Giải Toán tập 2 trang 42
Lời giải chi tiết SGK Lớp 11 · Môn ToĂ¡n · Trang 42–43
Hai trang này thuộc bài "Góc giữa đường thẳng và mặt phẳng". Trang 41 trình bày lý thuyết kèm Ví dụ 2 (sách đã giải sẵn), trang 42 gồm các hoạt động Vận dụng – Khám phá – Trải nghiệm và phần BÀI TẬP. Mình sẽ tóm tắt lý thuyết rồi giải chi tiết tất cả nội dung nhé.
Tóm tắt lý thuyết
- Góc giữa đường thẳng $a$ và mặt phẳng $(P)$ là góc giữa $a$ và hình chiếu vuông góc $a'$ của nó lên $(P)$.
- Nếu $a \perp (P)$ thì góc bằng $90°$; nếu $a \parallel (P)$ hoặc $a \subset (P)$ thì góc bằng $0°$.
- Luôn có $0° \le \alpha \le 90°$.
- Nhận xét (H.7.39): Nếu $A$ có hình chiếu $H$ trên $(P)$ và $O \in (P)$, $O \ne H$ thì góc giữa $AO$ và $(P)$ bằng $\widehat{AOH}$.
Cách làm chung: muốn tìm góc giữa đường xiên và mặt phẳng, ta xác định hình chiếu của đường xiên (nối chân đường vuông góc với giao điểm), rồi tính góc trong tam giác vuông.
Vận dụng: Trục Trái Đất và mặt phẳng quỹ đạo
Trục Bắc – Nam của Trái Đất có phương không đổi và tạo với mặt phẳng quỹ đạo $(P)$ một góc khoảng $66{,}5°$.
a) Vì sao hình chiếu của trục Trái Đất trên $(P)$ cũng có phương không đổi?
Trục Trái Đất là một đường thẳng có phương cố định trong không gian. Hình chiếu vuông góc của một đường thẳng có phương không đổi lên một mặt phẳng cố định $(P)$ cũng cho một đường thẳng có phương không đổi (vì các tia chiếu đều song song và phương trục không thay đổi). Do đó hình chiếu của trục Trái Đất trên $(P)$ luôn giữ nguyên phương.
b) Vì sao có hai thời điểm trong năm mà hình chiếu của trục Trái Đất nằm trên đường thẳng nối tâm Mặt Trời và tâm Trái Đất?
Trong khi Trái Đất chuyển động quanh Mặt Trời, đường thẳng nối tâm Mặt Trời với tâm Trái Đất nằm trong mặt phẳng $(P)$ và liên tục thay đổi phương. Còn hình chiếu của trục Trái Đất trên $(P)$ có phương cố định. Vì đường nối tâm quét hết mọi phương trong một vòng quay, nên có đúng hai thời điểm nó cùng phương với hình chiếu cố định đó (đó chính là hai thời điểm Hạ chí 22–6 và Đông chí 22–12).
Khám phá: Quan hệ hai góc khi $\Delta \perp (P)$
Cho $\Delta \perp (P)$ và $a$ là đường thẳng bất kì.
Gọi $\alpha$ là góc giữa $a$ và $(P)$, $\beta$ là góc giữa $a$ và $\Delta$. Vì $\Delta$ vuông góc với mặt phẳng nên $\Delta$ vuông góc với hình chiếu $a'$ của $a$. Khi đó trong tam giác vuông tạo bởi $a$, $a'$ và $\Delta$, hai góc này phụ nhau:
$$\alpha + \beta = 90°.$$
Vậy góc giữa $a$ và $(P)$ và góc giữa $a$ và $\Delta$ là hai góc phụ nhau.
Trải nghiệm
Hoạt động thực hành: kéo căng một sợi dây, cho một đầu chạm mặt bàn (hoặc sàn), đo góc giữa sợi dây và mặt bàn. Đây chính là minh họa trực quan cho khái niệm góc giữa đường thẳng và mặt phẳng – góc giữa sợi dây và hình chiếu của nó trên mặt bàn.
Bài 7.10
Đề: Cho hình chóp $S.ABC$ có $SA \perp (ABC)$, tam giác $ABC$ vuông tại $B$.
a) Hình chiếu của $S$ trên $(ABC)$.
Vì $SA \perp (ABC)$ nên chân đường vuông góc hạ từ $S$ chính là $A$.
→ Hình chiếu của $S$ trên $(ABC)$ là điểm $A$.
b) Hình chiếu của tam giác $SBC$ trên $(ABC)$.
Hình chiếu từng đỉnh: $S \to A$, $B \to B$, $C \to C$ (vì $B, C$ đã nằm trong $(ABC)$).
→ Hình chiếu của tam giác $SBC$ là tam giác $ABC$.
c) Hình chiếu của tam giác $SBC$ trên $(SAB)$.
Tam giác $ABC$ vuông tại $B$ nên $BC \perp AB$.
Lại có $SA \perp (ABC) \Rightarrow SA \perp BC$.
Suy ra $BC \perp (SAB)$, do đó hình chiếu của $C$ trên $(SAB)$ là $B$.
Vậy: $S \to S$, $B \to B$, $C \to B$.
→ Hình chiếu của tam giác $SBC$ trên $(SAB)$ suy biến thành đoạn thẳng $SB$.
Bài 7.11
Đề: Cho hình chóp $S.ABCD$ có đáy là hình vuông $ABCD$ cạnh $a$, $SA \perp (ABCD)$ và $SA = a\sqrt{2}$.
a) Góc giữa $SC$ và mặt phẳng $(ABCD)$.
Hình chiếu của $S$ trên $(ABCD)$ là $A$, nên hình chiếu của $SC$ là $AC$.
→ Góc cần tìm là $\widehat{SCA}$.
Đường chéo hình vuông: $AC = a\sqrt{2}$. Tam giác $SAC$ vuông tại $A$:
$$\tan \widehat{SCA} = \frac{SA}{AC} = \frac{a\sqrt{2}}{a\sqrt{2}} = 1 \Rightarrow \widehat{SCA} = 45°.$$
Vậy góc giữa $SC$ và $(ABCD)$ bằng $45°$.
b) Góc giữa $BD$ và mặt phẳng $(SAC)$.
Trong hình vuông, hai đường chéo vuông góc: $BD \perp AC$.
Lại có $SA \perp (ABCD) \Rightarrow SA \perp BD$.
$BD$ vuông góc với hai đường $AC$, $SA$ cắt nhau trong $(SAC)$ nên $BD \perp (SAC)$.
→ Góc giữa $BD$ và $(SAC)$ bằng $90°$.
c) Hình chiếu của $SB$ trên mặt phẳng $(SAC)$.
Gọi $O$ là tâm hình vuông (giao điểm hai đường chéo). Vì $BD \perp (SAC)$ tại $O$ nên hình chiếu của $B$ trên $(SAC)$ là $O$. Đỉnh $S$ đã thuộc $(SAC)$.
→ Hình chiếu của $SB$ trên $(SAC)$ là đoạn thẳng $SO$, với $O$ là tâm hình vuông $ABCD$.
Bài 7.12
Đề: Cho hình chóp $S.ABC$ có $SA \perp (ABC)$, tam giác $ABC$ vuông tại $B$, $SA = AB = BC = a$.
a) Hình chiếu của $A$ trên mặt phẳng $(SBC)$.
Tam giác $ABC$ vuông tại $B$ nên $BC \perp AB$; lại có $SA \perp (ABC) \Rightarrow SA \perp BC$.
Suy ra $BC \perp (SAB)$, do đó $BC \perp AH$ với $H$ là chân đường vuông góc kẻ từ $A$ đến $SB$ trong $(SAB)$.
Khi đó $AH \perp SB$ và $AH \perp BC$, nên $AH \perp (SBC)$.
→ Hình chiếu của $A$ trên $(SBC)$ là điểm $H$ — chân đường vuông góc hạ từ $A$ xuống $SB$.
(Thêm: tam giác $SAB$ vuông cân tại $A$ vì $SA = AB = a$, nên $H$ chính là trung điểm của $SB$.)
b) Góc giữa $SC$ và mặt phẳng $(ABC)$.
Hình chiếu của $S$ trên $(ABC)$ là $A$, nên hình chiếu của $SC$ là $AC$.
→ Góc cần tìm là $\widehat{SCA}$.
Tính $AC$ trong tam giác $ABC$ vuông tại $B$:
$$AC = \sqrt{AB^2 + BC^2} = \sqrt{a^2 + a^2} = a\sqrt{2}.$$
Tam giác $SAC$ vuông tại $A$:
$$\tan \widehat{SCA} = \frac{SA}{AC} = \frac{a}{a\sqrt{2}} = \frac{1}{\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{2}}{2}.$$
Vậy $\widehat{SCA} = \arctan \dfrac{\sqrt{2}}{2} \approx 35,26°$.
→ Góc giữa $SC$ và $(ABC)$ thỏa $\tan = \dfrac{\sqrt{2}}{2}$, tức khoảng $35°16'$.
Lưu ý nhỏ về cách làm: với mọi bài dạng "góc giữa đường xiên và mặt phẳng", em chỉ cần tìm chân đường vuông góc rồi xác định hình chiếu, sau đó đưa về tam giác vuông để tính. Còn dạng "tìm hình chiếu của một hình", em chiếu từng đỉnh là ra ngay.