Giải Toán tập 2 trang 8

🔍 Kiến thức cần nhớ

Luỹ thừa với số mũ hữu tỉ

• Với a > 0 và r = m/n (m là số nguyên, n là số nguyên dương):
• a^(1/n) = ⁿ√a (căn bậc n của a)
• a^(m/n) = ⁿ√(a^m) = (ⁿ√a)^m

Luỹ thừa với số mũ thực

• Với a > 0 và α là số vô tỉ: a^α = lim(n→+∞) a^(rₙ) với (rₙ) là dãy số hữu tỉ hội tụ về α

Tính chất

• Luỹ thừa với số mũ hữu tỉ và số mũ thực có đầy đủ các tính chất như luỹ thừa với số mũ nguyên

---

⚙️ Bài tập

---

Luyện tập 3

Đề bài: Tính:

• a) ³√5 : ³√625
• b) ⁵√(−25√5)

---

Cách 1 — Phương pháp cơ bản (sử dụng tính chất căn thức)

Câu a) ³√5 : ³√625

Bước 1: Áp dụng tính chất chia hai căn cùng bậc: ⁿ√a : ⁿ√b = ⁿ√(a/b)

³√5 : ³√625 = ³√(5/625) = ³√(1/125)

Bước 2: Nhận xét 125 = 5³

³√(1/125) = ³√(1/5³) = ³√(5^(−3)) = 5^(−3/3) = 5^(−1) = 1/5

Kết quả: ³√5 : ³√625 = 1/5

---

Câu b) ⁵√(−25√5)

Bước 1: Biểu diễn 25 và √5 theo luỹ thừa của 5

• 25 = 5²
• √5 = 5^(1/2)

Bước 2: Tính −25√5

−25√5 = −5² × 5^(1/2) = −5^(2 + 1/2) = −5^(5/2)

Bước 3: Tính căn bậc 5
⁵√(−5^(5/2)) = (−5^(5/2))^(1/5) = (−1)^(1/5) × 5^(5/2 × 1/5) = −1 × 5^(1/2) = −√5

Kết quả: ⁵√(−25√5) = −√5

---

Cách 2 — Phương pháp nhanh (chuyển về luỹ thừa)

Câu a)
³√5 : ³√625 = 5^(1/3) : 5^(4/3) = 5^(1/3 − 4/3) = 5^(−1) = 1/5

(Vì 625 = 5⁴ nên ³√625 = 5^(4/3))

Câu b)
−25√5 = −5^(5/2)

⁵√(−5^(5/2)) = −5^(1/2) = −√5

💡 Mẹo nhớ: Khi chia/nhân các căn cùng bậc, nên chuyển về dạng luỹ thừa rồi áp dụng quy tắc cộng/trừ số mũ.

---

HĐ4 — Nhận biết luỹ thừa với số mũ hữu tỉ

Đề bài: Cho a là một số thực dương.

a) Với n là số nguyên dương, hãy thử định nghĩa a^(1/n) sao cho (a^(1/n))^n = a.

b) Từ kết quả của câu a, hãy thử định nghĩa a^(m/n), với m là số nguyên và n là số nguyên dương, sao cho a^(m/n) = (a^(1/n))^m.

---

Cách 1 — Phương pháp suy luận logic

Câu a) Định nghĩa a^(1/n)

Yêu cầu: Tìm a^(1/n) sao cho (a^(1/n))^n = a

Phân tích:

• Theo tính chất luỹ thừa: (a^(1/n))^n = a^(n × 1/n) = a^1 = a ✓
• Mặt khác, ta biết (ⁿ√a)^n = a theo định nghĩa căn bậc n

Kết luận: Ta định nghĩa a^(1/n) = ⁿ√a (căn bậc n của a)

---

Câu b) Định nghĩa a^(m/n)

Yêu cầu: Định nghĩa a^(m/n) sao cho a^(m/n) = (a^(1/n))^m

Phân tích:

• Từ câu a: a^(1/n) = ⁿ√a
• Do đó: (a^(1/n))^m = (ⁿ√a)^m

Cách khác: a^(m/n) = a^(m × 1/n) = (a^m)^(1/n) = ⁿ√(a^m)

Kết luận: Ta định nghĩa a^(m/n) = (ⁿ√a)^m = ⁿ√(a^m)

---

Cách 2 — Phương pháp kiểm chứng bằng ví dụ

Câu a) Kiểm tra với a = 8, n = 3:

• a^(1/3) = 8^(1/3) = ³√8 = 2
• Kiểm tra: 2³ = 8 = a ✓

Câu b) Kiểm tra với a = 8, m = 2, n = 3:

• a^(2/3) = 8^(2/3) = (³√8)² = 2² = 4
• Hoặc: 8^(2/3) = ³√(8²) = ³√64 = 4 ✓

⚠️ Lưu ý thi: Điều kiện a > 0 rất quan trọng để đảm bảo căn bậc chẵn luôn xác định.

---

Câu hỏi (?)

Đề bài: Vì sao trong định nghĩa luỹ thừa với số mũ hữu tỉ lại cần điều kiện cơ số a > 0?

---

Giải thích

Lý do cần điều kiện a > 0:

1. Với căn bậc chẵn:

• Khi n là số chẵn, ⁿ√a chỉ xác định khi a ≥ 0
• Ví dụ: √(−4) không xác định trong tập số thực

2. Đảm bảo tính nhất quán:

• Nếu cho phép a < 0, có thể xảy ra mâu thuẫn
• Ví dụ: (−8)^(2/6) = (−8)^(1/3) = −2
• Nhưng: (−8)^(2/6) = ⁶√((−8)²) = ⁶√64 = 2
• Hai kết quả khác nhau!

3. Đảm bảo các tính chất luỹ thừa vẫn đúng:

• Với a > 0, ta có: a^(r₁) × a^(r₂) = a^(r₁+r₂)
• Tính chất này có thể không đúng nếu a ≤ 0

Kết luận: Điều kiện a > 0 đảm bảo luỹ thừa với số mũ hữu tỉ luôn xác định và có giá trị duy nhất.

---

Luyện tập 4

Đề bài: Rút gọn biểu thức A = (x^(3/2)×y + x×y^(3/2)) / (√x + √y), với x, y > 0

---

Cách 1 — Phương pháp đặt nhân tử chung

Bước 1: Phân tích tử số

• x^(3/2)×y = x × x^(1/2) × y = xy × √x
• x×y^(3/2) = x × y × y^(1/2) = xy × √y

Tử số = xy×√x + xy×√y = xy(√x + √y)

Bước 2: Rút gọn

A = xy(√x + √y) / (√x + √y) = xy

Kết quả: A = xy

---

Cách 2 — Phương pháp chuyển về luỹ thừa

Bước 1: Viết lại với √x = x^(1/2), √y = y^(1/2)

Tử số = x^(3/2) × y + x × y^(3/2)

= x^(3/2) × y^1 + x^1 × y^(3/2)

= x × y × (x^(1/2) + y^(1/2))

= xy(x^(1/2) + y^(1/2))

Bước 2: Rút gọn

A = xy(x^(1/2) + y^(1/2)) / (x^(1/2) + y^(1/2)) = xy

💡 Mẹo nhớ: Khi rút gọn biểu thức chứa căn, hãy tìm nhân tử chung ở tử số và mẫu số.

---

HĐ5 — Nhận biết luỹ thừa với số mũ thực

Đề bài: Ta biết rằng √2 là một số vô tỉ và √2 = 1,4142135624...

Gọi (rₙ) là dãy số hữu tỉ dùng để xấp xỉ số √2, với r₁ = 1; r₂ = 1,4; r₃ = 1,41; r₄ = 1,4142;...

a) Dùng máy tính cầm tay, hãy tính: 3^(r₁); 3^(r₂); 3^(r₃); 3^(r₄) và 3^√2

b) Có nhận xét gì về sai số tuyệt đối giữa 3^√2 và 3^(rₙ), tức là |3^√2 − 3^(rₙ)|, khi n càng lớn?

---

Cách 1 — Phương pháp tính trực tiếp bằng máy tính

Câu a) Tính các giá trị:

💡 Mẹo bấm máy (Casio fx-580VN X): - Tính 3^1,4: Bấm 3 x^ 1 . 4 = - Tính 3^√2: Bấm 3 x^ √ 2 =

---

Câu b) Nhận xét về sai số tuyệt đối:

Nhận xét: Khi n càng lớn (rₙ càng gần √2), sai số tuyệt đối |3^√2 − 3^(rₙ)| càng nhỏ, tiến dần về 0.

Kết luận: Điều này cho thấy dãy số (3^(rₙ)) hội tụ về 3^√2, hay nói cách khác: lim(n→+∞) 3^(rₙ) = 3^√2

---

Cách 2 — Giải thích lý thuyết

Đây chính là cơ sở để định nghĩa luỹ thừa với số mũ vô tỉ:

• Với a > 0 và α là số vô tỉ
• Chọn dãy số hữu tỉ (rₙ) sao cho lim(n→+∞) rₙ = α
• Khi đó: a^α = lim(n→+∞) a^(rₙ)

⚠️ Lưu ý thi: Câu hỏi này giúp hiểu ý nghĩa của định nghĩa luỹ thừa với số mũ thực thông qua giới hạn.

---

Luyện tập 5

Đề bài: Rút gọn biểu thức A = (a^(√2−1))^(1+√2) / (a^(√5−1) × a^(3−√5)), với a > 0

---

Cách 1 — Phương pháp áp dụng tính chất luỹ thừa

Bước 1: Tính tử số
(a^(√2−1))^(1+√2) = a^((√2−1)(1+√2))

Tính số mũ: (√2−1)(1+√2) = √2 + 2 − 1 − √2 = 1

Vậy tử số = a^1 = a

Bước 2: Tính mẫu số
a^(√5−1) × a^(3−√5) = a^((√5−1)+(3−√5)) = a^(√5−1+3−√5) = a^2

Bước 3: Rút gọn
A = a / a² = a^(1−2) = a^(−1) = 1/a

Kết quả: A = 1/a

---

Cách 2 — Phương pháp gộp một bước

A = a^((√2−1)(1+√2)) / a^((√5−1)+(3−√5))

Số mũ tử: (√2−1)(√2+1) = (√2)² − 1² = 2 − 1 = 1

Số mũ mẫu: √5 − 1 + 3 − √5 = 2

A = a^1 / a^2 = a^(1−2) = a^(−1) = 1/a

💡 Mẹo nhớ: Nhận dạng hằng đẳng thức (a−b)(a+b) = a² − b² giúp tính nhanh (√2−1)(√2+1) = 1

---

Vận dụng

Đề bài: Giải bài toán trong tình huống mở đầu.

(Lưu ý: Bài toán tình huống mở đầu không có trong trang này, nhưng thường liên quan đến ứng dụng luỹ thừa)

---

🎯 Ghi nhớ: 1. Luỹ thừa với số mũ hữu tỉ: a^(m/n) = ⁿ√(a^m) = (ⁿ√a)^m (với a > 0) 2. Luỹ thừa với số mũ thực: a^α = lim a^(rₙ) khi rₙ → α 3. Các tính chất quan trọng: - a^m × a^n = a^(m+n) - a^m : a^n = a^(m−n) - (a^m)^n = a^(m×n) - (ab)^n = a^n × b^n 4. Điều kiện a > 0 đảm bảo biểu thức luôn xác định và có giá trị duy nhất.