Giải Toán tập 2 trang 34
Lời giải chi tiết SGK Lớp 11 · Môn ToĂ¡n · Trang 34–35
Hai trang này thuộc bài học về "Đường thẳng vuông góc với mặt phẳng" (chương trình Toán 11, bộ Kết nối tri thức). Mình sẽ tóm tắt lý thuyết và giải chi tiết tất cả hoạt động, ví dụ, bài luyện tập có trong ảnh nhé.
Tóm tắt lý thuyết chính
- Có duy nhất một mặt phẳng đi qua một điểm cho trước và vuông góc với một đường thẳng cho trước.
- Có duy nhất một đường thẳng đi qua một điểm cho trước và vuông góc với một mặt phẳng cho trước.
- Mặt phẳng trung trực của đoạn $AB$: là mặt phẳng đi qua trung điểm $AB$ và vuông góc với $AB$; nó là tập hợp các điểm cách đều $A$ và $B$.
- Hai tính chất liên hệ song song – vuông góc:
- Nếu $a \perp (P)$ thì mọi đường thẳng song song với $a$ cũng $\perp (P)$.
- Hai đường thẳng phân biệt cùng vuông góc với một mặt phẳng thì song song với nhau.
Bài Vận dụng (cột treo quần áo)
Đề: Khi làm cột treo quần áo, ta tạo hai thanh đế thẳng đặt dưới sàn nhà và dựng cột treo vuông góc với hai thanh đế đó (H.7.15). Hãy giải thích vì sao bằng cách đó ta có được cột treo vuông góc với sàn nhà.
Lời giải:
Hai thanh đế là hai đường thẳng cắt nhau và đều nằm trong mặt phẳng sàn nhà $(P)$.
Theo dấu hiệu nhận biết: nếu một đường thẳng vuông góc với hai đường thẳng cắt nhau cùng thuộc một mặt phẳng thì nó vuông góc với mặt phẳng đó.
Vì cột treo được dựng vuông góc với cả hai thanh đế (hai đường cắt nhau trong mặt sàn), nên cột treo vuông góc với mặt phẳng sàn nhà.
Bài HĐ3 (tính duy nhất của mặt phẳng vuông góc)
Đề: Cho điểm $O$ và đường thẳng $\Delta$ không đi qua $O$. Gọi $d$ là đường thẳng đi qua $O$ và song song với $\Delta$. Xét hai mặt phẳng phân biệt tuỳ ý $(P)$ và $(Q)$ cùng chứa $d$. Trong $(P)$, $(Q)$ tương ứng kẻ các đường thẳng $a$, $b$ cùng đi qua $O$ và vuông góc với $d$ (H.7.16). Giải thích vì sao $mp(a,b)$ đi qua $O$ và vuông góc với $\Delta$.
Lời giải:
- Vì $a$ và $b$ là hai đường thẳng phân biệt (nằm trong hai mặt phẳng phân biệt $(P)$, $(Q)$) và cùng đi qua $O$, nên chúng cắt nhau tại $O$ và xác định một mặt phẳng $mp(a,b)$ đi qua $O$.
- Theo cách dựng: $a \perp d$ và $b \perp d$. Mà $a$, $b$ là hai đường thẳng cắt nhau cùng thuộc $mp(a,b)$, nên theo dấu hiệu nhận biết:
$$d \perp mp(a,b).$$
- Lại có $d \parallel \Delta$, mà $d \perp mp(a,b)$ nên $\Delta \perp mp(a,b)$.
Vậy $mp(a,b)$ đi qua $O$ và vuông góc với $\Delta$.
Ý nghĩa: Điều này chứng tỏ tồn tại mặt phẳng đi qua $O$ và vuông góc với $\Delta$, và mặt phẳng đó là duy nhất.
Bài Ví dụ 2 (mặt phẳng trung trực)
Đề: Chứng minh rằng điểm $M$ cách đều hai điểm phân biệt $A$, $B$ khi và chỉ khi $M$ thuộc mặt phẳng đi qua trung điểm của đoạn $AB$ và vuông góc với đường thẳng $AB$.
Lời giải: (theo H.7.18)
Gọi $(\alpha)$ là mặt phẳng đi qua trung điểm $I$ của $AB$ và vuông góc với $AB$.
- $MA = MB$ $\Leftrightarrow$ $M$ trùng $I$, hoặc tam giác $MAB$ cân tại $M$.
- $\triangle MAB$ cân tại $M$ $\Leftrightarrow$ trung tuyến $MI$ đồng thời là đường cao, tức là $MI \perp AB$ $\Leftrightarrow$ $M$ thuộc mặt phẳng $(\alpha)$.
Do đó: $MA = MB$ khi và chỉ khi $M \in (\alpha)$. (đpcm)
Chú ý: Mặt phẳng $(\alpha)$ này gọi là mặt phẳng trung trực của đoạn $AB$.
Bài HĐ4 (tính duy nhất của đường thẳng vuông góc)
Đề: Cho mặt phẳng $(P)$ và điểm $O$. Trong $(P)$ lấy hai đường thẳng cắt nhau $a$, $b$ tuỳ ý. Gọi $(\alpha)$, $(\beta)$ là các mặt phẳng qua $O$ và tương ứng vuông góc với $a$, $b$ (H.7.19).
a) Giải thích vì sao hai mặt phẳng $(\alpha)$, $(\beta)$ cắt nhau theo một đường thẳng đi qua $O$.
b) Nêu nhận xét về mối quan hệ giữa $\Delta$ và $(P)$.
Lời giải:
a) Hai mặt phẳng $(\alpha)$ và $(\beta)$ cùng đi qua điểm $O$ nên chúng có điểm chung $O$. Hai mặt phẳng phân biệt có điểm chung thì cắt nhau theo một giao tuyến, và giao tuyến đó phải đi qua điểm chung $O$. Gọi giao tuyến là $\Delta$, vậy $(\alpha) \cap (\beta) = \Delta$ và $\Delta$ đi qua $O$.
(Hai mặt phẳng này phân biệt vì $a$, $b$ phân biệt nên hai mặt phẳng vuông góc với chúng cũng phân biệt.)
b) Vì $a \perp (\alpha)$ mà $\Delta \subset (\alpha)$ nên $a \perp \Delta$. Tương tự $b \perp (\beta)$, $\Delta \subset (\beta)$ nên $b \perp \Delta$.
Như vậy $\Delta$ vuông góc với hai đường thẳng cắt nhau $a$, $b$ cùng thuộc $(P)$, suy ra:
$$\Delta \perp (P).$$
Nhận xét: Qua điểm $O$ có một đường thẳng $\Delta$ vuông góc với $(P)$, và đường thẳng đó là duy nhất.
Bài Luyện tập 2
Đề: Cho ba điểm phân biệt $A$, $B$, $C$ sao cho các đường thẳng $AB$ và $AC$ cùng vuông góc với một mặt phẳng $(P)$. Chứng minh rằng ba điểm $A$, $B$, $C$ thẳng hàng.
Lời giải:
Hai đường thẳng $AB$ và $AC$ cùng vuông góc với mặt phẳng $(P)$, và cả hai đều đi qua điểm $A$.
Theo tính chất: qua một điểm $A$ cho trước, có duy nhất một đường thẳng vuông góc với $(P)$.
Vậy $AB$ và $AC$ phải là cùng một đường thẳng. Suy ra ba điểm $A$, $B$, $C$ cùng nằm trên một đường thẳng, tức là thẳng hàng. (đpcm)
Bài Ví dụ 3
Đề: Cho điểm $A$ nằm ngoài mặt phẳng $(P)$. Giải thích vì sao có duy nhất điểm $H$ thuộc $(P)$ sao cho đường thẳng $AH$ vuông góc với $(P)$.
Lời giải:
Gọi $a$ là đường thẳng đi qua $A$ và vuông góc với $(P)$ (đường thẳng này tồn tại và duy nhất theo tính chất ở HĐ4).
Lấy điểm $H$ thuộc $(P)$. Khi đó:
$$AH \perp (P) \iff AH \text{ trùng với } a \iff H = a \cap (P).$$
Vì $a$ và $(P)$ chỉ cắt nhau tại một điểm duy nhất, nên có duy nhất điểm $H$ thuộc $(P)$ để $AH \perp (P)$. Điểm $H$ đó chính là giao điểm của $a$ với $(P)$ (gọi là hình chiếu vuông góc của $A$ lên $(P)$).
Bài HĐ5 (đường thẳng song song với một đường vuông góc mặt phẳng)
Đề: Cho đường thẳng $a$ vuông góc với mặt phẳng $(P)$ và song song với đường thẳng $b$. Lấy một đường thẳng $m$ bất kì thuộc $(P)$. Tính góc $(b, m)$ và từ đó rút ra mối quan hệ giữa $b$ và $(P)$.
Lời giải:
- Vì $a \perp (P)$ và $m \subset (P)$ nên $a \perp m$, tức góc $(a, m) = 90^\circ$.
- Vì $b \parallel a$ nên góc giữa $b$ và $m$ bằng góc giữa $a$ và $m$:
$$(b, m) = (a, m) = 90^\circ.$$
- Điều này đúng với mọi đường thẳng $m$ thuộc $(P)$, nghĩa là $b$ vuông góc với mọi đường thẳng nằm trong $(P)$.
Kết luận: $b \perp (P)$.
Đây chính là tính chất: nếu $a \perp (P)$ thì mọi đường thẳng song song với $a$ cũng vuông góc với $(P)$.
Bài HĐ6 (hai đường cùng vuông góc một mặt phẳng)
Đề: Cho hai đường thẳng phân biệt $a$ và $b$ cùng vuông góc với mặt phẳng $(P)$. Xét $O$ là một điểm thuộc $a$ nhưng không thuộc $b$. Gọi $c$ là đường thẳng qua $O$ và song song với $b$.
a) Hỏi $c$ có vuông góc với $(P)$ hay không? Nêu nhận xét về vị trí tương đối giữa $a$ và $c$.
b) Nêu nhận xét về vị trí tương đối giữa hai đường thẳng $a$ và $b$.
Lời giải:
a) Vì $b \perp (P)$ và $c \parallel b$ nên theo tính chất ở HĐ5, ta có $c \perp (P)$.
Bây giờ $a$ và $c$ là hai đường thẳng cùng đi qua $O$ và cùng vuông góc với $(P)$. Theo tính chất duy nhất (HĐ4): qua điểm $O$ chỉ có một đường thẳng vuông góc với $(P)$. Vậy $a$ và $c$ phải trùng nhau ($a \equiv c$).
b) Từ $a \equiv c$ và $c \parallel b$ suy ra $a \parallel b$.
(Ở đây $a$ và $b$ không trùng nhau vì $O \in a$ nhưng $O \notin b$.)
Kết luận: Hai đường thẳng phân biệt cùng vuông góc với một mặt phẳng thì song song với nhau.
Nếu em muốn, mình có thể vẽ lại sơ đồ tư duy tóm tắt 4 tính chất ở cuối bài để dễ nhớ hơn nhé.