Giải Toán tập 2 trang 32
Lời giải chi tiết SGK Lớp 11 · Môn ToĂ¡n · Trang 32–33
🔍 Kiến thức cần nhớ
Định nghĩa: Đường thẳng Δ được gọi là vuông góc với mặt phẳng (P) nếu Δ vuông góc với mọi đường thẳng nằm trong (P).
Kí hiệu: Δ ⊥ (P)
Định lý quan trọng: Nếu một đường thẳng vuông góc với hai đường thẳng cắt nhau thuộc cùng một mặt phẳng thì nó vuông góc với mặt phẳng đó.
💡 Mẹo nhớ: Muốn chứng minh đường thẳng d ⊥ (P), chỉ cần chứng minh d vuông góc với hai đường thẳng cắt nhau nằm trong (P).
⚙️ Bài tập
HĐ1 (Hoạt động 1)
Đề bài: Đối với cánh cửa như trong Hình 7.10, khi đóng – mở cánh cửa, ta coi mép dưới BC của cánh cửa luôn sát sàn nhà (khe hở không đáng kể).
a) Từ quan sát trên, hãy giải thích vì sao đường thẳng AB vuông góc với mọi đường thẳng đi qua B trên sàn nhà.
b) Giải thích vì sao đường thẳng AB vuông góc với mọi đường thẳng trên sàn nhà.
Cách 1 — Phương pháp quan sát thực tế
Câu a)
Phân tích: Quan sát cánh cửa khi đóng – mở:
- Đường thẳng AB là cạnh bản lề của cánh cửa (cạnh thẳng đứng cố định)
- Mép dưới BC của cánh cửa luôn nằm trên sàn nhà
- Khi cửa quay quanh bản lề AB, mép BC quét qua nhiều vị trí khác nhau trên sàn
Lời giải:
Khi cánh cửa đóng – mở, mép dưới BC quay quanh điểm B và luôn nằm trên mặt sàn nhà.
Do cánh cửa là hình chữ nhật ABCD nên AB ⊥ BC.
Khi cửa quay, BC quét qua vô số vị trí khác nhau trên sàn, tạo thành vô số đường thẳng đi qua B trên sàn nhà.
Ở mọi vị trí, góc ABC luôn bằng 90° (do cánh cửa là hình chữ nhật).
Kết luận: Đường thẳng AB vuông góc với mọi đường thẳng đi qua B trên sàn nhà.
Câu b)
Lời giải:
Từ câu a), ta đã biết AB vuông góc với mọi đường thẳng đi qua B trên sàn nhà.
Gọi d là một đường thẳng bất kỳ trên sàn nhà (không nhất thiết đi qua B).
Qua B, kẻ đường thẳng d' song song với d (d' nằm trên sàn nhà và đi qua B).
Theo câu a): AB ⊥ d'
Vì d // d' và AB ⊥ d' nên AB ⊥ d.
Kết luận: Đường thẳng AB vuông góc với mọi đường thẳng trên sàn nhà.
Hay nói cách khác: AB vuông góc với mặt phẳng sàn nhà.
Cách 2 — Phương pháp sử dụng định nghĩa
Câu a)
Cánh cửa hình chữ nhật ABCD có AB ⊥ BC (góc vuông của hình chữ nhật).
Khi cửa quay quanh bản lề AB, điểm C di chuyển trên một đường tròn nằm trong mặt phẳng sàn nhà, tâm là B.
Mọi vị trí của BC đều là bán kính của đường tròn này, và AB luôn vuông góc với mỗi bán kính đó.
Do đó AB vuông góc với mọi đường thẳng đi qua B trên sàn nhà.
Câu b)
Theo định nghĩa đường thẳng vuông góc với mặt phẳng:
Vì AB vuông góc với mọi đường thẳng đi qua B trên sàn nhà, nên AB vuông góc với mọi đường thẳng nằm trong mặt phẳng sàn nhà.
Vậy AB ⊥ (sàn nhà).
🎯 Ghi nhớ: Cạnh bản lề của cửa là ví dụ điển hình về đường thẳng vuông góc với mặt phẳng trong thực tế.
Câu hỏi (trang 32 - đầu trang)
Đề bài: Nếu đường thẳng Δ và mặt phẳng (P) vuông góc với nhau thì chúng có cắt nhau hay không?
Cách 1 — Phương pháp phản chứng
Lời giải:
Giả sử Δ ⊥ (P) mà Δ không cắt (P).
Khi đó Δ // (P) hoặc Δ ⊂ (P).
Trường hợp 1: Nếu Δ // (P)
- Lấy điểm A ∈ Δ, kẻ đường thẳng d đi qua A và song song với một đường thẳng trong (P)
- Khi đó d không vuông góc với Δ (vì chúng cắt nhau tại A và không vuông góc)
- Mà d // với đường thẳng trong (P), mâu thuẫn với Δ ⊥ (P)
Trường hợp 2: Nếu Δ ⊂ (P)
- Thì Δ nằm trong (P), do đó Δ không thể vuông góc với mọi đường thẳng trong (P) (vì Δ không vuông góc với chính nó)
- Mâu thuẫn với giả thiết Δ ⊥ (P)
Kết luận: Nếu Δ ⊥ (P) thì Δ và (P) nhất định cắt nhau.
Cách 2 — Phương pháp suy luận trực tiếp
Lời giải:
Nếu Δ ⊥ (P), theo định nghĩa thì Δ vuông góc với mọi đường thẳng trong (P).
Điều này chỉ xảy ra khi Δ đi qua một điểm thuộc (P) và thẳng đứng so với (P).
Do đó Δ phải cắt (P) tại đúng một điểm (gọi là chân đường vuông góc).
Kết luận: Có, Δ và (P) cắt nhau tại một điểm duy nhất.
⚠️ Lưu ý thi: Đường thẳng vuông góc với mặt phẳng luôn cắt mặt phẳng đó tại một điểm duy nhất!
HĐ2 (Hoạt động 2)
Đề bài: Gấp tấm bìa cứng hình chữ nhật sao cho nếp gấp chia tấm bìa thành hai hình chữ nhật, sau đó đặt nó lên mặt bàn như Hình 7.11.
a) Bằng cách trên, ta tạo được đường thẳng AB vuông góc với hai đường thẳng nào thuộc mặt bàn?
b) Trên mặt bàn, qua điểm A kẻ một đường thẳng a tuỳ ý. Dùng ê ke, hãy kiểm tra trên mô hình xem AB có vuông góc với a hay không.
Cách 1 — Phương pháp phân tích hình học
Câu a)
Phân tích:
- Tấm bìa ban đầu là hình chữ nhật MBCD
- Sau khi gấp theo nếp gấp AN, ta được hai hình chữ nhật: MABN và ANCD
- Đặt lên mặt bàn sao cho cạnh AN và ND nằm trên mặt bàn
Lời giải:
Khi gấp tấm bìa và đặt lên mặt bàn:
- Phần ANCD nằm trên mặt bàn, trong đó AN và ND là hai cạnh của hình chữ nhật thuộc mặt bàn
- Phần MABN dựng đứng, với AB là cạnh thẳng đứng
Do MABN là hình chữ nhật nên:
- AB ⊥ AN (vì góc BAN = 90°)
Do ANCD là hình chữ nhật nằm trên mặt bàn, khi gấp đúng cách:
- AB cũng vuông góc với AD (cạnh của hình chữ nhật ban đầu, nay nằm trên mặt bàn)
Kết luận: Đường thẳng AB vuông góc với hai đường thẳng AN và AD thuộc mặt bàn.
Mà AN và AD là hai đường thẳng cắt nhau tại A, nên theo định lý: AB ⊥ (mặt bàn).
Câu b)
Lời giải:
Từ câu a), ta đã chứng minh AB vuông góc với hai đường thẳng cắt nhau AN và AD thuộc mặt bàn.
Theo định lý: "Nếu một đường thẳng vuông góc với hai đường thẳng cắt nhau thuộc cùng một mặt phẳng thì nó vuông góc với mặt phẳng đó."
Suy ra: AB ⊥ (mặt bàn)
Do đó AB vuông góc với mọi đường thẳng nằm trên mặt bàn.
Vì a là đường thẳng bất kỳ qua A nằm trên mặt bàn, nên AB ⊥ a.
Kiểm tra thực tế: Dùng ê ke đặt một cạnh góc vuông dọc theo AB, cạnh còn lại sẽ trùng với đường thẳng a → Góc giữa AB và a bằng 90°.
🎯 Ghi nhớ: Đây là cách dựng đường thẳng vuông góc với mặt phẳng bằng phương pháp gấp giấy!
Câu hỏi (giữa trang 32)
Đề bài: Nếu một đường thẳng vuông góc với hai cạnh của một tam giác thì đường thẳng đó có vuông góc với cạnh còn lại hay không?
Cách 1 — Phương pháp sử dụng định lý
Lời giải:
Xét tam giác ABC và đường thẳng d vuông góc với hai cạnh AB và AC.
Gọi (ABC) là mặt phẳng chứa tam giác ABC.
Ta có:
- d ⊥ AB
- d ⊥ AC
- AB và AC là hai đường thẳng cắt nhau tại A và cùng thuộc mặt phẳng (ABC)
Theo định lý: "Nếu một đường thẳng vuông góc với hai đường thẳng cắt nhau thuộc cùng một mặt phẳng thì nó vuông góc với mặt phẳng đó."
Suy ra: d ⊥ (ABC)
Do đó d vuông góc với mọi đường thẳng nằm trong (ABC), bao gồm cả cạnh BC.
Kết luận: Có, đường thẳng d vuông góc với cạnh còn lại BC.
Cách 2 — Phương pháp vector (nếu đã học)
Lời giải:
Giả sử d ⊥ AB và d ⊥ AC.
Vector chỉ phương của d là u.
Ta có: u · AB = 0 và u · AC = 0
Vì BC = AC - AB, nên:
u · BC = u · (AC - AB) = u · AC - u · AB = 0 - 0 = 0
Do đó d ⊥ BC.
Kết luận: Có, đường thẳng vuông góc với hai cạnh của tam giác thì cũng vuông góc với cạnh còn lại.
⚠️ Lưu ý thi: Tính chất này rất hữu ích khi chứng minh đường thẳng vuông góc với mặt phẳng!
Luyện tập 1
Đề bài: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình bình hành tâm O, SA = SC và SB = SD (Hình 7.14). Chứng minh rằng SO ⊥ (ABCD).
Cách 1 — Phương pháp sử dụng tam giác cân
Lời giải:
Bước 1: Chứng minh SO ⊥ AC
Xét tam giác SAC:
- SA = SC (giả thiết)
- O là trung điểm của AC (vì O là tâm hình bình hành ABCD, mà hai đường chéo của hình bình hành cắt nhau tại trung điểm mỗi đường)
Suy ra: Tam giác SAC cân tại S.
Do đó SO là đường trung tuyến đồng thời là đường cao của tam giác cân SAC.
Kết luận: SO ⊥ AC
Bước 2: Chứng minh SO ⊥ BD
Xét tam giác SBD:
- SB = SD (giả thiết)
- O là trung điểm của BD (vì O là tâm hình bình hành ABCD)
Suy ra: Tam giác SBD cân tại S.
Do đó SO là đường trung tuyến đồng thời là đường cao của tam giác cân SBD.
Kết luận: SO ⊥ BD
Bước 3: Kết luận
Ta có:
- SO ⊥ AC
- SO ⊥ BD
- AC và BD là hai đường chéo của hình bình hành ABCD, chúng cắt nhau tại O và cùng thuộc mặt phẳng (ABCD)
Theo định lý: "Nếu một đường thẳng vuông góc với hai đường thẳng cắt nhau thuộc cùng một mặt phẳng thì nó vuông góc với mặt phẳng đó."
Kết luận: SO ⊥ (ABCD) ∎
Cách 2 — Phương pháp sử dụng tính chất trung trực
Lời giải:
Nhận xét: O là tâm hình bình hành ABCD nên O là trung điểm của cả AC và BD.
Chứng minh SO ⊥ AC:
Vì SA = SC và O là trung điểm AC, nên S nằm trên mặt phẳng trung trực của đoạn AC.
Mà O cũng nằm trên mặt phẳng trung trực của AC (vì O là trung điểm AC).
Do đó SO nằm trong mặt phẳng trung trực của AC.
Suy ra: SO ⊥ AC
Chứng minh SO ⊥ BD: (tương tự)
Vì SB = SD và O là trung điểm BD, nên SO ⊥ BD.
Kết luận:
SO vuông góc với cả AC và BD, mà AC và BD cắt nhau tại O trong mặt phẳng (ABCD).
Vậy SO ⊥ (ABCD) ∎
💡 Mẹo nhớ: Trong hình chóp có đáy là hình bình hành tâm O, nếu SA = SC và SB = SD thì SO ⊥ (ABCD). Đây là dạng bài kinh điển!
⚠️ Lưu ý thi: Khi chứng minh đường thẳng vuông góc với mặt phẳng, luôn cần chỉ ra hai đường thẳng cắt nhau trong mặt phẳng đó mà đường thẳng cần chứng minh vuông góc với cả hai.
🎯 Tổng kết bài học
- Định nghĩa: Đường thẳng Δ ⊥ (P) khi Δ vuông góc với mọi đường thẳng trong (P).
- Điều kiện đủ: Δ ⊥ (P) ⟺ Δ vuông góc với hai đường thẳng cắt nhau trong (P).
- Tính chất: Nếu Δ ⊥ (P) thì Δ cắt (P) tại một điểm duy nhất.
- Hệ quả: Nếu đường thẳng vuông góc với hai cạnh của tam giác thì vuông góc với cạnh còn lại.