Giải Toán tập 2 trang 6
Lời giải chi tiết SGK Lớp 11 · Môn ToĂ¡n · Trang 6–7
Hai trang này thuộc bài đầu tiên về Lũy thừa, gồm mục 1 (lũy thừa với số mũ nguyên) và mục 2 (lũy thừa với số mũ hữu tỉ – căn bậc $n$). Mình sẽ tóm tắt lý thuyết rồi giải hết các hoạt động, ví dụ, luyện tập nhé.
Bài toán mở đầu
Đề: Bác Minh gửi tiết kiệm 100 triệu đồng kì hạn 12 tháng, lãi suất 6%/năm (không đổi). Tính số tiền (cả vốn lẫn lãi) sau 3 năm.
Lời giải:
Mỗi năm số tiền được nhân thêm $(1 + 6\%) = 1,06$. Sau 3 năm áp dụng lãi kép:
$$T = 100 \cdot (1,06)^3 = 100 \cdot 1,191016 = 119,1016 \text{ (triệu đồng)}.$$
Vậy bác Minh thu được khoảng 119 101 600 đồng.
Tóm tắt lý thuyết – Mục 1: Lũy thừa với số mũ nguyên
Cho $n$ là số nguyên dương:
- Với $a$ là số thực bất kỳ: $a^n = \underbrace{a\cdot a\cdots a}_{n \text{ thừa số}}$.
- Với $a \ne 0$: $a^0 = 1$ và $a^{-n} = \dfrac{1}{a^n}$.
- $0^0$ và $0^{-n}\ (n\in\mathbb{N}^*)$ không có nghĩa.
Các tính chất (với $a\ne 0,\ b\ne 0,\ m,n$ nguyên):
$$a^m \cdot a^n = a^{m+n}; \quad \frac{a^m}{a^n} = a^{m-n}; \quad (a^m)^n = a^{mn};$$
$$(ab)^m = a^m b^m; \quad \left(\frac{a}{b}\right)^m = \frac{a^m}{b^m}.$$
Chú ý so sánh:
- Nếu $a > 1$ thì $a^m > a^n \Leftrightarrow m > n$.
- Nếu $0 < a < 1$ thì $a^m > a^n \Leftrightarrow m < n$.
Bài HĐ1: Nhận biết lũy thừa với số mũ nguyên
Đề: Tính $(1,5)^2;\ \left(-\dfrac{2}{3}\right)^3;\ \left(\sqrt{2}\right)^4$.
Lời giải:
$$(1,5)^2 = 1,5 \cdot 1,5 = 2,25.$$
$$\left(-\frac{2}{3}\right)^3 = \frac{(-2)^3}{3^3} = -\frac{8}{27}.$$
$$\left(\sqrt{2}\right)^4 = \left[\left(\sqrt{2}\right)^2\right]^2 = 2^2 = 4.$$
Bài Ví dụ 1
Đề: Tính giá trị biểu thức $A = \left(\dfrac{1}{2}\right)^{-8}\cdot 8^{-2} + (0,2)^{-4}\cdot 25^{-2}$.
Lời giải (theo sách):
$$A = 2^8 \cdot \frac{1}{8^2} + \frac{1}{0,2^4}\cdot \frac{1}{25^2} = 2^8 \cdot \frac{1}{2^6} + \frac{1}{0,2^4 \cdot 5^4}$$
$$= 2^2 + \frac{1}{(0,2\cdot 5)^4} = 4 + \frac{1}{1^4} = 4 + 1 = 5.$$
Giải thích: $\left(\frac12\right)^{-8} = 2^8$, $8^2 = (2^3)^2 = 2^6$, và $25 = 5^2$ nên $25^2 = 5^4$. Gom $0,2\cdot 5 = 1$ giúp mẫu thành $1$.
Đáp số: $A = 5$.
Bài Luyện tập 1: Viết dưới dạng kí hiệu khoa học
Số dương $x$ viết dạng kí hiệu khoa học là $x = a\cdot 10^m$ với $1 \le a < 10$ và $m$ nguyên.
a) Khối lượng Trái Đất khoảng $5\,980\,000\,000\,000\,000\,000\,000\,000$ kg.
Đếm: phần thân là $5,98$, còn lại có 24 chữ số tạo mũ:
$$5\,980\,000\dots = 5,98 \times 10^{24} \text{ (kg)}.$$
b) Khối lượng hạt proton khoảng $0,000\dots00167262$ kg.
Dịch dấu phẩy để được $1,67262$, đếm được 27 bậc về bên trái:
$$\approx 1,67262 \times 10^{-27} \text{ (kg)}.$$
Tóm tắt lý thuyết – Mục 2: Căn bậc $n$
Cho số thực $a$ và số nguyên dương $n$. Số $b$ gọi là căn bậc $n$ của $a$ nếu $b^n = a$.
Nhận xét:
- Khi $n$ lẻ: mỗi số thực $a$ có đúng một căn bậc $n$, kí hiệu $\sqrt[n]{a}$.
- Khi $n$ chẵn: mỗi số thực dương có hai căn bậc $n$ đối nhau; giá trị dương kí hiệu $\sqrt[n]{a}$ (căn số học), giá trị âm là $-\sqrt[n]{a}$.
- $\sqrt[n]{0} = 0\ (n\in\mathbb{N}^*)$.
Tính chất (giả thiết các biểu thức đều có nghĩa):
$$\sqrt[n]{a}\cdot\sqrt[n]{b} = \sqrt[n]{ab};\quad \frac{\sqrt[n]{a}}{\sqrt[n]{b}} = \sqrt[n]{\frac{a}{b}};\quad \left(\sqrt[n]{a}\right)^m = \sqrt[n]{a^m};$$
$$\sqrt[n]{a^n} = \begin{cases} a & \text{khi } n \text{ lẻ} \\ |a| & \text{khi } n \text{ chẵn}\end{cases};\qquad \sqrt[n]{\sqrt[k]{a}} = \sqrt[nk]{a}.$$
Bài HĐ2: Nhận biết khái niệm căn bậc $n$
a) Tìm tất cả số thực $x$ sao cho $x^2 = 4$.
$$x^2 = 4 \Leftrightarrow x = \pm 2.$$
Vậy $x = 2$ hoặc $x = -2$ (hai căn bậc 2 đối nhau của 4).
b) Tìm tất cả số thực $x$ sao cho $x^3 = -8$.
$$x^3 = -8 = (-2)^3 \Leftrightarrow x = -2.$$
Vì mũ lẻ nên chỉ có một nghiệm $x = -2$.
Câu hỏi: Số âm có căn bậc chẵn không? Vì sao?
Trả lời: Không.
Với $n$ chẵn, mọi số thực $b$ đều cho $b^n \ge 0$ (lũy thừa bậc chẵn luôn không âm). Do đó không tồn tại số thực $b$ nào để $b^n = a$ khi $a < 0$. Vậy số âm không có căn bậc chẵn (trong tập số thực).
Bài Ví dụ 2
Đề: Tính a) $\sqrt[3]{-64}$; b) $\sqrt[4]{\dfrac{1}{16}}$.
Lời giải:
a) $\sqrt[3]{-64} = \sqrt[3]{(-4)^3} = -4$ (mũ lẻ nên lấy đúng số đó).
b) $\sqrt[4]{\dfrac{1}{16}} = \sqrt[4]{\left(\dfrac{1}{2}\right)^4} = \dfrac{1}{2}$ (mũ chẵn, lấy giá trị dương).
Bài Luyện tập 2
Đề: Tính a) $\sqrt[3]{-125}$; b) $\sqrt[4]{\dfrac{1}{81}}$.
Lời giải:
a) $\sqrt[3]{-125} = \sqrt[3]{(-5)^3} = -5.$
b) $\sqrt[4]{\dfrac{1}{81}} = \sqrt[4]{\left(\dfrac{1}{3}\right)^4} = \dfrac{1}{3}.$
Bài HĐ3: Nhận biết tính chất của căn bậc $n$
a) Tính và so sánh $\sqrt[3]{-8}\cdot\sqrt[3]{27}$ với $\sqrt[3]{(-8)\cdot 27}$.
- Vế trái: $\sqrt[3]{-8}\cdot\sqrt[3]{27} = (-2)\cdot 3 = -6.$
- Vế phải: $\sqrt[3]{(-8)\cdot 27} = \sqrt[3]{-216} = \sqrt[3]{(-6)^3} = -6.$
Kết luận: hai vế bằng nhau, minh họa tính chất $\sqrt[n]{a}\cdot\sqrt[n]{b} = \sqrt[n]{ab}$.
b) Tính và so sánh $\dfrac{\sqrt[3]{-8}}{\sqrt[3]{27}}$ với $\sqrt[3]{\dfrac{-8}{27}}$.
- Vế trái: $\dfrac{\sqrt[3]{-8}}{\sqrt[3]{27}} = \dfrac{-2}{3} = -\dfrac{2}{3}.$
- Vế phải: $\sqrt[3]{\dfrac{-8}{27}} = \sqrt[3]{\left(-\dfrac{2}{3}\right)^3} = -\dfrac{2}{3}.$
Kết luận: hai vế bằng nhau, minh họa tính chất $\dfrac{\sqrt[n]{a}}{\sqrt[n]{b}} = \sqrt[n]{\dfrac{a}{b}}$.
Tổng kết: hai trang giới thiệu định nghĩa và tính chất lũy thừa số mũ nguyên, khái niệm căn bậc $n$ cùng các tính chất nhân, chia, lũy thừa của căn. Các HĐ3 chính là cách sách dẫn dắt để các em tự rút ra công thức trong khung. Nếu cần mình giải thêm phần lũy thừa với số mũ hữu tỉ ở trang sau, cứ gửi ảnh nhé.