Giải Toán tập 2 trang 28

Tóm tắt lý thuyết

Chương VII tìm hiểu về quan hệ vuông góc, góc, khoảng cách và thể tích trong Hình học không gian.

Phần 1 của bài giới thiệu khái niệm góc giữa hai đường thẳng:

Góc giữa hai đường thẳng $m$ và $n$ trong không gian, kí hiệu $(m, n)$, là góc giữa hai đường thẳng $a$ và $b$ cùng đi qua một điểm và tương ứng song song với $m$ và $n$.

Chú ý quan trọng:

• Để xác định góc giữa hai đường thẳng chéo nhau $a$ và $b$, ta lấy một điểm $O$ thuộc $a$, qua đó kẻ đường thẳng $b'$ song song với $b$. Khi đó $(a, b) = (a, b')$.
• Với hai đường thẳng bất kì: $0^\circ \le (a, b) \le 90^\circ$.

Hoạt động 1 (HĐ1): Xây dựng khái niệm góc giữa hai đường thẳng

Đề bài: Trong không gian, cho hai đường thẳng chéo nhau $m$ và $n$. Từ hai điểm phân biệt $O, O'$ tuỳ ý lần lượt kẻ các cặp đường thẳng $a, b$ và $a', b'$ tương ứng song song với $m, n$ (H.7.2).

a) Mỗi cặp đường thẳng $a, a'$ và $b, b'$ có cùng thuộc một mặt phẳng hay không?

b) Lấy các điểm $A, B$ (khác $O$) tương ứng thuộc $a, b$. Đường thẳng qua $A$ song song với $OO'$ cắt $a'$ tại $A'$, đường thẳng qua $B$ song song với $OO'$ cắt $b'$ tại $B'$. Giải thích vì sao $OAA'O'$, $OBB'O'$, $ABB'A'$ là các hình bình hành.

c) So sánh góc giữa hai đường thẳng $a, b$ và góc giữa hai đường thẳng $a', b'$.

Lời giải:

a) Có.

• $a$ và $a'$ cùng song song với $m$, mà hai đường thẳng phân biệt cùng song song với một đường thẳng thì $a \parallel a'$. Hai đường thẳng song song thì cùng thuộc một mặt phẳng.
• Tương tự, $b$ và $b'$ cùng song song với $n$ nên $b \parallel b'$, do đó cùng thuộc một mặt phẳng.

b) Ta chứng minh từng tứ giác là hình bình hành:

Xét tứ giác $OAA'O'$:

• Theo cách dựng, $AA' \parallel OO'$.
• $A \in a$, $A' \in a'$ mà $a \parallel a'$ nên $OA \parallel O'A'$.

Tứ giác có hai cặp cạnh đối song song nên $OAA'O'$ là hình bình hành. Suy ra $OA = O'A'$ và $\overrightarrow{OA} = \overrightarrow{O'A'}$.

Xét tứ giác $OBB'O'$:

• $BB' \parallel OO'$ (cách dựng).
• $OB \parallel O'B'$ (vì $b \parallel b'$).

Vậy $OBB'O'$ là hình bình hành. Suy ra $\overrightarrow{OB} = \overrightarrow{O'B'}$.

Xét tứ giác $ABB'A'$:

• Từ hai hình bình hành trên: $\overrightarrow{AA'} = \overrightarrow{OO'}$ và $\overrightarrow{BB'} = \overrightarrow{OO'}$.
• Do đó $\overrightarrow{AA'} = \overrightarrow{BB'}$, nghĩa là $AA' \parallel BB'$ và $AA' = BB'$.

Tứ giác có một cặp cạnh đối vừa song song vừa bằng nhau nên $ABB'A'$ là hình bình hành. Suy ra $AB = A'B'$.

c) So sánh hai góc:

Từ kết quả câu b ta có $OA = O'A'$, $OB = O'B'$, $AB = A'B'$.

Vậy hai tam giác $OAB$ và $O'A'B'$ có ba cặp cạnh bằng nhau, nên $\triangle OAB = \triangle O'A'B'$.

Áp dụng định lí côsin cho hai tam giác (theo gợi ý):

$$\cos \widehat{AOB} = \frac{OA^2 + OB^2 - AB^2}{2 \cdot OA \cdot OB}$$

$$\cos \widehat{A'O'B'} = \frac{O'A'^2 + O'B'^2 - A'B'^2}{2 \cdot O'A' \cdot O'B'}$$

Vì các cạnh tương ứng bằng nhau nên $\widehat{AOB} = \widehat{A'O'B'}$.

Kết luận: Góc giữa hai đường thẳng $a, b$ bằng góc giữa hai đường thẳng $a', b'$. Điều này cho thấy góc đó không phụ thuộc vào vị trí điểm $O$ ta chọn, vì vậy định nghĩa góc giữa hai đường thẳng là hợp lí.

Câu hỏi (?): Quan hệ giữa hai góc

Đề bài: Nếu $a$ song song hoặc trùng với $a'$ và $b$ song song hoặc trùng với $b'$ thì $(a, b)$ và $(a', b')$ có mối quan hệ gì?

Lời giải:

Khi $a \parallel a'$ (hoặc $a \equiv a'$) và $b \parallel b'$ (hoặc $b \equiv b'$) thì:
$$(a, b) = (a', b')$$

Lý do: Góc giữa hai đường thẳng chỉ phụ thuộc vào phương của chúng. Hai đường thẳng song song hoặc trùng nhau thì có cùng phương, nên cặp $a, b$ và cặp $a', b'$ tạo ra góc bằng nhau.

Ví dụ 1: Tính góc trong hình lập phương

Đề bài: Cho hình hộp $ABCD.A'B'C'D'$ có các mặt là các hình vuông (tức hình lập phương). Tính các góc $(AA', CD)$, $(A'C', BD)$, $(AC, DC')$.

Lời giải (H.7.3):

Tính $(AA', CD)$:

• Vì $CD \parallel AB$ nên $(AA', CD) = (AA', AB)$.
• $AA'$ và $AB$ là hai cạnh kề của mặt vuông $ABB'A'$, vuông góc với nhau.

$$(AA', CD) = (AA', AB) = 90^\circ$$

Tính $(A'C', BD)$:

• Tứ giác $ACC'A'$ có các cặp cạnh đối bằng nhau nên là hình bình hành, do đó $A'C' \parallel AC$.
• Suy ra $(A'C', BD) = (AC, BD)$.
• $AC$ và $BD$ là hai đường chéo của hình vuông $ABCD$, cắt nhau và vuông góc.

$$(A'C', BD) = (AC, BD) = 90^\circ$$

Tính $(AC, DC')$:

• Tương tự, $DC' \parallel AB'$ nên $(AC, DC') = (AC, AB')$.
• Xét tam giác $AB'C$: ba cạnh $AB', B'C, AC$ đều là đường chéo của các hình vuông bằng nhau (các mặt của lập phương), nên ba cạnh này bằng nhau.
• Tam giác $AB'C$ là tam giác đều, mỗi góc bằng $60^\circ$.

$$(AC, DC') = (AC, AB') = 60^\circ$$

Tóm tắt kết quả:

Lưu ý cho em: Trang ảnh thầy nhận được gồm trang 27 (mở đầu chương) và trang 28. Phần nội dung trang 29 không có trong ảnh, nên thầy chỉ giải được các hoạt động và ví dụ thuộc trang 28. Nếu em gửi thêm ảnh trang 29, thầy sẽ giải tiếp các bài tập còn lại nhé.