Giải Toán tập 2 trang 36
Lời giải chi tiết SGK Lớp 11 · Môn ToĂ¡n · Trang 36–37
Tóm tắt lý thuyết
Phần này nói về quan hệ giữa đường thẳng vuông góc với mặt phẳng và các mặt phẳng song song. Có hai tính chất cốt lõi:
- Nếu đường thẳng $\Delta \perp (P)$ thì $\Delta$ cũng vuông góc với mọi mặt phẳng song song với $(P)$, và vuông góc với mọi đường thẳng song song với $(P)$.
- Hai mặt phẳng phân biệt cùng vuông góc với một đường thẳng thì song song với nhau.
- Nếu đường thẳng $a$ và mặt phẳng $(P)$ cùng vuông góc với một đường thẳng $\Delta$ thì $a$ nằm trong $(P)$ hoặc song song với $(P)$.
HĐ7: So sánh góc và quan hệ Δ với (Q)
Đề: $(P) \parallel (Q)$, $\Delta \perp (P)$. Lấy $b$ bất kì thuộc $(Q)$, lấy $a \subset (P)$ sao cho $a \parallel b$. So sánh $(\Delta, b)$ và $(\Delta, a)$, rồi rút ra quan hệ giữa $\Delta$ và $(Q)$.
Lời giải:
- Vì $a \parallel b$ nên $(\Delta, b) = (\Delta, a)$.
- Do $\Delta \perp (P)$ và $a \subset (P)$ nên $\Delta \perp a$, tức $(\Delta, a) = 90^\circ$.
- Suy ra $(\Delta, b) = 90^\circ$, tức $\Delta \perp b$.
Vì $b$ là đường thẳng bất kì trong $(Q)$ nên $\Delta$ vuông góc với mọi đường thẳng của $(Q)$, do đó $\boxed{\Delta \perp (Q)}$.
HĐ8: Hai mặt phẳng cùng vuông góc một đường thẳng
Đề: $(P)$ và $(Q)$ phân biệt cùng $\perp \Delta$. $O \in (P)$ nhưng $O \notin (Q)$. $(R)$ đi qua $O$ và $(R) \parallel (Q)$.
a) (R) có vuông góc với Δ không?
Vì $(Q) \perp \Delta$ và $(R) \parallel (Q)$ nên $(R) \perp \Delta$.
Nhận xét về vị trí $(P)$ và $(R)$: cả $(P)$ và $(R)$ đều đi qua điểm $O$ và cùng vuông góc với $\Delta$. Qua một điểm chỉ có duy nhất một mặt phẳng vuông góc với một đường thẳng cho trước, nên $(P) \equiv (R)$.
b) Vị trí (P) và (Q):
Do $(P) \equiv (R)$ và $(R) \parallel (Q)$ nên $(P) \parallel (Q)$. (Đây chính là minh họa cho tính chất: hai mặt phẳng phân biệt cùng vuông góc với một đường thẳng thì song song.)
Luyện tập 2: Mặt bàn và mặt sàn
Đề: Chiếc bàn có các chân cùng vuông góc với mặt phẳng chứa mặt bàn và mặt phẳng chứa mặt sàn. Hai mặt phẳng đó có song song không? Vì sao?
Lời giải:
Gọi đường thẳng chứa chân bàn là $\Delta$. Theo giả thiết, mặt phẳng mặt bàn và mặt phẳng mặt sàn cùng vuông góc với $\Delta$. Hai mặt phẳng này phân biệt, nên theo tính chất "hai mặt phẳng phân biệt cùng vuông góc với một đường thẳng thì song song", ta có:
$$\text{Mặt phẳng mặt bàn} \parallel \text{Mặt phẳng mặt sàn.}$$
Vậy hai mặt phẳng đó song song với nhau.
HĐ9: Tính góc (Δ, a)
Đề: $a \parallel (P)$, $\Delta \perp (P)$. Tính $(\Delta, a)$.
Lời giải:
Lấy đường thẳng $a' \subset (P)$ sao cho $a' \parallel a$ (luôn tồn tại vì $a \parallel (P)$). Khi đó $(\Delta, a) = (\Delta, a')$.
Vì $\Delta \perp (P)$ và $a' \subset (P)$ nên $\Delta \perp a'$, tức $(\Delta, a') = 90^\circ$.
Vậy $(\Delta, a) = 90^\circ$.
HĐ10: a và (P) cùng vuông góc với Δ
Đề: Đường thẳng $a$ và mặt phẳng $(P)$ cùng $\perp \Delta$.
a) Qua O ∈ (P), kẻ a′ ∥ a. Vị trí a′ và (P):
Vì $a \perp \Delta$ và $a' \parallel a$ nên $a' \perp \Delta$. Như vậy $a'$ đi qua $O$ và vuông góc với $\Delta$. Mọi đường thẳng qua $O$ vuông góc với $\Delta$ đều nằm trong mặt phẳng đi qua $O$ vuông góc với $\Delta$, chính là $(P)$. Do đó $a' \subset (P)$.
b) Vị trí a và (P):
Vì $a \parallel a'$ và $a' \subset (P)$, nên hoặc $a \subset (P)$, hoặc $a \parallel (P)$.
Luyện tập 4
Đề: Hình chóp $S.ABCD$ có đáy $ABCD$ là hình vuông, $SA \perp (ABCD)$. Kẻ $AH \perp SC$ ($H \in SC$), $BM \perp SC$ ($M \in SC$). Chứng minh $SC \perp (MBD)$ và $AH \parallel (MBD)$.
Lời giải:
Chứng minh $SC \perp (MBD)$:
- Vì $SA \perp (ABCD)$ nên $SA \perp BD$.
- $BD \perp AC$ (hai đường chéo hình vuông).
- Suy ra $BD \perp (SAC)$, do đó $BD \perp SC$.
- Mặt khác $BM \perp SC$ (giả thiết).
- Hai đường thẳng $BD$ và $BM$ cắt nhau tại $B$ và cùng nằm trong $(MBD)$, đều vuông góc với $SC$.
$$\Rightarrow SC \perp (MBD).$$
Chứng minh $AH \parallel (MBD)$:
Gọi $O$ là tâm hình vuông (giao $AC$ và $BD$). Khi đó $O \in BD \subset (MBD)$, nên đường thẳng $OM$ nằm trong $(MBD)$ và cũng nằm trong mặt phẳng $(SAC)$.
Vì $SC \perp (MBD)$ nên $SC \perp OM$. Lại có $AH \perp SC$. Trong mặt phẳng $(SAC)$, hai đường thẳng $AH$ và $OM$ cùng vuông góc với $SC$ nên $AH \parallel OM$.
Mà $OM \subset (MBD)$ và $AH \not\subset (MBD)$, nên $AH \parallel (MBD)$.
Bài 7.5
Đề: Hình chóp $S.ABC$ có đáy là tam giác cân tại $A$ và $SA \perp (ABC)$. $M$ là trung điểm $BC$. Chứng minh:
a) $BC \perp (SAM)$;
b) Tam giác $SBC$ cân tại $S$.
Lời giải:
a) Tam giác $ABC$ cân tại $A$, $M$ là trung điểm $BC$ nên $AM$ vừa là trung tuyến vừa là đường cao $\Rightarrow AM \perp BC$.
Vì $SA \perp (ABC)$ nên $SA \perp BC$.
$BC$ vuông góc với hai đường thẳng cắt nhau $AM, SA$ thuộc $(SAM)$:
$$\Rightarrow BC \perp (SAM).$$
b) Do $BC \perp (SAM)$ nên $BC \perp SM$. $M$ là trung điểm $BC$, mà $SM \perp BC$ nên $SM$ vừa là trung tuyến vừa là đường cao của tam giác $SBC$.
$$\Rightarrow SB = SC \Rightarrow \triangle SBC \text{ cân tại } S.$$
Bài 7.6
Đề: Hình chóp $S.ABCD$ có đáy $ABCD$ là hình chữ nhật và $SA \perp (ABCD)$. Chứng minh các mặt bên của hình chóp là các tam giác vuông.
Lời giải: Bốn mặt bên là $SAB, SAD, SBC, SCD$.
- $\triangle SAB$: $SA \perp (ABCD) \Rightarrow SA \perp AB$. Vậy vuông tại $A$.
- $\triangle SAD$: $SA \perp AD$. Vậy vuông tại $A$.
- $\triangle SBC$: $SA \perp BC$ và $AB \perp BC$ (hình chữ nhật) $\Rightarrow BC \perp (SAB) \Rightarrow BC \perp SB$. Vậy vuông tại $B$.
- $\triangle SCD$: $SA \perp CD$ và $AD \perp CD \Rightarrow CD \perp (SAD) \Rightarrow CD \perp SD$. Vậy vuông tại $D$.
Vậy cả bốn mặt bên đều là tam giác vuông.
Bài 7.7
Đề: Hình chóp $S.ABCD$ có đáy là hình chữ nhật và $SA \perp (ABCD)$. $M, N$ là hình chiếu của $A$ trên $SB, SD$. Chứng minh $AM \perp (SBC)$, $AN \perp (SCD)$, $SC \perp (AMN)$.
Lời giải:
$AM \perp (SBC)$:
Như bài 7.6, $BC \perp (SAB) \Rightarrow BC \perp AM$. Mặt khác $AM \perp SB$ (vì $M$ là hình chiếu của $A$ trên $SB$). $AM$ vuông góc với hai đường thẳng cắt nhau $BC, SB \subset (SBC)$:
$$\Rightarrow AM \perp (SBC).$$
$AN \perp (SCD)$:
Tương tự, $CD \perp (SAD) \Rightarrow CD \perp AN$. Mà $AN \perp SD$. $AN$ vuông góc với hai đường thẳng cắt nhau $CD, SD \subset (SCD)$:
$$\Rightarrow AN \perp (SCD).$$
$SC \perp (AMN)$:
- $AM \perp (SBC) \Rightarrow AM \perp SC$.
- $AN \perp (SCD) \Rightarrow AN \perp SC$.
- $AM, AN$ cắt nhau tại $A$ và cùng thuộc $(AMN)$.
$$\Rightarrow SC \perp (AMN).$$
Bài 7.8
Đề: Bạn Vinh thả quả dọi chìm vào thùng nước. Khi dây dọi căng và mặt nước yên lặng thì đường thẳng chứa dây dọi có vuông góc với mặt phẳng chứa mặt nước không?
Lời giải:
Có. Khi dây dọi căng, dây có phương thẳng đứng (theo phương trọng lực). Khi mặt nước yên lặng, mặt nước là mặt phẳng nằm ngang. Phương thẳng đứng vuông góc với mặt phẳng nằm ngang, nên đường thẳng chứa dây dọi vuông góc với mặt phẳng chứa mặt nước.
Bài 7.9
Đề: Cột bóng rổ dựng trên sân phẳng. Bạn Hùng đo khoảng cách từ một điểm trên sân cách chân cột $1\text{ m}$ đến một điểm trên cột cách chân cột $1\text{ m}$, được $1{,}5\text{ m}$. Nếu phép đo chính xác thì cột có vuông góc với sân không? Có thể kết luận cột không có phương thẳng đứng không?
Lời giải:
Gọi $O$ là chân cột, $A$ là điểm trên sân với $OA = 1\text{ m}$, $B$ là điểm trên cột với $OB = 1\text{ m}$.
Nếu cột vuông góc với sân thì $OB \perp OA$, tam giác $OAB$ vuông tại $O$, theo định lí Pythagore:
$$AB = \sqrt{OA^2 + OB^2} = \sqrt{1^2 + 1^2} = \sqrt{2} \approx 1{,}41\text{ m}.$$
Nhưng phép đo cho $AB = 1{,}5\text{ m} \neq \sqrt{2}\text{ m}$. Vậy $OB$ không vuông góc với $OA$, tức cột không vuông góc với sân.
Vì $OB$ không vuông góc với một đường thẳng $OA$ nằm trong mặt phẳng sân, nên $OB$ không vuông góc với mặt phẳng sân. Mà phương thẳng đứng chính là phương vuông góc với mặt sân nằm ngang, nên có thể kết luận cột không có phương thẳng đứng.