Giải Toán tập 2 trang 30

🔍 Kiến thức cần nhớ

Hai đường thẳng vuông góc

• Hai đường thẳng a, b được gọi là vuông góc với nhau, kí hiệu a ⊥ b, nếu góc giữa chúng bằng 90°.
• Nếu đường thẳng a vuông góc với đường thẳng b thì a cũng vuông góc với các đường thẳng song song với b.

Vị trí tương đối của hai đường thẳng trong không gian

• Trùng nhau
• Song song
• Cắt nhau
• Chéo nhau

---

⚙️ Bài tập

---

Bài Vận dụng: Kim tự tháp Cheops

Đề bài: Kim tự tháp Cheops có dạng hình chóp với đáy là hình vuông có cạnh dài khoảng 230 m, các cạnh bên bằng nhau và dài khoảng 219 m. Tính (gần đúng) góc tạo bởi cạnh bên SC và cạnh đáy AB của kim tự tháp (H.7.4).

Cách 1 — Phương pháp dùng công thức góc giữa hai đường thẳng

Phân tích:

• Kim tự tháp có đáy ABCD là hình vuông cạnh a = 230 m
• Các cạnh bên SA = SB = SC = SD = 219 m
• Cần tính góc giữa SC và AB

Lời giải:

Do đáy ABCD là hình vuông nên AB // CD.

Góc giữa SC và AB bằng góc giữa SC và CD (vì AB // CD).

Xét tam giác SCD:

• CD = 230 m (cạnh đáy hình vuông)
• SC = SD = 219 m (cạnh bên)

Tam giác SCD cân tại S.

Góc giữa SC và CD chính là góc SCD.

Áp dụng định lý cosin trong tam giác SCD:

SD² = SC² + CD² - 2 × SC × CD × cos(SCD)

219² = 219² + 230² - 2 × 219 × 230 × cos(SCD)

0 = 230² - 2 × 219 × 230 × cos(SCD)

230² = 2 × 219 × 230 × cos(SCD)

cos(SCD) = 230/(2 × 219) = 230/438 = 115/219 ≈ 0,5251

Góc SCD ≈ arccos(0,5251) ≈ 58,3°

Cách 2 — Phương pháp dùng tam giác cân

Trong tam giác cân SCD với SC = SD = 219 m và CD = 230 m:

Gọi góc SCD = góc SDC = α (góc ở đáy tam giác cân)

Ta có: cos α = CD/(2 × SC) × ...

Hoặc dùng công thức: cos α = (SC² + CD² - SD²)/(2 × SC × CD)

cos α = (219² + 230² - 219²)/(2 × 219 × 230) = 230²/(2 × 219 × 230) = 230/(2 × 219) ≈ 0,5251

α ≈ 58,3°

💡 Mẹo bấm máy (Casio fx-580VN X): - Bấm: cos⁻¹(230 ÷ (2 × 219)) → = → Kết quả ≈ 58,3° - Hoặc: SHIFT → cos → (230÷438) → =

---

Bài HĐ2: Góc giữa hai đường mép cửa

Đề bài: Đối với hai cánh cửa trong Hình 7.5, tính góc giữa hai đường mép cửa BC và MN.

Lời giải:

Quan sát Hình 7.5, ta thấy:

• BC là đường mép đứng của cánh cửa bên trái
• MN là đường mép đứng của cánh cửa bên phải
• Cả hai đường thẳng BC và MN đều thẳng đứng (vuông góc với mặt đất)

Do đó, BC // MN (cùng vuông góc với mặt phẳng ngang).

Kết luận: Góc giữa BC và MN bằng 0° (vì hai đường thẳng song song).

---

Câu hỏi (trang 29): Đường thẳng vuông góc với đường thẳng song song

Đề bài: Nếu đường thẳng a vuông góc với đường thẳng b thì a có vuông góc với các đường thẳng song song với b hay không?

Lời giải:

Có. Nếu a ⊥ b và c // b thì a ⊥ c.

Giải thích:

• Góc giữa hai đường thẳng được xác định bằng cách đưa về góc giữa hai đường thẳng cắt nhau.
• Nếu c // b thì góc giữa a và c bằng góc giữa a và b.
• Mà góc giữa a và b bằng 90° nên góc giữa a và c cũng bằng 90°.

---

Bài Luyện tập 1

Đề bài: Cho tam giác MNP vuông tại N và một điểm A nằm ngoài mặt phẳng (MNP). Lần lượt lấy các điểm B, C, D sao cho M, N, P tương ứng là trung điểm của AB, AC, CD (H.7.7). Chứng minh rằng AD và BC vuông góc với nhau và chéo nhau.

Cách 1 — Phương pháp dùng đường trung bình

Chứng minh AD ⊥ BC:

Trong tam giác ABC:

• M là trung điểm của AB
• N là trung điểm của AC

⟹ MN là đường trung bình của tam giác ABC

⟹ MN // BC và MN = BC/2

Trong tam giác ACD:

• N là trung điểm của AC
• P là trung điểm của CD

⟹ NP là đường trung bình của tam giác ACD

⟹ NP // AD và NP = AD/2

Do tam giác MNP vuông tại N nên MN ⊥ NP.

Mà MN // BC và NP // AD.

Do đó: AD ⊥ BC (hai đường thẳng lần lượt song song với hai đường thẳng vuông góc thì vuông góc với nhau).

Chứng minh AD và BC chéo nhau:

• BC nằm trong mặt phẳng (ABC)
• AD có điểm A ∈ (ABC) và điểm D ∉ (ABC) (vì D nằm ngoài mặt phẳng (ABC))

Giả sử AD và BC cắt nhau tại điểm I thì I ∈ BC ⊂ (ABC) và I ∈ AD.

Nhưng AD chỉ có điểm A thuộc (ABC), nên nếu I ≠ A thì I ∉ (ABC), mâu thuẫn.

Nếu I = A thì A ∈ BC, tức A, B, C thẳng hàng. Điều này mâu thuẫn vì M, N là trung điểm của AB, AC với M ≠ N.

AD không song song BC (vì chúng vuông góc và không cùng phương).

Kết luận: AD và BC chéo nhau.

Cách 2 — Phương pháp véc-tơ (nếu đã học)

Đặt véc-tơ:

• Gọi véc-tơ AB = 2 × véc-tơ AM
• Gọi véc-tơ AC = 2 × véc-tơ AN

Véc-tơ BC = véc-tơ AC - véc-tơ AB = 2(véc-tơ AN - véc-tơ AM) = 2 × véc-tơ MN

Véc-tơ AD = véc-tơ AC + véc-tơ CD = véc-tơ AC + 2 × véc-tơ CP = 2 × véc-tơ AN + 2 × véc-tơ NP

Do MN ⊥ NP (tam giác MNP vuông tại N), ta có véc-tơ MN · véc-tơ NP = 0.

Suy ra AD ⊥ BC.

---

Bài 7.1

Đề bài: Cho hình lăng trụ ABC.A'B'C' có các đáy là các tam giác đều. Tính góc (AB, B'C').

Cách 1 — Phương pháp dùng đường thẳng song song

Lời giải:

Do ABC.A'B'C' là lăng trụ nên AA' // BB' // CC' và AB // A'B'.

Vì AB // A'B' nên góc (AB, B'C') = góc (A'B', B'C').

Hai đường thẳng A'B' và B'C' cắt nhau tại B'.

Tam giác A'B'C' là tam giác đều (đáy của lăng trụ).

Góc A'B'C' = 60° (góc của tam giác đều).

Kết luận: Góc (AB, B'C') = 60°.

Cách 2 — Phương pháp tịnh tiến

Tịnh tiến AB theo véc-tơ BB' được A'B'.

Góc giữa AB và B'C' bằng góc giữa A'B' và B'C' = góc A'B'C' = 60°.

💡 Mẹo nhớ: Trong lăng trụ, để tính góc giữa hai đường thẳng, ta thường tịnh tiến một đường thẳng để hai đường cắt nhau, sau đó tính góc trực tiếp.

---

Bài 7.2

Đề bài: Cho hình hộp ABCD.A'B'C'D' có các cạnh bằng nhau. Chứng minh rằng tứ diện ACB'D' có các cặp cạnh đối diện vuông góc với nhau.

Cách 1 — Phương pháp dùng tính chất hình hộp

Lời giải:

Hình hộp có các cạnh bằng nhau nghĩa là ABCD.A'B'C'D' là hình hộp có AB = BC = CD = DA = AA' = ... (tất cả cạnh bằng nhau), tức là hình thoi.

Các cặp cạnh đối diện của tứ diện ACB'D':

• AC và B'D'
• AB' và CD'
• AD' và CB'

Chứng minh AC ⊥ B'D':

Do hình hộp có tất cả các cạnh bằng nhau nên:

• ABCD là hình thoi ⟹ AC ⊥ BD
• A'B'C'D' là hình thoi ⟹ A'C' ⊥ B'D'

Vì B'D' // BD (hai đường chéo của hai mặt đối diện song song) nên:
AC ⊥ BD và BD // B'D' ⟹ AC ⊥ B'D'

Chứng minh AB' ⊥ CD':

Trong hình hộp: AB' // DC' (vì ABB'A' và DCC'D' là các mặt bên song song, và AB' là đường chéo mặt ABB'A', DC' là đường chéo mặt DCC'D').

Thực tế, xét mặt phẳng (AB'C'D):

• ABB'D' là hình bình hành (vì AB // D'B' không đúng...)

Cách tiếp cận khác:

Xét tứ giác ABB'A': AA' // BB' và AA' = BB' nên ABB'A' là hình bình hành.
⟹ AB' // A'B

Tương tự, tứ giác DCC'D' là hình bình hành nên DC' // D'C.

Vì hình hộp có các cạnh bằng nhau, các mặt bên là hình thoi.

Mặt ABB'A' là hình thoi (AB = AA' = A'B' = B'B) nên AB' ⊥ A'B.

Mặt ADD'A' là hình thoi nên AD' ⊥ A'D.

Xét: CD' = CA' + A'D' (véc-tơ)

Ta cần chứng minh AB' · CD' = 0 (tích vô hướng).

Thực chất, trong hình hộp với tất cả cạnh bằng nhau:

• Mặt ABB'A' là hình thoi ⟹ hai đường chéo AB' và A'B vuông góc
• A'B // CD' (vì A'BCD' là hình bình hành trong hình hộp)
• Do đó AB' ⊥ CD'

Chứng minh AD' ⊥ CB':

Tương tự, mặt ADD'A' là hình thoi nên AD' ⊥ A'D.

A'D // CB' (vì A'DCB' là hình bình hành).

Do đó AD' ⊥ CB'.

Kết luận: Tứ diện ACB'D' có các cặp cạnh đối diện vuông góc với nhau.

⚠️ Lưu ý thi: Bài này thường xuất hiện trong đề thi, cần nắm vững tính chất hình hộp có tất cả cạnh bằng nhau (các mặt là hình thoi, đường chéo mặt vuông góc).

---

Bài 7.3

Đề bài: Cho tứ diện ABCD có góc CBD = 90°.

a) Gọi M, N tương ứng là trung điểm của AB, AD. Chứng minh rằng MN vuông góc với BC.

b) Gọi G, K tương ứng là trọng tâm của các tam giác ABC, ACD. Chứng minh rằng GK vuông góc với BC.

Câu a)

Cách 1 — Phương pháp đường trung bình

Lời giải:

M là trung điểm AB, N là trung điểm AD.

⟹ MN là đường trung bình của tam giác ABD.

⟹ MN // BD và MN = BD/2.

Theo giả thiết: góc CBD = 90° ⟹ BD ⊥ BC.

Mà MN // BD nên MN ⊥ BC.

Cách 2 — Phương pháp véc-tơ

Đặt gốc tọa độ tại B.

Véc-tơ MN = véc-tơ AN - véc-tơ AM = (1/2) véc-tơ AD - (1/2) véc-tơ AB = (1/2) véc-tơ BD

Vì BD ⊥ BC nên véc-tơ BD · véc-tơ BC = 0.

⟹ véc-tơ MN · véc-tơ BC = (1/2) véc-tơ BD · véc-tơ BC = 0.

⟹ MN ⊥ BC.

Câu b)

Cách 1 — Phương pháp dùng tính chất trọng tâm

Lời giải:

G là trọng tâm tam giác ABC ⟹ véc-tơ AG = (1/3)(véc-tơ AB + véc-tơ AC)

K là trọng tâm tam giác ACD ⟹ véc-tơ AK = (1/3)(véc-tơ AC + véc-tơ AD)

Véc-tơ GK = véc-tơ AK - véc-tơ AG

= (1/3)(véc-tơ AC + véc-tơ AD) - (1/3)(véc-tơ AB + véc-tơ AC)

= (1/3)(véc-tơ AD - véc-tơ AB)
= (1/3) véc-tơ BD

⟹ GK // BD

Mà BD ⊥ BC (theo giả thiết góc CBD = 90°).

⟹ GK ⊥ BC.

Cách 2 — Phương pháp hình học

Gọi E là trung điểm AC.

• G là trọng tâm △ABC ⟹ G nằm trên BE và BG = (2/3)BE
• K là trọng tâm △ACD ⟹ K nằm trên DE và DK = (2/3)DE

Trong tam giác ABD, E là trung điểm của... (cách này phức tạp hơn, nên dùng Cách 1)

💡 Mẹo nhớ: Khi cần chứng minh hai đường thẳng vuông góc, hãy tìm cách đưa về hai đường thẳng song song với chúng mà ta đã biết vuông góc.

---

Bài 7.4

Đề bài: Đối với nhà gỗ truyền thống, trong các cấu kiện hoành, quá giang, xà cái, rui, cột tương ứng được đánh số 1, 2, 3, 4, 5 như trong Hình 7.8, những cặp cấu kiện nào vuông góc với nhau?

Lời giải:

Quan sát Hình 7.8:

• Cột (5): thẳng đứng
• Quá giang (2): nằm ngang, song song với chiều rộng nhà
• Hoành (1): nằm ngang, song song với chiều dài nhà
• Xà cái (4): nằm ngang, song song với chiều dài nhà
• Rui (3): nằm nghiêng theo mái, hướng từ nóc xuống

Các cặp cấu kiện vuông góc với nhau:

1. Cột (5) ⊥ Quá giang (2): Cột thẳng đứng, quá giang nằm ngang ⟹ vuông góc.

1. Cột (5) ⊥ Hoành (1): Cột thẳng đứng, hoành nằm ngang ⟹ vuông góc.

1. Cột (5) ⊥ Xà cái (4): Cột thẳng đứng, xà cái nằm ngang ⟹ vuông góc.

1. Hoành (1) ⊥ Quá giang (2): Hoành chạy dọc theo chiều dài nhà, quá giang chạy theo chiều rộng nhà ⟹ vuông góc.

1. Xà cái (4) ⊥ Quá giang (2): Xà cái song song với hoành, quá giang vuông góc với hoành ⟹ vuông góc.

1. Rui (3) ⊥ Hoành (1): Rui chạy theo hướng dốc mái (từ nóc xuống hiên), hoành chạy dọc theo chiều dài nhà ⟹ vuông góc.

1. Rui (3) ⊥ Xà cái (4): Tương tự, rui vuông góc với xà cái.

Kết luận: Các cặp cấu kiện vuông góc với nhau:

• (5) và (2): Cột ⊥ Quá giang
• (5) và (1): Cột ⊥ Hoành
• (5) và (4): Cột ⊥ Xà cái
• (1) và (2): Hoành ⊥ Quá giang
• (4) và (2): Xà cái ⊥ Quá giang
• (3) và (1): Rui ⊥ Hoành
• (3) và (4): Rui ⊥ Xà cái

💡 Liên hệ thực tế: Bài này giúp ta thấy ứng dụng của quan hệ vuông góc trong kiến trúc truyền thống Việt Nam. Các cấu kiện được thiết kế vuông góc để đảm bảo độ vững chắc của công trình.

---

🎯 Ghi nhớ: - Hai đường thẳng vuông góc khi góc giữa chúng bằng 90°. - Nếu a ⊥ b và c // b thì a ⊥ c. - Để chứng minh hai đường thẳng vuông góc, có thể: (1) tính trực tiếp góc, (2) dùng tính chất đường thẳng song song, (3) dùng véc-tơ với tích vô hướng bằng 0. - Đường trung bình tam giác song song với cạnh đáy - đây là công cụ quan trọng để biến đổi vị trí đường thẳng.