Giải Toán tập 2 trang 40
Lời giải chi tiết SGK Lớp 11 · Môn ToĂ¡n · Trang 40–41
Hai trang này thuộc bài "Hai mặt phẳng vuông góc" – phần phép chiếu vuông góc, định lí ba đường vuông góc và mở đầu về góc giữa đường thẳng và mặt phẳng (sách Kết nối tri thức với cuộc sống). Mình tóm tắt lý thuyết rồi giải lần lượt từng câu hỏi/bài tập nhé.
Tóm tắt lý thuyết
Phép chiếu vuông góc
- Phép chiếu vuông góc lên mặt phẳng $(P)$ là trường hợp đặc biệt của phép chiếu song song nên có đầy đủ tính chất của phép chiếu song song.
- Hình chiếu vuông góc của hình $\mathcal{H}$ trên $(P)$ gọi gọn là hình chiếu của $\mathcal{H}$ trên $(P)$.
Định lí ba đường vuông góc
Cho đường thẳng $a$ và mặt phẳng $(P)$ không vuông góc với nhau. Khi đó, đường thẳng $b$ nằm trong $(P)$ vuông góc với $a$ khi và chỉ khi $b$ vuông góc với hình chiếu vuông góc $a'$ của $a$ trên $(P)$.
Ý nghĩa: thay vì kiểm tra $b \perp a$ (có thể chéo nhau) ta chuyển sang kiểm tra $b \perp a'$ (hai đường cùng nằm trong $(P)$, dễ hơn).
Góc giữa đường thẳng và mặt phẳng
- Nếu $a \perp (P)$ thì góc giữa $a$ và $(P)$ bằng $90^\circ$.
- Nếu $a$ không vuông góc với $(P)$ thì góc giữa $a$ và hình chiếu $a'$ của nó trên $(P)$ chính là góc giữa $a$ và $(P)$.
Câu hỏi (?) đầu trang 39
Đề:
a) Nếu $A$ không thuộc $(P)$ và $A'$ là hình chiếu của $A$ trên $(P)$ thì đường thẳng $AA'$ có quan hệ gì với $(P)$?
b) Nếu đường thẳng $a$ vuông góc với $(P)$ thì hình chiếu của $a$ trên $(P)$ là gì?
Lời giải:
a) Theo định nghĩa phép chiếu vuông góc, $A'$ là chân đường vuông góc hạ từ $A$ xuống $(P)$. Vậy đường thẳng $AA' \perp (P)$.
b) Mọi điểm của $a$ đều chiếu xuống cùng một điểm (chân đường vuông góc chung), vì $a$ song song với phương chiếu. Nói cách khác hình chiếu của $a$ trên $(P)$ là một điểm – chính là giao điểm của $a$ với $(P)$.
HĐ2
Đề: Cho đường thẳng $a$ và mặt phẳng $(P)$ không vuông góc với nhau. $b$ là đường thẳng nằm trong $(P)$. Trên $a$ lấy hai điểm $M, N$ tùy ý; $M', N'$ là hình chiếu của $M, N$ trên $(P)$ (H.7.34).
a) Hình chiếu của $a$ trên $(P)$ là đường thẳng nào?
b) Nếu $b \perp M'N'$ thì $b$ có vuông góc với $a$ không?
c) Nếu $b \perp a$ thì $b$ có vuông góc với $M'N'$ không?
Lời giải:
a) $MM'$ và $NN'$ cùng vuông góc với $(P)$ nên $MM' \parallel NN'$, suy ra bốn điểm $M, N, M', N'$ đồng phẳng. Mặt phẳng $(MNN'M')$ cắt $(P)$ theo đường thẳng $M'N'$, và mọi điểm của $a$ đều chiếu xuống đường thẳng này. Vậy hình chiếu của $a$ trên $(P)$ là đường thẳng $a' = M'N'$.
b) Đặt $(Q) = (MNN'M')$. Vì $MM' \perp (P)$ nên $MM' \perp b$. Nếu thêm $b \perp M'N'$ thì $b$ vuông góc với hai đường cắt nhau $MM'$ và $M'N'$ nằm trong $(Q)$, nên $b \perp (Q)$. Mà $a \subset (Q)$, do đó $b \perp a$. Vậy có.
c) Tương tự, $MM' \perp (P)$ nên $MM' \perp b$. Nếu $b \perp a$ thì $b$ vuông góc với hai đường cắt nhau $MM'$ và $a$ nằm trong $(Q)$, suy ra $b \perp (Q)$. Mà $M'N' \subset (Q)$, do đó $b \perp M'N'$. Vậy có.
(Hai ý b, c chính là nội dung định lí ba đường vuông góc.)
Ví dụ 1 (đề trang 39, lời giải trang 40)
Đề: Trên một sân phẳng nằm ngang, tại các điểm $A, B, C, D$ dựng các cột thẳng đứng $AM, BN, CP, DQ$ và nối các sợi dây $MP$, $NQ$ (H.7.35).
a) Chỉ ra hình chiếu của $MP$ và $NQ$ trên sân.
b) Chứng minh nếu $BD \perp AC$ thì $BD \perp MP$.
c) Chứng minh nếu $ABCD$ là hình bình hành thì các trung điểm $E, F$ của $MP$ và $NQ$ có cùng hình chiếu trên sân.
Lời giải:
a) Các cột thẳng đứng vuông góc với sân (mặt phẳng nằm ngang), nên $A, B, C, D$ lần lượt là hình chiếu của $M, N, P, Q$ trên sân. Do đó:
- Hình chiếu của $MP$ là $AC$.
- Hình chiếu của $NQ$ là $BD$.
b) $AC$ là hình chiếu của $MP$ trên sân, $BD$ nằm trong mặt sân. Nếu $BD \perp AC$ thì theo định lí ba đường vuông góc, $BD \perp MP$.
c) Nếu $ABCD$ là hình bình hành thì hai đường chéo $AC$, $BD$ cắt nhau tại trung điểm $O$ của mỗi đường.
- Xét tứ giác $ACPM$: $AM \parallel CP$ (cùng vuông góc với sân) nên $ACPM$ là hình thang. $E$ là trung điểm $MP$, $O$ là trung điểm $AC$, nên $EO$ là đường trung bình, suy ra $EO \parallel MA$.
- Vì $MA \perp$ sân nên $EO \perp$ sân, do đó $O$ là hình chiếu của $E$ trên sân.
- Lập luận tương tự với hình thang $BDQN$: $FO \parallel NB \perp$ sân, nên $O$ cũng là hình chiếu của $F$.
Vậy $E$ và $F$ có cùng hình chiếu $O$ trên sân.
Luyện tập 1
Đề: Cho hình chóp $S.ABC$ có $SA = SB = SC$. Gọi $O$ là hình chiếu của $S$ trên $(ABC)$ (H.7.36).
a) Chứng minh $O$ là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác $ABC$.
b) Xác định hình chiếu của $SA$ trên $(ABC)$.
c) Chứng minh nếu $AO \perp BC$ thì $SA \perp BC$.
d) Xác định hình chiếu của các tam giác $SBC$, $SCA$, $SAB$ trên $(ABC)$.
Lời giải:
a) Vì $SO \perp (ABC)$ nên $SO \perp OA$, $SO \perp OB$, $SO \perp OC$. Áp dụng định lí Pythagore trong các tam giác vuông tại $O$:
$$OA = \sqrt{SA^2 - SO^2},\quad OB = \sqrt{SB^2 - SO^2},\quad OC = \sqrt{SC^2 - SO^2}.$$
Do $SA = SB = SC$ nên $OA = OB = OC$. Vậy $O$ cách đều ba đỉnh, tức $O$ là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác $ABC$.
b) $S$ chiếu xuống $O$, còn $A$ thuộc $(ABC)$ nên chiếu thành chính nó. Vậy hình chiếu của $SA$ trên $(ABC)$ là đường thẳng $AO$ (tức $OA$).
c) $AO$ là hình chiếu của $SA$ trên $(ABC)$, $BC$ nằm trong $(ABC)$. Nếu $AO \perp BC$ thì theo định lí ba đường vuông góc, $SA \perp BC$.
d) Vì $S$ chiếu xuống $O$ và $A, B, C$ giữ nguyên, hình chiếu của mỗi tam giác có đỉnh $S$ là tam giác thu được khi thay $S$ bằng $O$:
- Hình chiếu của $\triangle SBC$ là $\triangle OBC$.
- Hình chiếu của $\triangle SCA$ là $\triangle OCA$.
- Hình chiếu của $\triangle SAB$ là $\triangle OAB$.
HĐ3
Đề: Một máy bay giữ vận tốc không đổi, độ lớn $240$ km/h, trong suốt $2$ phút đầu kể từ khi cất cánh. Hỏi thông tin trên có đủ để xác định độ cao của máy bay so với mặt đất phẳng tại thời điểm $1$ phút kể từ khi cất cánh không?
Lời giải:
Không đủ. Trong $1$ phút máy bay bay được quãng đường (theo phương bay nghiêng):
$$s = 240 \times \frac{1}{60} = 4 \text{ km}.$$
Nhưng đây là quãng đường dọc theo đường bay, không phải độ cao. Độ cao $h$ chính là chiều dài hình chiếu lên phương thẳng đứng, phụ thuộc vào góc nghiêng giữa đường bay và mặt đất:
$$h = s \cdot \sin\alpha = 4\sin\alpha \text{ (km)}.$$
Vì đề bài chưa cho góc $\alpha$ này, ta không thể xác định độ cao. Đây chính là lý do dẫn vào khái niệm góc giữa đường thẳng và mặt phẳng.
Nếu bạn cần mình vẽ lại hình hoặc giải thêm phần lý thuyết góc giữa đường thẳng và mặt phẳng ở các trang sau, cứ nói nhé.