dfrac{r}{100}\right)^n$.

a) $r=8$, $P=100$ triệu, $n=2$:
$$A=100(1-0,08)^2=100\cdot0,92^2=100\cdot0,8464=84,64\ \text{triệu đồng}$$

b) $A=90$, $P=100$, $n=2$:
$$(1-\tfrac{r}{100})^2=0,9\Rightarrow 1-\tfrac{r}{100}=\sqrt{0,9}\approx0,9487$$
$$\frac{r}{100}\approx0,0513\Rightarrow r\approx5,13\%$$

c) $r=5$, cần $A=\dfrac{P}{2}$:
$$0,95^n=0,5\Rightarrow n=\frac{\ln0,5}{\ln0,95}\approx13,5$$

Vậy sau khoảng 14 năm sức mua chỉ còn lại một nửa.

Bài 6.39: Tăng trưởng vi khuẩn

$N(t)=N_0e^{rt}$, với $N_0=500$, $N(1)=800$.

Tìm $r$:
$$800=500e^{r}\Rightarrow e^{r}=1,6\Rightarrow r=\ln1,6\approx0,470$$

a) Sau 5 giờ:
$$N(5)=500\cdot(e^r)^5=500\cdot1,6^5=500\cdot10,48576\approx5243\ \text{con}$$

b) Tăng gấp đôi: $e^{rt}=2$
$$t=\frac{\ln2}{\ln1,6}\approx1,47\ \text{giờ}\ (\approx 1\ \text{giờ}\ 28\ \text{phút})$$

Bài 6.40: Định luật Benford

Công thức: $P=\log\dfrac{d+1}{d}$.

a) Tìm $d$ theo $P$:
$$P=\log\frac{d+1}{d}\Rightarrow 10^P=1+\frac{1}{d}\Rightarrow d=\frac{1}{10^P-1}$$

b) $P=9,7\%=0,097$:
$$d=\frac{1}{10^{0,097}-1}=\frac{1}{1,2502-1}\approx\frac{1}{0,2502}\approx4$$

Kiểm tra lại: $\log\dfrac{5}{4}=\log1,25\approx0,0969=9,7\%$. Vậy chữ số $d=4$.

c) Xác suất chữ số đầu tiên là $1$ (thay $d=1$):
$$P=\log\frac{2}{1}=\log2\approx0,301=30,1\%$$

---

Tổng kết phần trắc nghiệm: 6.27‑B, 6.28‑A, 6.29‑B, 6.30‑C, 6.31‑A, 6.32‑C, 6.33‑D, 6.34‑B. Phần tự luận trọng tâm là vận dụng tính chất lũy thừa, logarit và mô hình hàm mũ vào bài toán thực tế (lạm phát, vi khuẩn, định luật Benford).